第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)復(fù)賽試題及答案

2006年第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)復(fù)賽試題及答案

目錄

第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題...................................................1

第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)..................................8

第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷..................................................23

第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn).................................28

旗開得勝

第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題

（2006年9月3日）

本卷共九題，滿分200分

一、（20分，每小題10分）

2

1.如圖所示，彈簧Si的上端固定在天花板上，下端連一小球A,球A與球B之間

用線相連。球與球之間用彈簧相連。、、的質(zhì)量分別為儂、神、me,

BCS2ABC

彈簧與線的質(zhì)量均可不計。開始時它們都處在靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將A、B間的線突然剪斷,

求線剛剪斷時A、B、C的加速度。

2.兩個相同的條形磁鐵，放在平板AB上,磁鐵的N、S極如圖所示，開始時平板及磁鐵皆處于水平

位置，且靜止不動。

（i）現(xiàn)將AB突然豎直向下平移（磁鐵與平板間始終相互接觸），并使之停在AB'處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個

條形磁鐵碰在一起。

（ii）如果將AB從原位置突然豎直向上平移，并使之停在A"B"位置，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩條形磁鐵也碰在一

起。A“----------------------B'

試定性地解釋上述現(xiàn)象。SNSN

A'----------------------B'

I

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二、(20分，第1小題12分，第2小題8分)

1.老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ邸?/p>

(i)一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚。試在示意圖1中畫出此時P通過眼睛成像的光路

示意圖。

(ii)帶了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P,試在示意圖2中畫

出P通過老花鏡和眼睛成像的光路示意圖。

2.有兩個凸透鏡，它們的焦距分別為6和灰，還有兩個凹透鏡，它們的焦距分別為h和日已知，

人＞灰＞|用＞|切。如果要從這四個透鏡中選取兩個透鏡，組成一架最簡單的單筒望遠(yuǎn)鏡，要求能看到放

大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應(yīng)選焦距為的透鏡作為物鏡，應(yīng)選焦距為的透鏡作為目

鏡。

2

0.

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三、(20分，第一小題12分，第2小題8分)

1.如圖所示，電荷量為qi的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，電荷量為i72的正點(diǎn)電荷固定在x軸

上，兩電荷相距/.已知僅=2s。

(i)求在x軸上場強(qiáng)為零的P點(diǎn)的坐標(biāo)。

(ii)若把一電荷量為琛的點(diǎn)電荷放在『點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮仇被限制在沿*軸運(yùn)動

和被限制在沿垂直于x軸方向運(yùn)動這兩種情況\

%

7~~

2.有一靜電場，其電勢U隨坐標(biāo)x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示，試在圖2中畫出該靜電

場的場強(qiáng)￡隨x變化的圖線(設(shè)場強(qiáng)沿x軸正方向時取正值，場強(qiáng)沿x軸負(fù)方向時取負(fù)值\

3

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四、（20分）一根長為L（以厘米為單位）的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管，一端封閉,

一端開口，處在大氣中。大氣的壓強(qiáng)與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管

長/>〃。現(xiàn)把細(xì)管彎成L形，如圖所示。假定細(xì)管被彎曲時，管長和管的內(nèi)徑都

不發(fā)生變化。可以把水銀從管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出。當(dāng)細(xì)管彎成

L形時，以/表示其豎直段的長度，問/取值滿足什么條件時，注入細(xì)管的水銀量為

最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值（用水銀柱的長度表示\

五、（20分）一對正、負(fù)電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子。電子偶素中的正電子與負(fù)

電子都以速率-繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動。假定玻爾關(guān)于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質(zhì)

量機(jī)、速率v和正、負(fù)電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件，即

h

mrv=n——

2%

式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1,2,3，……;h為普朗克常量。試求電子偶素處在各定態(tài)時的r

和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差。

4

0.

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六、（25分）如圖所示,兩個金屬輪Al、A2,可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸a

和。轉(zhuǎn)動，a和。相互平行，水平放置。每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，Ai輪的輻條

長為仇、電阻為R1,A2輪的輻條長為力、電阻為R1,連接

輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為30的絕緣圓

盤D與Ai同軸且固連在一起。一輕細(xì)繩的一端固定在D邊

緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重

物P。當(dāng)P下落時，通過細(xì)繩帶動D和Ai繞。軸轉(zhuǎn)動。

轉(zhuǎn)動過程中，Ai、A2保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細(xì)軸

之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻

相連。除R和Ai、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計。整個裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的

勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行。現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時的速度。

七、（25分）圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R,

圓筒的軸線在。處。圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁

感應(yīng)強(qiáng)度為B。筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中?，F(xiàn)有一質(zhì)

量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔

射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒。設(shè)：筒壁是光滑的，P與筒

壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的。若要使P與筒壁碰

0.

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撞的次數(shù)最少，問：

1.P的速率應(yīng)為多少？

2.P從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時間為多少？

八、（25分）圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長都是/。一

根長為2/的柔軟的輕細(xì)繩，一端固定在Z點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的

小球，初始時，手持小球，將繩拉直,繞過B點(diǎn)使小球處于C點(diǎn)?，F(xiàn)給小

球一豎直向下的初速度K），使小球與CB邊無接觸地向下運(yùn)動，當(dāng)才分別

取下列兩值時，小球|等打到梁上的何處？

1.詔=2（60+3g—l）g/2.4=2（375+11.

設(shè)繩的伸長量可不計而且是非彈性的。

九、（25分）從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)/V,要求發(fā)射所用的能量最少。假

定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，#=6400km。已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作

6

0.

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橢圓運(yùn)動時，其能量E與橢圓半長軸a的關(guān)系為

「〃Mm

E=-G----

2a

式中M為地球質(zhì)量,G為引力常量。

1.假定地球沒有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向（用

速度方向與地心。到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示\

2.若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

Mtn

3.試導(dǎo)出E=-G——

2a

7

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第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、參考解答：

1.線剪斷前，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。此時彈簧Si的彈力

=(/nA+mB+/?7c)g(1)

彈簧S2的彈力

(2)

在線剛被剪斷的時刻，各球尚未發(fā)生位移，彈簧的長度尚無變化，故后、F2的大小尚未變化，但線的拉

力消失。設(shè)此時球A、B、C的加速度的大小分別為8A、九、ac,則有

(3)

F2+mBg=mBaB(4)

F2-mcg=mcac(5)

解以上有關(guān)各式得

m

?A=B+"'cg方向豎直向上(6)

機(jī)A

&B=mB+'nCg方向豎直向下(7)

機(jī)B

=0(8)

2.開始時，磁鐵靜止不動，表明每一條磁鐵受到另一條磁鐵的磁力與它受到板的靜摩擦力平衡。

(i)從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運(yùn)動經(jīng)歷了兩個階段。起初，板向下加速移動，板與

磁鐵有脫離接觸的趨勢，磁鐵對板的正壓力減小，并跟隨板一起作加速度方向向下、速度向下的運(yùn)動。在

這過程中，由于磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小。向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，

最大靜摩擦力也愈小。當(dāng)板的加速度大到某一數(shù)值時，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板

相向運(yùn)動并吸在一起。接著，磁鐵和板一起作加速度方向向上、速度向下的運(yùn)動，直到停在AR'處。在

這過程中，磁鐵對板的正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，因兩磁鐵已碰在一起，磁力、接觸處出現(xiàn)的彈

8

0.

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力和可能存在的靜摩擦力總是平衡的，兩條磁鐵吸在一起的狀態(tài)不再改變。

(ii)從板突然豎直向上平移到停下，板和磁鐵的運(yùn)動也經(jīng)歷兩個階段。起初,板和磁鐵一起作加速度

方向向上、速度向上的運(yùn)動，在這過程中，正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，作用于每個磁鐵的磁力與

靜摩擦力始終保持平衡，磁鐵在水平方向不發(fā)生運(yùn)動。接著，磁鐵和板一起作加速度方向向下、速度向上

的運(yùn)動，直到停在A"B"處。在這過程中，磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小，向下的加速度

愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小。當(dāng)板的加速度大到某一數(shù)值時，最大靜摩擦力減小到小

于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運(yùn)動并吸在一起。

評分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)

1.10分。(11(21(3\(4).(5](6](71(8)式各1分，豕九的方向各1分。

2.10分。(i)5分，(ii)5分(必須正確說出兩條形磁鐵能吸引在一起的理由，才給這5分，否則不

給分I

二、參考答案

1.

(i)

圖1

(iii)|

2",反。

評分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)

1.12分。(i)4分，(ii)4分，(iii)4分。

2.8分。兩個空格都填對，才給這8分，否則0分。

9

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三、參考解答：

皿尸

r*~~~!-xa

1.

(i通過對點(diǎn)電荷場強(qiáng)方向的分析，場強(qiáng)為零的戶點(diǎn)只可能位于兩點(diǎn)電荷之間。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為的,

則有

k^=k42

(1)

xo

已知

%=2%(2)

由((2)兩式解得

改產(chǎn)(0-1)/(3)

(ii)先考察點(diǎn)電荷朱被限制在沿x軸運(yùn)動的情況。依、我兩點(diǎn)電荷在戶點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小

分別為

Go=k%,

-(、Xo)2

且有￡io=Eo

二者方向相反。點(diǎn)電荷僅在。點(diǎn)受到的合力為零，故。點(diǎn)是仇的平衡位置。在x軸上戶點(diǎn)右側(cè)

X=々+&處，6、Cf2產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小分別為

%

E；=kT<Eg方向沿x軸正方向

(/+Ar)

矽>Go

E'2=k方向沿x軸負(fù)方向

(/-XQ-Ax)

由于處合場強(qiáng)沿x軸的負(fù)方向，即指向點(diǎn)。在軸上P點(diǎn)左側(cè)x=x-&x

E'2>E'X,x=x0+ArPx()

處6、3的場強(qiáng)的大小分別為

10

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E{'=k方向沿x軸正方向

,%,、2＞E10

(%-Ar)

E'；=k-__%＜￡2()方向沿*軸負(fù)方向

(/-x0+Ax)

由于《'＜$',x=Xo-Ar處合場強(qiáng)的方向沿x軸的正方向,即指向。點(diǎn)。

由以上的討論可知，在x軸上，在。點(diǎn)的兩側(cè)，點(diǎn)電荷6和.產(chǎn)生的電場的合場強(qiáng)的方向都指

向2點(diǎn)，帶正電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到的電場力都指向P點(diǎn)，所以當(dāng)仇＞0時，。點(diǎn)是仇的穩(wěn)定

平衡位置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在2點(diǎn)附近受到的電場力都背離Q點(diǎn)，所以當(dāng)仇＜0時，?點(diǎn)是仇的不

穩(wěn)定平衡位置.

再考慮染被限制在沿垂直于x軸的方向運(yùn)動的情況。沿垂直于*軸的方向，在。點(diǎn)兩側(cè)附近，

點(diǎn)電荷qi和0產(chǎn)生的電場的合場強(qiáng)沿垂直x軸分量的方向都背離P點(diǎn)，因而帶正電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)

附近受到沿垂直x軸的的分量的電場力都背離P點(diǎn)，所以，當(dāng)仇＞0時，。點(diǎn)是仇的不穩(wěn)定平衡位

置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到的電場力都指向P點(diǎn)，所以當(dāng)前＜0時，P點(diǎn)是琬的穩(wěn)定平衡

陪

評分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)

1.12分

(i)2分

11

0.

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(ii)當(dāng)依被限制在沿x軸方向運(yùn)動時，正確論證仇＞0,P點(diǎn)是仇的穩(wěn)定平衡位置，占3分；正

確論證仇＜0,P點(diǎn)是仇的不穩(wěn)定平衡位置，占3分(未列公式，定性分析正確的同樣給分\

當(dāng)僅被限制在垂直于x軸的方向運(yùn)動時，正確論證琬＞0，0點(diǎn)是琬的不穩(wěn)定平衡位置，占2

分；正確論證仇＜0，。點(diǎn)是仇的穩(wěn)定平衡位置，占2分。

2.8分?？v坐標(biāo)標(biāo)的數(shù)值或圖線有錯的都給0分?？v坐標(biāo)標(biāo)的數(shù)值、圖線與參考解答不同，正確的同樣

給分。

四、參考解答

開始時豎直細(xì)管內(nèi)空氣柱長度為L,壓強(qiáng)為H(以cmHg為單位),注入少量水銀后，氣柱將因水

銀柱壓力而縮短。當(dāng)管中水銀柱長度為x時,管內(nèi)空氣壓強(qiáng)p=(H+x),根據(jù)波意耳定律，此時空氣柱

長度

L'=(1)

H+x

空氣柱上表面與管口的距離

d=L—L'=———x(2)

H+x

開始時x很小，由于L＞H,故

上一〉1

H+x

即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至d=*(即水銀柱上表面與管口相平)時為止。何時水銀

柱表明與管口相平，可分下面兩種情況討論。

1.水銀柱表明與管口相平時，水銀柱未進(jìn)入水平管

此時水銀柱的長度x＜l,由波意耳定律有

(H+x)(L-x)=HL(3)

由(3)式可得

x^L-H(4)

由此可知，當(dāng)/NL-〃時，注入的水銀柱的長度x的最大值

12

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%max=L-H(5)

2.水銀柱表面與管口相平時，一部分水銀進(jìn)入水平管

此時注入水銀柱的長度x>1,由波意耳定律有

(6)

LI

x=------(7)

H+l

,LI

I<x=(8)

H+l

由（8）式得

1<L-H,或L>H+l(9)

x=L-H-^-<L-H(10)

H+l

即當(dāng)1<L-H時，注入水銀柱的最大長度x<xmax.

由上討論表明，當(dāng)INL-H時，可注入的水銀量最大，這時水銀柱的長度為Xmax，即（5）式。

評分標(biāo)準(zhǔn)：（本題20分）

正確論證INL-H時可注入的水銀量最大，占13分。求出最大水銀量占7分。若論證的方法與參

考解答不同，只要正確，同樣給分。

五、參考解答：

正、負(fù)電子繞它們連線的中點(diǎn)作半徑為二的圓周運(yùn)動，電子的電荷量為

e,正、負(fù)電子間的庫侖

2

力是電子作圓周運(yùn)動所需的向心力，即

上(1)

/(r/2)

正電子、負(fù)電子的動能分別為E"和EK_,有

紜+=顯一二萬團(tuán)一(2)

正、負(fù)電子間相互作用的勢能

0?13

冷、

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2

E=-k—(3)

pr

電子偶素的總能量

E=EK++EK_+EP(4)

由(1\(2)(3)(4)各式得

1e2

E=--k—(5)

2r

根據(jù)量子化條件

h

mrv=n——n=1,2,3,(6)

2%

（6）式表明,r與量子數(shù)n有關(guān)。有（1）和（6）式得與量子數(shù)n對應(yīng)的定態(tài)r為

n2h2

一壽西〃=1，23(7)

代入（5）式得與量子數(shù)n對應(yīng)的定態(tài)的E值為

7r2k-e4m

紇r"一下廠"=1，2,3,(8)

"=1時，電子偶素的能量最小，對應(yīng)于基態(tài)?；鶓B(tài)的能量為

7r2k2e4m

(9)

n=2是第一激發(fā)態(tài)，與基態(tài)的能量差

3兀2k2e4m

△￡=(10)

4h2

評分標(biāo)準(zhǔn)：（本題20分）

（2）式2分，⑸式4分，（7）式、（8）式各5分，（10）式4分。

六、參考解答：

P被釋放后，細(xì)繩的張力對D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動D和Ai作逆時針的加速轉(zhuǎn)動，通過兩個輪子之

間無相對運(yùn)動的接觸，Ai帶動A2作順時針的加速轉(zhuǎn)動。由于兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在Ai產(chǎn)

14

0.

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生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在A2產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路。

Ai、A2中各輻條上流有沿電動勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁

力矩是阻力矩，使Ai、A2加速轉(zhuǎn)動的勢頭減緩。Ai、A2從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動，電流隨之

逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、Ai和A2停止作加速轉(zhuǎn)動，均

作勻角速轉(zhuǎn)動，此時P勻速下落，設(shè)其速度為乙則Ai的角速度

V

=——（1）

%

A1帶動A2轉(zhuǎn)動，A2的角速度。2與A1的角速度叼之間的關(guān)系為

例q=ga,（2）

Ai中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢均為

一1,

匕=/3~例（3）

軸與輪邊之間的電動勢就是Ai中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值見（3）式。

同理，A2中，軸與輪邊之間的電動勢就是A2中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為

Ai中，每根輻條的電阻為Ri,軸與輪邊之間的電阻是Ai中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為

心若⑸

A2中，每根輻條的電阻為R2,軸與輪邊之間的電阻是A2中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為

&2=1（6）

Ai輪、A2輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路,其中的電流為

7:E,+E,（7）

R+R/u+此1

以（1）至（6）式代入（7）式，得

15

0.

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I

Ba}(fl1+a()v

(8)

當(dāng)P勻速下降時，對整個系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即

(9)

以(8)式代入(9)式得

_mg(4R+/?,+Z?2)?Q

i而而+療(10)

評分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)

(1)(2)式各2分，(3)(4)式各3分，(5\(61(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分。

七、參考答案：

1.如圖1所示，設(shè)筒內(nèi)磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P

帶正電，其速率為1/oP從小孔射入圓筒中，因受到磁場的作用力而偏

離入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的。

但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出。造此情形中，P在筒內(nèi)的

路徑由三段等長、等半徑的圓弧HM、MN、和NH組成?，F(xiàn)考察其中

一段圓弧例/V,如圖2所示。由于P沿筒的半徑方向入射QM和ON

圖1

均與軌道相切，兩者的夾角

2

a=—7T(1)

3

設(shè)圓弧的圓半徑為r,則有

16

0.

艮讀萬卷書行萬里路

旗開得勝

V

qvB=m一(2)

圓弧對軌道圓心O'所張的圓心角

B=%⑶

由幾何關(guān)系得

r=Rcot^-(4)

2

解(21(31(4)式得

「立邂(5)

m

2.P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為

s=pr(6)

經(jīng)歷時間為

t=-(7)

iv

P從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時間為

t=3t}(8)

由以上有關(guān)各式得

(9)

qB

評分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)

L17分。(1)(2\(3)(4)式各3分，(5)式5分。

2.8分分6)(781(9)式各2分.

八、參考解答：

小球獲得沿豎直向下的初速度14)后，由于細(xì)繩處于松弛狀態(tài)，故從C點(diǎn)開始，小球沿豎直方向作

初速度為以加速度為g的勻加速直線運(yùn)動。當(dāng)小球運(yùn)動到圖1中的M點(diǎn)時，繩剛被拉直,勻加速直

17

0.

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旗開得勝

線運(yùn)動終止，此時繩與豎直方向的夾角為a=30。。在這過程中，小球下落的距離

s=l+2lcosa=/(I+x^)(1)

細(xì)繩剛拉直時小球的速度比滿足下式：

V|2=說+2gs(2)

在細(xì)繩拉緊的瞬間，由于繩的伸長量可以不計，而且繩是非彈

性的,故小球沿細(xì)繩方向的分速度hcosa變?yōu)榱?，而與繩垂

直的分速度保持不變，以后小球?qū)腗點(diǎn)開始以初速度

在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，圓周的半徑為2/,圓心位于2點(diǎn)，如圖1所示。由(11(21(3)式得

4小+；則+6)(4)

當(dāng)小球沿圓周運(yùn)動到圖中的/V點(diǎn)時，其速度為，，細(xì)繩與水平方向的夾角為0，由能量關(guān)系有

-mv'\=—mv~++21sin。)(5)

21

用斤表示繩對小球的拉力，有

2

Fj+mgsmO=(6)

1.詔=2(6^+3G—l)g/

設(shè)在。=4時(見圖2),繩開始松弛，8=0,小球的速度V=M1O以此代入(5X(6)兩式得

v'}=%2+2g(后+2/sin4)(7)

2

河11名成⑻

18

0.

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旗開得勝

由(4](71(8)式和題設(shè)14)的數(shù)值可求得

4=45。(9)

%=7751(10)

即在a=45。時，繩開始松弛。以M表示此時小球在圓周

上的位置,此后，小球?qū)⒚撾x圓軌道從Ni處以大小為5,

方向與水平方向成45。角的初速度作斜拋運(yùn)動。

以M點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系N\xy,x軸水平

向右)軸豎直向上。若以小球從Ni處拋出的時刻作為計時

圖2

起點(diǎn)，小球在時刻t的坐標(biāo)分別為

6

x=ucos45。t

i~ult(11)

12逝12

y^uxSin45°r--^(12)

由(111(12)式，注意到(10)式，可得小球的軌道方程:

22

XX

尸』“而(13)

AD面的橫坐標(biāo)為

x-2lcos45°—5/2/(14)

由(131(14)式可得小球通過AD所在豎直平面的縱坐標(biāo)

y=0(15)

由此可見小球?qū)⒃贒點(diǎn)上方越過，然后打到OC邊上，。。邊的縱坐標(biāo)為

y=—(2/sin45°—。=一(血—1)/(16)

把(16)式代入(13)式，解得小球與DC邊撞擊點(diǎn)的橫坐標(biāo)

*=1.75/(17)

撞擊點(diǎn)與。點(diǎn)的距離為

A/=x-2/cos45°=0.35/(18)

19

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旗開得勝

2.詔=2(36+ll)g/

設(shè)在時，繩松弛，斤=。，小球的速度丫=〃2，以此代替(51(6)式中的仇、仇，得

/；=〃；+2g(?+2/sin%)(19)

42

mgsin%二機(jī)才(20)

以詔=2(班+ll)g/代入(4)式，與(191(20)式聯(lián)立，可解得

0,=90°(21)

的=廊(22)

(22)式表示小球到達(dá)圓周的最高點(diǎn)處時，繩中張力為0,隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增

加，拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運(yùn)動所需的向心力，小