專題3.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（九個(gè)重難點(diǎn)突破）（解析版）

專題3.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍,或或?qū)ΨQ性關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b離心率漸近線知識(shí)點(diǎn)二等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,它有以下性質(zhì)：(1)方程形式為；(2)漸近線方程為,它們互相垂直；(3)離心率重難點(diǎn)1已知方程求焦距、實(shí)軸、虛軸1．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線段四等分，則該雙曲線的焦距為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意列出方程組進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭请p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線段四等分，所以，即，即，又因?yàn)?，解得，所以c=2，所以該雙曲線的焦距為.故選：D2．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則m的值為（

）A．9 B．－9 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，且，因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，可得，即，解得.故選：C.3．已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，焦距為6，點(diǎn)在雙曲線上，且，，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可.【詳解】把代入中，得，即，因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得，舍去，則.故選：A4．如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為8，瓶高等于雙曲線C的虛軸長(zhǎng)，則該花瓶的瓶口直徑為（

）

A． B．24 C．32 D．【答案】D【分析】求出，設(shè)出，代入雙曲線方程，求出，得到直徑.【詳解】因?yàn)樵摶ㄆ繖M截面圓的最小直徑為8，所以.設(shè)M是雙曲線C與瓶口截面的一個(gè)交點(diǎn)，該花瓶的瓶口半徑為r，則，

所以，解得，故該花瓶的瓶口直徑為.故選：D5．若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（

）A．離心率相等 B．焦距相等 C．實(shí)軸長(zhǎng)相等 D．虛軸長(zhǎng)相等【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線與曲線都是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，，所以兩曲線的焦點(diǎn)和焦距都相同，故B正確；因?yàn)?，所以離心率不相等，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shí)軸長(zhǎng)不相等，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以虛軸長(zhǎng)不相等，故D錯(cuò)誤.故選：B.6．等軸雙曲線的焦距為.【答案】【分析】根據(jù)等軸雙曲線定義得到，進(jìn)而求出，得到焦距.【詳解】由題意得，，故，故，焦距為.故答案為：7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)即可列方程求解，進(jìn)而可求解.【詳解】由于的面積為，由題意知所以故雙曲線的方程為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為4．故答案為：4

重難點(diǎn)2已知方程求雙曲線的漸近線8．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線漸近線方程定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：雙曲線漸近線斜率為，則其漸近線方程為：．故選：C9．已知雙曲線的離心率為，若點(diǎn)與點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，列出方程組，結(jié)合離心率的意義求出作答.【詳解】由點(diǎn)在雙曲線上，得，則，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，當(dāng)時(shí)，，而，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：B10．雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而求得其夾角.【詳解】由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線的方程為，所以兩漸近線的夾角為.故選：C.11．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，則雙曲線的漸近線方程為.故選：B.12．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)到的漸近線的距離為，則（

）A．與有關(guān) B．與無關(guān) C．與有關(guān) D．與無關(guān)【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離即可求出，便可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，不妨取右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示：

雙曲線的漸近線方程是，即0，所以，所以與無關(guān)，與有關(guān).故選：BC.13．雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】的漸近線方程為，所以，故答案為：314．已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程結(jié)合條件可得，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以有，故雙曲線，所以雙曲線的離心率為.故答案為：重難點(diǎn)3由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程15．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系，結(jié)合漸近線方程求解即可.【詳解】由題意雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，，又，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C16．若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件列關(guān)于a，b，c的方程組求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A.17．已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由距離公式得出，進(jìn)而由雙曲線的性質(zhì)得出方程.【詳解】右焦點(diǎn)到漸近線的距離，因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為，所以，即的方程為.故選：D18．求雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程，可得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到雙曲線的方程.【詳解】在橢圓中，，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，左右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，，，所以雙曲線的方程為：．故選：A.19．已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為．若點(diǎn)是雙曲線位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得的值.【詳解】法一：雙曲線的幾何性質(zhì)由題知，解得，所以雙曲線：．又點(diǎn)是雙曲線位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以（），解得.法二：由題知，解得，所以雙曲線：．又點(diǎn)是雙曲線位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以（），解得.故選：B20．雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程、實(shí)軸長(zhǎng)求得，由此求得.【詳解】依題意，解得.故選：A21．如果中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，那么此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及題意，設(shè)方程為，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求得，即可得答案.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)是，所以，且焦點(diǎn)在軸，所以設(shè)等軸雙曲線方程為，所以，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.重難點(diǎn)4求共漸近線的雙曲線方程22．若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【分析】設(shè)雙曲線C的方程為，根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)求得，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，可設(shè)雙曲線C的方程為，又C過點(diǎn)，所以，，整理得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：23．與雙曲線漸近線相同，且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【分析】設(shè)所求雙曲線的方程為，由題意有且，解出即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)是，可設(shè)所求雙曲線的方程為，得，雙曲線漸近線的方程為，由題意有，解得，，所以雙曲線的方程為.故答案為：.24．若雙曲線與有共同漸近線，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程，可得答案.【詳解】由方程，則其漸近線方程為，由橢圓，則其焦點(diǎn)為，由題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為，則，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.25．雙曲線，寫出一個(gè)與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)有共同漸近線的雙曲線方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，當(dāng)時(shí)，得到雙曲線方程為，顯然該雙曲線與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同，故答案為：26．求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線可設(shè)為又所求雙曲線過點(diǎn)，則，則則所求雙曲線的方程為，即.27．已知雙曲線E與雙曲線共漸近線，且過點(diǎn)，若雙曲線M以雙曲線E的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，試求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【分析】設(shè)雙曲線E的方程為，代入點(diǎn)可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到雙曲線雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意，設(shè)雙曲線E的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線E上，∴，∴，∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又雙曲線M以雙曲線E的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，∴雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.28．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，且過點(diǎn).(1)求雙曲線C的虛軸長(zhǎng)；(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由雙曲線的定義可知，，又，求得即可．（2）設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程得即可．【詳解】（1）由題意，易知，，且.在中，由雙曲線的定義可知，，，即.∵雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，∴.又∵，∴故雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為（2）由（1）知雙曲線C的方程為.設(shè)與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程，得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為重難點(diǎn)5根據(jù)齊次式關(guān)系求漸近線方程29．過原點(diǎn)的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交x軸于C點(diǎn)，直線BC交雙曲線于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可設(shè)，，，分別表示出，逐步轉(zhuǎn)化，即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，因?yàn)榕c軸垂直，所以，設(shè)，則，而所以，，所以，所以漸近線方程為.故選：D

30．雙曲線，點(diǎn)A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合雙曲線漸近線方程、平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，顯然線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，即為，因此點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€OC，AB的斜率之積為3，所以，因?yàn)辄c(diǎn)A，B均在E上，所以，兩式相減得：，所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用點(diǎn)差法和平行四邊形的性質(zhì).31．已知雙曲線的離心率為，則漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由離心率求得即得漸近線方程．【詳解】，，，故選：B32．設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線的定義，以及條件，得到，再根據(jù)，即可求解雙曲線漸近線的斜率.【詳解】作于點(diǎn)，如圖所示，

因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，由雙曲線的定義知|，所以，故，因?yàn)?，所以，即，得，所以，得，故雙曲線的漸近線方程為，即.故選：B33．已知F為雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線與雙曲線及它的漸近線在第一象限內(nèi)依次交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用線段相等建立方程求出即可得解.【詳解】由題意得，雙曲線C的漸近線方程為．設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)依次為，，

因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，得，所以，故，雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B．34．如圖，已知，為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】【分析】利用點(diǎn)在雙曲線上及直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，結(jié)合雙曲線的定義和漸近線方程即可求解.【詳解】設(shè)，，則，解得，∴.在中，，則①.由雙曲線的定義，得②.由①②得.∵，∴，即.∴.∴雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.35．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A，B，若為等邊三角形，則W的漸近線方程為，W的離心率為．【答案】/【分析】根據(jù)圖形則得到，再利用離心率公式即可.【詳解】雙曲線漸近線方程為，因?yàn)槭堑冗吶切?，則，則漸近線方程為，即，故答案為：；.

重難點(diǎn)6求雙曲線的離心率36．設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求得焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，漸近線方程為，如圖所示，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.

37．已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.因?yàn)?，所以，即，可?又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.

38．設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€與圓切于點(diǎn)，則，又，所以，

所以為的中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，于是，有，且，則，令雙曲線焦距為，由，得，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A39．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意知，，解得.又知，解得，所以，即，所以雙曲線C的離心率是故選：C.40．若，雙曲線：與雙曲線：的離心率分別為，，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】B【分析】由雙曲線方程，把離心率表示出來，再利用基本不等式求得最小值.【詳解】由題意可得，，則，由基本不等式，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.41．已知雙曲線，過其上焦點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)A，并與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)不重合）．若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】設(shè)出過上焦點(diǎn)的直線方程為，由圓心到直線距離等于半徑得到，再分別聯(lián)立直線與圓，直線與漸近線，求出，，根據(jù)比例關(guān)系得到方程，得到的關(guān)系式，求出離心率.【詳解】由題意得，漸近線方程，設(shè)過其上焦點(diǎn)的直線方程為，則圓心到直線的距離為，解得，不妨取負(fù)值，如圖所示，故過其上焦點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立與可得，，解得，聯(lián)立與，可得，此時(shí)，重合，舍去，聯(lián)立與，可得，此時(shí)不重合，滿足要求，因?yàn)?，所以，故，化?jiǎn)得，又，故，即，解得，雙曲線的離心率為.故答案為：42．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為【答案】/【分析】設(shè)直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)求解.【詳解】解：如圖所示：

設(shè)直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，即，即，解得，故答案為?3．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，漸近線在第一象限的部分上存在一點(diǎn)P，且，直線的斜率為，則該雙曲線的離心率為．【答案】2【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，再由的斜率為，得到，化簡(jiǎn)得到離心率的方程，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，且，因?yàn)?，即，解得，即，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本€的斜率為，所以，可得，兩邊平方得，即，兩邊同時(shí)除以，可得，即，解得或（舍去）．故答案為：.重難點(diǎn)7求雙曲線離心率的取值范圍44．過雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，寫出向量，根據(jù)∠ADB為鈍角，結(jié)合向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，令，得，可設(shè)由對(duì)稱性，不妨設(shè)，可得，，由題意知三點(diǎn)不共線，所以∠ADB為鈍角，即為，將代入化簡(jiǎn)得，由，可得，又，解得，則，綜上，離心率的取值范圍為．故選：D.45．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線離心率的計(jì)算公式求解即得.【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D46．已知雙曲線（，）的離心率為，若直線與無公共點(diǎn)，則e的取值范圍是.【答案】【分析】確定雙曲線的漸近線方程，由題意可得關(guān)于的不等關(guān)系，即可求得離心率范圍.【詳解】因?yàn)殡p曲線（，）的漸近線為，因?yàn)?，要使直線與E無公共點(diǎn)，則，所以，，所以雙曲線的離心力的范圍所以滿足條件的離心率的范圍是，故答案為：47．已知雙曲線為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)列式，根據(jù)的取值范圍求得的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】依題意可知在第一象限，在第二象限，到漸近線的距離為，即，設(shè)，則，，由得，故，，.故選:C48．雙曲線的左焦點(diǎn)為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若存在，使得，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】雙曲線的右焦點(diǎn)，等價(jià)于，所以，由不等式可求雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】取雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線定義，如圖所示，故存在點(diǎn)使得等價(jià)為存在點(diǎn)使得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，則，由，解得，而，故離心率.故選：B49．如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線右支上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB（點(diǎn)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為．【答案】【分析】，，設(shè)，計(jì)算，根據(jù)均值不等式計(jì)算得到，得到離心率范圍.【詳解】，，設(shè)，，，故，，，，故等號(hào)不成立，故，，即.故答案為：.50．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在C上存在點(diǎn)P（不是頂點(diǎn)），使得，則C的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】與軸交點(diǎn)，連接，由雙曲線的定義和對(duì)稱性，結(jié)合已知條件得，有且，可求離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)與軸交點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，，如圖所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中，，∴，∴，由，且三角形的內(nèi)角和為，，即，則綜上，．故答案為：．重難點(diǎn)8根據(jù)離心率求參數(shù)51．已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為，，且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為，則該橢圓的焦距的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，根據(jù)雙曲線的定義及雙曲線的離心率的取值范圍求出的范圍，進(jìn)而可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，則，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則，又雙曲線的離心率的取值范圍為，所以，所以，所以，即該橢圓的焦距的取值范圍是.故選：B.52．設(shè)雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若的面積為4，則（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【分析】由雙曲線的離心率為可得①，又因?yàn)椋舻拿娣e為4，設(shè)在雙曲線的上半支，，則有，整理化簡(jiǎn)得，結(jié)合①，即可求得的值.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即有①，又因?yàn)?，的面積為4，由對(duì)稱性，設(shè)在雙曲線的上半支，，則有，所以，即，由①可得，所以，解得.故選：D.53．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)楸硎倦p曲線的方程，所以有，因此，因?yàn)?，所以由，即k的取值范圍為，故答案為：.54．已知，是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，若C的離心率為，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】由及雙曲線的定義可得，所以，，因?yàn)椋谥?，由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去?故答案為：355．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作的垂線，垂足為點(diǎn)H，若雙曲線的離心率，存在實(shí)數(shù)m滿足，則.【答案】【分析】由題意，可得相似三角形，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，建立等量關(guān)系，結(jié)合離心率的公式，建立方程，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，代入雙曲線可得，由可得，由題易得.由相似三角形的性質(zhì)可知，，則，，整理得.，，解得.故答案為：.56．已知雙曲線的離心率大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論實(shí)軸位置，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．【詳解】當(dāng)雙曲線實(shí)軸在軸上時(shí)，，解得，此時(shí)，所以，解得，所以，當(dāng)雙曲線實(shí)軸在軸上時(shí)，，解得，不符合題意.綜上，解得.故選：A．57．點(diǎn)P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】設(shè)出內(nèi)切圓的半徑，表示出，由得，結(jié)合雙曲線的定義及離心率即可求解.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，由可得，化簡(jiǎn)得，又，故.故選：D.重難點(diǎn)9雙曲線的實(shí)際應(yīng)用58．某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚2s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.【詳解】如圖，

以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)檩S、軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則設(shè)為巨響為生點(diǎn)，由同時(shí)聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽到爆炸聲，故，由雙曲線定義知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線左支上，依題意得故雙曲線方程為，將代入上式，得，即故.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北距中心處．故選：A.59．如圖，B地在A地的正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用分別是a萬元/、萬元/，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出曲線PQ的方程，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解作答.【詳解】以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OB為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，令點(diǎn)為曲線PQ上任意一點(diǎn)，則，因此曲線PQ是以點(diǎn)A，B為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線右支，其方程為，顯然點(diǎn)C在曲線PQ含焦點(diǎn)B的區(qū)域內(nèi)，設(shè)，，有，修建這兩條公路的總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，且，解得，即時(shí)，所以修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是萬元.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線上的點(diǎn)與一定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離和的問題，借助兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)在曲線上進(jìn)行化簡(jiǎn)變形即可推理求解.60．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面，水面寬.若水面下降，則水面寬是．（結(jié)果精確到）【答案】【分析】以雙曲線的對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，分析可知點(diǎn)在雙曲線上，求出實(shí)數(shù)的值，再將代入雙曲線方程，求出的值，即可得解.【詳解】以雙曲線的對(duì)稱軸為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，頂點(diǎn)為，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，，解得，水面下降米后，即，代入雙曲線方程得，解得，寬度為.故答案為：.61．如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn).，歷時(shí)m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點(diǎn)歷時(shí)n秒，若