專題71 函數法求最值問題（解析版）-中考數學二輪復習經典問題專題訓練

專題71函數法求最值問題【規(guī)律總結】【典例分析】例1．（2020·江蘇宿遷市·九年級二模）在平面直角坐標系中，已知A（2，4），P（1，0），B為y軸上的動點，以AB為邊構造△ABC，使點C在x軸上，∠BAC＝90°，M為BC的中點，則PM的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AH⊥y軸，CE⊥AH，證明△AHB∽△CEA，根據相似三角形的性質得到AE＝2BH，求出點M的坐標，根據兩點間的距離公式用x表示出PM，根據二次函數的性質解答即可．【詳解】解：如圖，過點A作AH⊥y軸于H，過點C作CE⊥AH于E，則四邊形CEHO是矩形，∴OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，即∴AE＝2BH，設BH＝x，則AE＝2x，∵A（2，4），∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），∵M為BC的中點，∴BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝，∴當時，PM有最小值為=，故選：C．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質、矩形的判定與性質、同角的余角相等、相似三角形的判定與性質、兩點間的距離公式、二次函數的性質等知識，認真分析圖形，借助作輔助線，利用相似三角形的性質及二次函數的最值求解是解答的關鍵．例2．（2020·湖北武漢市·九年級期中）如圖，四邊形的兩條對角線所成的銳角為，則四邊形的面積最大值為_______________________．【答案】【分析】根據四邊形面積公式，S＝AC×BD×sin60°，根據sin60°＝得出S＝x（10?x）×，再利用二次函數最值求出即可．【詳解】解：∵AC與BD所成的銳角為60°，∴根據四邊形面積公式，得四邊形ABCD的面積S＝AC×BD×sin60°，設AC＝x，則BD＝10?x，所以S＝x（10?x）×＝（x?5）2＋，所以當x＝5，S有最大值．故答案為：．【點睛】此題主要考查了四邊形面積公式以及二次函數最值，利用二次函數最值求出四邊形的面積最大值是解決問題的關鍵．例3．（2021·上海）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內接矩形．（1）當矩形DEFG是正方形時，求正方形的邊長．（2）設EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關于x的函數關系式，當x為何值時S有最大值，并求出最大值．【答案】（1）；（2），當x＝4時，S有最大值20【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根據相似三角形的性質求出GF＝10?x，求出矩形的面積，運用二次函數性質解決問題．【詳解】（1）設HK＝y(tǒng)，則AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四邊形DEFG為矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵當矩形DEFG是正方形時，GF＝KH＝y(tǒng)，∴(8﹣y)：8＝y(tǒng)：10，解得：y＝；（2）設EF＝x，則KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：，解得：GF＝10﹣x，∴s＝GF?EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，∴當x＝4時S有最大值，并求出最大值20．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，二次函數的最值，矩形的性質的應用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．【好題演練】一、單選題1．（2020·無錫市鳳翔實驗學校九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點C是y軸正半軸上的一個動點，點A（1，0）、B（5，0）．連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點D與點O在直線AC兩側，連接BD，則BD的最小值是（）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質，過點D作DE⊥AC于點E，利用“K”型相似可得△CFE∽△EGD，由此表示出點D的坐標，利用勾股定理表示出線段BD的長，再利用配方法求求值即可得出BD的最小值．【詳解】如圖,過點D作DE⊥AC于點E，過點D作x軸的垂線于點H,過點E作EF∥x軸交y軸于點F交DH于點G，設點C的坐標為，∵△ACD為等邊三角形,則點E為AC的中點,則點E,AE=CE=ED，∵∠CEF+∠FCE=90°,∠CEF+∠DEG=90°，∴∠DEG=∠ECF，∴△CFE∽△EGD，∴,其中EF=,CF=，解得：，，故點，，當時，BD最小，BD最小值是3．故選：B．【點睛】本題屬于線段最值問題，構造相似三角形，利用相似三角形的性質表示出點D的坐標是解決本題的關鍵．2．（2020·深圳市龍崗區(qū)南灣街道沙灣中學九年級其他模擬）一塊矩形木板ABCD，長AD=3cm，寬AB=2cm，小虎將一塊等腰直角三角板的一條直角邊靠在頂點C上，另一條直角邊與AB邊交于點E，三角板的直角頂點P在AD邊上移動(不含端點A、D)，當線段BE最短時，AP的長為()A．cm B．1cm C．cm D．2cm【答案】C【分析】設，，由得，構建二次函數即可解決問題；【詳解】設BE=y，AP=x，∵四邊形ABCD是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴時，y有最小值．故答案選C．【點睛】本題主要考查了求解二次函數的最值問題，相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．二、填空題3．（2020·福建龍巖市·九年級期中）在平面直角坐標系中，拋物線經過和兩點，直線與拋物線交于A，B兩點，P是直線上方的拋物線上一動點，當的面積最大值時，點P的橫坐標為___________．【答案】【分析】根據題意，先求出拋物線的解析式，然后求出A、B的坐標，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點C，求出PC的長度，利用二次函數的最值性質，即可求出答案．【詳解】解：根據題意，把點和代入拋物線，則，解得：，∴拋物線的解析式為：，∴，解得：，；∴A、B兩點的橫坐標分別為：，2；如圖，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點C，設點P為（x，），則點C的坐標為（x，x+1），∴線段PC=，點A、B的橫坐標距離為：，∴的面積為：，整理得到：；∴當時，的面積最大；故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的綜合問題，二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質進行解題，注意運用數形結合的思想進行分析．4．（2020·浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學九年級一模）如圖，直線AB交坐標軸于A(-2，0)，B(0，-4)，點P在拋物線上，則△ABP面積的最小值為__________．【答案】【分析】根據直線AB交坐標軸于A(-2，0)，B(0，-4)，計算得直線AB解析式；平移直線AB到直線CD，直線CD當拋物線相交并只有一個交點P時，△ABP面積為最小值，通過一元二次方程和拋物線的性質求得點P坐標；再利用勾股定理逆定理，證明為直角三角形，從而計算得到△ABP面積的最小值．【詳解】設直線AB為∵直線AB交坐標軸于A(-2，0)，B(0，-4)∴∴∴直線AB為如圖，平移直線AB到直線CD，直線CD為當與拋物線相交并只有一個交點P時，△ABP面積為最小值∴∴∴∴∴∴將代入，得∴∴∴∴為直角三角形，∴即△ABP面積的最小值為故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數、一次函數、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次函數、一次函數、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性質，從而完成求解．三、解答題5．（2020·重慶市南川中學校九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點，其中，.（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點P為直線AB下方的拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3），，，．【分析】（1）將，代入解析式即可求解；（2）過點作軸，交直線于，設點表示出，建立關于的二次函數表達式，利用函數的性質求解最大值即可；（3）當分別為邊或對角線的時候，結合矩形的性質進行分類討論即可．【詳解】（1）代入，，得，解得，解析式為：；（2）如圖，過點作軸，交直線于，設直線的解析式為：，將，代入得：，解得：，則直線的解析式為：，在拋物線上，設其坐標為，其中，則的坐標為，，即：當時，有最大值為；

（3）拋物線向右平移2個單位后解析式為：，聯立，解得，即，原拋物線的對稱軸為：直線，則設，，，，，1）如圖，若以為邊構造矩形，有以下兩種情況：①如圖，在矩形中，滿足，即：，解得：，即：，根據四點相對位置關系得：，解得：，；②如圖，在矩形中，滿足，即：，解得：，即：，根據四點相對位置關系得：，解得：，；

2）如圖，若以為對角線構造矩形，則滿足：，即：，解得：或，即：，，當時，根據四點相對位置關系得：，解得：，；當時，根據四點相對位置關系得：，解得：，；綜上，符合條件的有：，，，．

【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用，涉及到一次函數的性質，矩形的性質，注重用函數的思想解決面積最值問題，以及分類討論的思想進行求解未知點是解題關鍵．6．（2020·昆明市第一中學西山學校九年級期中）閱讀下列材料：我們知道，一次函數的圖象是一條直線，而經過恒等變形可化為直線的另一種表達形式（、、是常數，且、不同時為0）.如圖1，點到直線：的距離（）計算公式是：．例：求點到直線的距離時，先將化為，再由上述距離公式求得．解答下列問題：如圖2，已知直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線上的一點．（1）請將直線化為“”的形式；（2）求點到直線的距離；（3）拋物線上是否存在點，使得的面積最小？若存在，求出點的坐標及面積的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）點M到直線AB的距離為6；（3）存在，，△PAB面積最小值為．【分析】（1）根據題意可直接進行化簡；（2）根據題中所給公式可直接進行代值求解；（3）設點，根據題意可得點P到直線AB的距離，然后根據三角形面積計算公式可得，最后根據二次函數的性質可進行求解．【詳解】解：（1）由