高中數(shù)學-函數(shù)y=Asin(w+φ)的圖象教學設計學情分析教材分析課后反思

§1.5函數(shù)y=Asin（wx+6）的圖象

高一數(shù)學

【教材分析】

本節(jié)課的主要內(nèi)容是通過圖象變換，揭示參數(shù)6、3、A變化時對函數(shù)圖象

的形狀和位置的影響，討論函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象與正弦曲線的關系，以及

A、3、6的物理意義，并通過圖象的變化過程，進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，

它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映.這節(jié)是

本章的一個難點.

如何經(jīng)過變換由正弦函數(shù)y=sinx來獲取函數(shù)y=Asin（3x+?。┑膱D象呢?通

過引導學生對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+e）的圖象變換規(guī)律的探索,讓學生

體會到由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換

先后順序調(diào)整后,將影響圖象變換這一難點的突破，讓學生學會抓住問題的主要

矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數(shù)“、3、A的分類討論，讓學生深刻

認識圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.

本節(jié)課建議充分利用多媒體，倡導學生自主探究,在教師的引導下,通過圖象

變換和“五點”作圖法,正確找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+6）的圖象變換

規(guī)律,這也是本節(jié)課的重點所在。

【學情分析】

學生學習了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已經(jīng)具有用數(shù)學知識解決這類實際問題的

能力；另外，本班學生思維較為活躍，學習積極性教高，初步形成對數(shù)

學問題進行合作探究的意識與能力。

【教學目標】

1.知識與技能

借助計算機畫出函數(shù)y=Asin（3x+<b）的圖象，觀察參數(shù)中，3,A對函數(shù)

圖象變化的影響；引導學生認識y=Asin（3x+6）的圖象的五個關鍵點，學會

用“五點法”畫函數(shù)y=Asin3x+6）的簡圖；用準確的數(shù)學語言描述不同的變

換過程。

2.過程與方法

通過引導學生對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+6）的圖象變換規(guī)律的探索，

讓學生體會研究問題時由簡單到復雜，從具體到一般的思路，一個問題中涉及

幾個參數(shù)時，一般采取先“各個擊破”后“歸納整合”的方法。

3.情感態(tài)度與價值觀

經(jīng)歷對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+4））的圖象變換規(guī)律的探索過程,體會

數(shù)形結合以及從特殊到一般的化歸思想；培養(yǎng)學生從不同角度分析問題，解決

問題的能力。

【教學重點】

將考察參數(shù)A、3、6對函數(shù)y=Asin（3x+6）圖象的影響的問題進行分解，

找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+<t>）的圖象變換規(guī)律.學習如何將一個復雜問

題分解為若干簡單問題的方法.；會用五點作圖法正確畫函數(shù)y=Asin（3x+6）

的簡圖.

【教學難點】

學生對周而變換、相位變換順序不同，圖象平移量也不同的理解.

【課型】新授課

【教學方法】

按照本課的重點和難點，我打算以學習任務驅(qū)動，以問題探究與動手操作為

方式，以問題解決為主線，通過各種展示方式創(chuàng)設情景，引導學生通過對問題的

交流討論和實驗探究，學會畫圖并理解對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+巾）的圖

象變換規(guī)律的探索。

【教具】多媒體

【教學導圖】

通過“探究”激發(fā)學生求知欲望教學過程

探究過程中引出畫圖的必要性

隨即得出畫y=Asin（3x+電）的步驟

引導學生用分析函數(shù)圖像的變化

引出圖像的變化規(guī)律

進而得到A、3、中對圖像的影響

練習反饋

課下作業(yè)

【教學過程】

函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象

（一）、導入新課

思路L（情境導入）在物理和工程技術的許多問題中，都要遇到形如

丫=人53（3*+6）的函數(shù)（其中人、3、6是常數(shù)）.例如，物體做簡諧振動時位移y

與時間X的關系,交流電中電流強度y與時間x的關系等,都可用這類函數(shù)來表示.

這些問題的實際意義往往可從其函數(shù)圖象上直觀地看出，因此,我們有必要畫好

這些函數(shù)的圖象.揭示課題：函數(shù)y=Asin（3x+@）的圖象.

思路2.（直接導入）從解析式來看，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin（3x+6）存在

著怎樣的關系？從圖象上看，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin（3x+6）存在著怎樣的關

系?接下來，我們就分別探索小、3、人對丫=人5鋸（3*+6）的圖象的影響.

（二）、推進新課、新知探究、提出問題

①觀察交流電電流隨時間變化的圖象,它與正弦曲線有何關系？你認為可以

怎樣討論參數(shù)6、3、A對y=Asin(3x+小)的圖象的影響？

②分別在y=sinx和y=sin(x+X)的圖象上各恰當?shù)剡x取一個縱坐標相同的

3

點，同時移動這兩點并觀察其橫坐標的變化，你能否從中發(fā)現(xiàn)，山對圖象有怎樣的

影響？對小任取不同的值，作出y=sin(x+d))的圖象,看看與y=sinx的圖象是否

有類似的關系？

③你概括一下如何從正弦曲線出發(fā)，經(jīng)過圖象變換得到y(tǒng)=sin(x+6)的圖

象.

④你能用上述研究問題的方法,討論探究參數(shù)3對y=sin(3x+小)的圖象的

影響嗎？為了作圖的方便,先不妨固定為6=工，從而使y=sin(3x+4)在3變

3

化過程中的比較對象固定為y=sin(x+^).

3

⑤類似地，你能討論一下參數(shù)A對尸sin(2x+X)的圖象的影響嗎？為了研究

3

方便,不妨令3=2,6=工.此時，可以對A任取不同的值，利用計算器或計算機作

3

出這些函數(shù)在同一坐標系中的圖象,觀察它們與y=sin(2x+-)的圖象之間的關

3

系.

⑥可否先伸縮后平移？怎樣先伸縮后平移的？

活動：問題①，教師先引導學生閱讀課本開頭一段,教師引導學生思考研究問

題的方法.同時引導學生觀察y=sin(x+巴)圖象上點的坐標和y=sinx的圖象上點

3

的坐標的關系，獲得巾對y=sin(x+6)的圖象的影響的具體認識.然后通過計算

機作動態(tài)演示變換過程，引導學生觀察變化過程中的不變量，得出它們的橫坐標

總是相差上的結論.并讓學生討論探究.最后共同總結出：先分別討論參數(shù)6、3、

3

A對y=Asin(3x+6)的圖象的影響,然后再整合.

圖1

問題②，由學生作出“取不同值時，函數(shù)y=sin(x+6)的圖象，并探究它與

y=sinx的圖象的關系，看看是否仍有上述結論.教師引導學生獲得更多的關于6

對y=sin(x+6)的圖象影響的經(jīng)驗.為了研究的方便，不妨先取6=工，利用計算

3

機作出在同一直角坐標系內(nèi)的圖象，如圖1,分別在兩條曲線上恰當?shù)剡x取一個

縱坐標相同的點A、B,沿兩條曲線同時移動這兩點，并保持它們的縱坐標相等,觀

察它們橫坐標的關系.可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個y值,y=sin(x+工)的圖象上的點的

3

橫坐標總是等于y=sinx的圖象上對應點的橫坐標減去工.這樣的過程可通過多

3

媒體課件，使得圖中A、B兩點動起來（保持縱坐標相等），在變化過程中觀察A、B

的坐標、XB-XAS|AB|的變化情況，這說明y=sin（x+2）的圖象可以看作是把正弦

3

曲線y=sinx上所有的點向左平移工個單位長度而得到的，同時多媒體動畫演示

3

y=sinx的圖象向左平移工使之與尸sin（x+X）的圖象重合的過程，以加深學生對

33

該圖象變換的直觀理解.再取小二-生，用同樣的方法可以得到尸sinx的圖象向右

4

平移工后與y=sin（X--）的圖象重合.

44

如果再變換小的值,類似的情況將不斷出現(xiàn),這時“對y=sin（x+<!>）的圖象

的影響的鋪墊已經(jīng)完成,學生關于“對y=sin（x+6）的圖象的影響的一般結論已

有了大致輪廓.

問題③，引導學生通過自己的研究認識*對y=sin（x+6）的圖象的影響，并

概括出一般結論：

丫=55儀+。）（其中4）。0）的圖象,可以看作是把正弦曲線上所有的點向左

（當。>0時）或向右（當6<0時）平行移動|6|個單位長度而得到.

問題④,教師指導學生獨立或小組合作進行探究,教師作適當指導.注意提醒

學生按照從具體到一般的思路得出結論,具體過程是：（1）以y=sin（x+工）為參照,

3

把y=sin（2x+-）的圖象與尸sin（x+工）的圖象作比較,取點A、B觀察.發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

33

j=sin(x+j)

圖2

如圖2,對于同一個y值,y=sin（2x+2）的圖象上點的橫坐標總是等于y=sin（x+

3

三）的圖象上對應點的工倍.教學中應當非常認真地對待這個過程,展示多媒體課

32

件,體現(xiàn)伸縮變換過程，引導學生在自己獨立思考的基礎上給出規(guī)律.（2）取3=1,

2

讓學生自己比較y=sin（'x+&）的圖象與y=sin（x+X）圖象.教學中可以讓學生

233

通過作圖、觀察和比較圖象、討論等活動，得出結論:把丫=$Sa+工）圖象上所有

3

點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），就得到丫=5S（,乂+工）的圖象.

23

當取3為其他值時，觀察相應的函數(shù)圖象與y=sin（x+2）的圖象的關系，得

3

出類似的結論.這時3對y=sin（3x+6）的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學生關

于3對y=sin（3x+6）的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.教師指導學生

將上述結論一般化，歸納y=sin（3x+（b）的圖象與y=sin（x+6）的圖象之間的關

系，得出結論：

函數(shù)尸sin（3x+。）的圖象可以看作是把y=sin（x+4>）的圖象上所有點的橫

坐標縮短（當3>1時）或伸長（當3。時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到.

問題⑤,教師點撥學生,探索A對圖象的影響的過程,與探索3、”對圖象的

影響完全一致,鼓勵學生獨立完成.學生觀察y=3sin（2x+2）的圖象和y=sin（2x+

3

生）的圖象之間的關系.如圖3,分別在兩條曲線上各取一個橫坐標相同的點A、B,

3

沿兩條曲線同時移動這兩點，并使它們的橫坐標保持相同，觀察它們縱坐標的關

系.可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個X值，函數(shù)y=3sin（2x+2）的圖象上的點的縱坐標等于

3

函數(shù)y=sin（2x+生）的圖象上點的縱坐標的3倍.這說明,y=3sin（2x+%）的圖象,

33

可以看作是把尸sin（2x+X）的圖象上所有的點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐

3

標不變）而得到的.通過實驗可以看到,A取其他值時也有類似的情況.有了前面

兩個參數(shù)的探究,學生得出一般結論：

?lfey=Asin（cox+<i>）A>0,<o>0）的圖象可以看作是把y=sin（3x+4>）

上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當O<A<1時）到原來的A倍（橫坐標不

變）而得到，從而，函數(shù)y=Asin（3x+6）的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是

-A.

由此我們得到了參數(shù)6、3、A對函數(shù)y=Asin（3x+<b）（其中A>0,3>0）的圖

象變化的影響情況.

一般地，函數(shù)y=Asin（3x+6）（其中A>0,3>0）的圖象，可以看作用下面的方

法得到：

,先畫出函數(shù)y=sinx的圖象;再把正弦曲線向左（右）平移|4）|個單位長度,

得到函數(shù)丫=5曲6+。）的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓け?得

CO

到函數(shù)y=sin（3x+6）的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，這

時的曲線就是函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象.

⑥引導學生類比得出.其順序是：先伸縮橫坐標（或縱坐標），再伸縮縱坐標

（或橫坐標），最后平移.但學生很容易在第三步出錯,可在圖象變換時,對比變換,

以引起學生注意,并體會一些細節(jié).

由此我們完成了參數(shù)小、3、A對函數(shù)圖象影響的探究.教師適時地引導學

生回顧思考整個探究過程中體現(xiàn)的思想：由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思

想.

（三）、討論結果：

①把從函數(shù)y=sinx的圖象到函數(shù)y=Asin（3x+“）的圖象的變換過程,分解

為先分別考察參數(shù)6、川、A對函數(shù)圖象的影響，然后整合為對丫=八$打（3乂+巾）

的整體考察.

②略②略.

③圖象左右平移，”影響的是圖象與x軸交點的位置關系.

④縱坐標不變,橫坐標伸縮，3影響了圖象的形狀.

⑤橫坐標不變,縱坐標伸縮,A影響了圖象的形狀.

（四）、規(guī)律總結：

先平移后伸縮的步驟程序如下：

向左（0>0）或向右（0<0）>

y=sinx的圖象平移陽個單位長度得y=sin（x+<t>）的圖

象

橫坐標伸長或縮短（。>1））

到原Q（縱坐標不變）^=sin（3x+6）的圖象

（0

縱坐標伸長（A>1）或縮短（0<4<1）、

為原來的A倍（橫坐標不變）得y=Asin（3x+6）的圖象

先伸縮后平移（提醒學生盡量先平移），但要注意第三步的平移.

縱坐標伸長（A>1）或縮短（O<A<1）,

y=sinx的圖象這原來的A倍（橫坐標不變）>得V=Asinx的圖

象

橫坐標伸長（0<速<1）或縮短（（>1）>

到原來的工（縱坐標不變）得丫=人5h5）的圖象

CD

向左（0>0）或縮短（。>1））

平移四個單位得y=Asin（3x+4）的圖象.

0）

（五）、應用示例

例1畫出函數(shù)y=2sin(』x-2)的簡圖.

36

活動:本例訓練學生的畫圖基本功及鞏固本節(jié)所學知識方法.

(1)引導學生從圖象變換的角度來探究,這里的6=—工，3=1，A=2,鼓勵

63

學生根據(jù)本節(jié)所學內(nèi)容自己寫出得到y(tǒng)=2sin(』x-二)的圖象的過程:只需把丫=

36

sinx的曲線上所有點向右平行移動生個單位長度，得到y(tǒng)=sin(x-2)的圖象;再

66

把后者所有點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)=sin(』x-二)的

36

圖象;再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)而得到函

數(shù)y=2sin(-x-—)的圖象,如圖4所示.

36

y彩sin(**)

2

尸sin(x-$)

，八\6

發(fā)sin'V*X

y=2sin/r-專)

圖4

(2)學生完成以上變換后，為了進一步掌握圖象的變換規(guī)律,教師可引導學生

作換個順序的圖象變換,要讓學生自己獨立完成，仔細體會變化的實質(zhì).

(3)學生完成以上兩種變換后，就得到了兩種畫函數(shù)y=2sin(』x-2)，簡圖

36

的方法,教師再進一步的啟發(fā)學生能否利用“五點法”作圖畫出函數(shù)y=2sindx-

3

工)的簡圖，并鼓勵學生動手按“五點法”作圖的要求完成這一畫圖過程.

6

解:方法一:畫出函數(shù)y=2sin(4x-2)簡圖的方法為

36

右移C個單位

y=sinx--------------y=sin(x--)

6

縱坐標不變、I.橫坐標不變、

橫坐標伸長到原來的3倍y=sin(3X-7縱坐標伸長到原來的2倍

y=2sin(—X--).

36

方法二:畫出函數(shù)y=2sin(工x-2)簡圖的又一方法為

36

縱坐標不變]

y=sinx橫坐標伸長到原來的3倍y=sin3x

橫坐標不變）]右移]個單位

縱坐標伸長到原來的2倍y=2sinax

方法三：（利用“五點法”作圖一一作一個周期內(nèi)的圖象）

令x=-x--,則x=3(X+&).列表:

366

713兀

X07JIT2n

717乃13萬

X2n5n

~2TF

Y020-20

描點畫圖，如圖5所示.

點評:學生獨立完成以上探究后，對整個的圖象變換及“五點法”作圖會有一

個新的認識.但教師要強調(diào)學生注意方法二中第三步的變換，左右平移變換只對

“單個”x而言,這點是個難點，學生極易出錯.對于“五點法”作圖，要強調(diào)這五

個點應該是使函數(shù)取最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點.找出它們的方法

是先作變量代換,設X=3x+6,再用方程思想由X取0,三，n,—,2JT來確定對

22

應的x值.

【作業(yè)】

1.習題1.5A組第2、3題。

2.課后收集資料，交流討論在物理學科中的應用。

【板書設計】

主板書副板書

1.五點作圖法的步驟1.復習舊知

列表、描點、連線2.創(chuàng)設情境引入

2.圖像變換的2種方法

先平移后伸縮

先伸縮后平移

3.練習

4.小結

5.作業(yè)

【預測反思】

1.這節(jié)課我將知識目標確定在讓學生學會畫y=Asin（3x+6）的圖象讓學

生通過實例體會A、3、巾對圖象的意義和作用，但是學生往往缺乏動手畫圖的

好習慣，如何提高學生的動手操作能力應該值得反思。

2.學生往往也缺乏利用圖表提取信息能力，如何運用圖像解決問題，提

高學生的運用知識解決問題的能力，也應該是值得反思的問題。

函數(shù)y二Asin（wx+巾）的圖象學情分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是學生學習了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已經(jīng)具有用數(shù)學知

識解決這類實際問題的能力；另外，本班學生思維較為活躍，學習積極性教

高，初步形成對數(shù)學問題進行合作探究的意識與能力。

函數(shù)y=Asin（wx+（t＞）的圖象效果分析

學生學習的效果分析當然重要，但是更重要的是學生學習的過程評價.教

師應當高度重視學生學習過程中的參與度、自信心、團隊精神、合作意識、獨立思考習

慣的養(yǎng)成、數(shù)學發(fā)現(xiàn)的能力，以及學習的興趣和成就感.學生熟悉的問題情境可

以激發(fā)學生的學習興趣，問題串的設計可以讓更多的學生主動參與,師生對話可以實現(xiàn)師生合作，

適度的研討可以促進生生交流以及團隊精神，知識的生成和問題的解決可以讓學生感受到成

功的喜悅，縝密的思考可以培養(yǎng)學生獨立思考的習慣.讓學生在教師評價、學生

評價以及自我評價的過程中體驗知識的積累、探索能力的長進和思維品質(zhì)的提高，為學生的可持續(xù)

發(fā)展打下基礎.

函數(shù)y=Asin（wx+Q）的圖象教材分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是通過圖象變換，揭示參數(shù)4＞、3、A變化時對函數(shù)圖象的形狀和位

置的影響，討論函數(shù)丫=人5徐（3*+。）的圖象與正弦曲線的關系，以及人、3、＜!＞的物理意義，

并通過圖象的變化過程,進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸,

也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映.這節(jié)是本章的一個難點.

如何經(jīng)過變換由正弦函數(shù)y=sinx來獲取函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象呢?通過引導學生

對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（3x+④）的圖象變換規(guī)律的探索，讓學生體會到山簡單到復雜、

由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后，將影響圖象變換

這一難點的突破,讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數(shù)

6、3、A的分類討論，讓學生深刻認識圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.

本節(jié)課建議充分利用多媒體，倡導學生自主探究,在教師的引導下,通過圖象變換和“五

點”作圖法,正確找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin(3x+4))的圖象變換規(guī)律,這也是本節(jié)課的重

點所在。

函數(shù)y=Asin(wx+6)的圖象評測練習

基礎題：

一、選擇題

1.把函數(shù)y=f(x)的圖象沿直線x+y=O的方向向右下方平移2近個單位，得到函數(shù)y=sin3x

的圖象，則()

A.f(x)=sin(3x+6)+2B.f(x)=sin(3x-6)-2

C.f(x)=sin(3x+2)+2D.f(x)=sin(3x-2)-2

2.把函數(shù)y=sin(3x+6)(3>0,|力1〈TT生)的圖象向左平移IT三個單位，所得曲線的一部分

23

如圖所示，則3、e的值分別為()

3333

3.已知函數(shù)f(x)=sin3x在［0,工］上單調(diào)遞增且在這個區(qū)間上的最大值為主，則實數(shù)a

42

的一個值可以是()

釁

4.已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=cosx,則下列結論中正確的是()

A函數(shù)y=f(x)?g(x)是偶函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)?g(x)的最大值為1

C.將f(x)的圖象向右平移三TT個單位長度后得到g(x)的圖象

2

TT

D.將f(x)的圖象向左平移上個單位長度后得到g(x)的圖象

2

5.函數(shù)y=Asin(3x+6)圖象的一部分如圖所示,則此函數(shù)的解析式可以寫成()

A.y=sin(x+—)

71

C.y=sin(2x+—)D.y=sin(2x--^-)

二、填空題

77*TTI

6.曲線y-2sin(x+i)cos(x-w)和直線y=萬在y軸右側的交點按橫坐標從小到大依次

記為P1，P2,P3,???，貝ijP2P/=.

7T

7.要得到丁=?(?(2》-土)的圖象，且使平移的距離最短,則需將y=sin2x的圖象向―

4

平移個單位,即可得到.

中檔題

三、解答題

JT34

8.已知函數(shù)/(x)=2cos(x--)+2sin(w+x).

r-|-Tyirn-T-rn-T-r-i-T-i

LJ_l<

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