不等式的幾種證明方法

不等式證明的幾種常用方法一、比較法差值比較法要證明a＞b,只要證明a-b＞0。①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法。

【例一】求證：證明：商值比較法已知a,b都是正數(shù)，要證明a＞b,只要證明a/b＞1①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法?！纠恳阎猘,b>0，求證證明：=∵a,b>0+,當a＞b時，＞1,a-b＞0，＞1;當a≤b時,≤1,a-b≤0,≥1.∴≥1,即綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：A-B1-B2-B3…Bn-B，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。重點：基本不等式

【例三】已知a,b,c是不全等的正數(shù)，求證a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.證明：，，，，a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.又因為a,b,c是不全等的正數(shù)所以有a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明A-B的邏輯關(guān)系為：B-B1-B2-B3…Bn-A，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件?！纠摹壳笞C：證明:

四、反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。

【例五】已知a，b∈R，且a+b=1.求證：.證明：假設(shè)，則.由a+b=1，得，于是有.所以，這與矛盾.所以.換元法換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，常用的三角代換方法有：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)()；已知，可設(shè)；已知，可設(shè)；增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。

【例六】已知a，b∈R，且a+b=1.求證：證明：∵，所以可設(shè)，，∴左邊＝＝右邊.當且僅當t=0時，等號成立.點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元.即可設(shè)，六、放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個或多個中間變量通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。

【例七】已知a，b∈R，且a+b=1.求證：.證明：∵∴左邊＝＝右邊.點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式除此之外，還有一些證明方法，如：判別式法、數(shù)形結(jié)合法、歸納法。。?！九袆e式法的例題】已知a，b∈R，且a+b=1.求證：.設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因為，所以，即.故.不等式的證