《反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用及構(gòu)造思路和方法》10000字

引言數(shù)學(xué)分析不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要課程，同時也是數(shù)學(xué)專業(yè)許多主修課程的基礎(chǔ)，因此作為數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，學(xué)好數(shù)學(xué)分析是非常有必要的，但數(shù)學(xué)分析的知識內(nèi)容過于抽象，且邏輯性又強，所以要學(xué)好數(shù)學(xué)分析并不是一件容易的事。從數(shù)學(xué)分析課程的特點來看，想學(xué)好數(shù)學(xué)分析課程，不能單靠死記硬背，那是否存在著什么樣的技巧可以幫助我們學(xué)好該課程呢？其實，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這樣抽象且邏輯性又強的課程，就是一個不斷提出問題并不斷解決問題的過程，而在我們的數(shù)學(xué)中有一種方法叫做舉反例，這種方法不僅能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的問題，還能夠幫助我們解決數(shù)學(xué)問題。因此，本文對舉反例這種方法展開了探究，分析該方法是否也能夠有效地幫助我們學(xué)好數(shù)學(xué)分析課程，探究該如何掌握這種方法去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這門課程。本文將聯(lián)系數(shù)學(xué)分析課程的內(nèi)容詳細地分析反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用，并根據(jù)自己的見解以及學(xué)習(xí)他人的方法來探討數(shù)學(xué)分析中反例的構(gòu)造思路和方法。數(shù)學(xué)分析課程1.1數(shù)學(xué)分析課程的發(fā)展歷史極限概念是數(shù)學(xué)分析的基本理論，極限的思想在早期的許多文獻中便有所提及，并且基于許多科學(xué)家的努力之下，牛頓(IsaacNewton)和萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)兩人分別從不同的角度出發(fā)提出了微積分理論，微積分理論的出現(xiàn)對人類社會生產(chǎn)實踐展現(xiàn)出了強大的生命力，并隨著社會實踐的發(fā)展，微積分不斷完善[1]。在十八世紀，微積分影響著數(shù)學(xué)界的發(fā)展，它開始逐漸有了許多新的分支，如微分方程，復(fù)變函數(shù)論，場論等。并且此時的微積分在許多方面都發(fā)揮著重要的作用，這是以往數(shù)學(xué)所不能達到的，也可以說這是數(shù)學(xué)史上的一個新突破，然而隨著微積分的不斷發(fā)展，人們開始發(fā)現(xiàn)微積分理論中存在的矛盾，這引起了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機。法國數(shù)學(xué)家柯西(AugustinLouisCauchy)提出并采用極限的思想建立微積分，在經(jīng)過魏爾斯特拉斯(KarlTheodorWilhelmWeierstra?)等數(shù)學(xué)家的努力下，最終找到了無窮小的嚴格定義，也就是我們現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析中的定義，十九世紀末，戴德金(JuliusWilhelmRichardDedekind)、康托爾(Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp)等數(shù)學(xué)家在柯西(AugustinLouisCauchy)、魏爾斯特拉斯(KarlTheodorWilhelmWeierstra?)等數(shù)學(xué)家的極限思想和方法基礎(chǔ)上，建立了實數(shù)系和實數(shù)理論，使得數(shù)學(xué)分析開始有了科學(xué)的方法[2]。1.2數(shù)學(xué)分析課程的特點首先，從數(shù)學(xué)分析課程的發(fā)展歷史過程來看，我們就可以知道這是一門內(nèi)容非常抽象，且邏輯性又強的理論課程，就從它的理論體系上來講，它的內(nèi)容先難后易，極限和連續(xù)等基礎(chǔ)理論知識較難，但同時也是數(shù)學(xué)分析課程的精髓，而導(dǎo)數(shù)積分等計算相對而言較為容易，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，需要先學(xué)習(xí)前面的理論部分，然后再學(xué)習(xí)其后的應(yīng)用計算部分，這對剛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的初學(xué)者是有一定難度的。其次，數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)是需要技巧性的，如果僅僅只是了解了其中的方法和理論，而沒有輔以相應(yīng)的學(xué)習(xí)技巧，則很難正確的掌握和應(yīng)用理論。在數(shù)學(xué)分析課程中有大量的定理定義，如果只是單靠死記硬背，不僅記不住定理定義，而且還會使學(xué)習(xí)者覺得這門課程枯燥無味，從而對學(xué)習(xí)這門課程失去信心，因此要想掌握這些定理定義并學(xué)好數(shù)學(xué)分析課程就必須輔以相應(yīng)的學(xué)習(xí)技巧。在下文中，本文將會為學(xué)習(xí)者介紹一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的好技巧。反例的基本介紹2.1反例的基本概念在數(shù)學(xué)中，我們一般可以將“反例”理解為符合某個理論或概念的條件但又不符合結(jié)論的事實，或者是可以證明猜想是錯誤的事實。從某種程度來說，所有的例子都可以作為反例，因為它總能說明某個命題是錯誤的，但在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，我們往往需要根據(jù)某個命題去尋找和構(gòu)造出反例，這時候我們就需要通過特殊的方法去尋找和構(gòu)造特定的反例。2.2常見的四種反例類型在一些研究中已對數(shù)學(xué)里的“反例”進行了類型的劃分，其中的反例類型包括，基本形式的反例、充分條件假言判斷的反例、必要條件假言判斷的反例，以及條件變化型反例四種類型[3]。2.2.1基本形式的反例在數(shù)學(xué)的命題中有四種基本形式：全稱肯定判斷、全稱否定判斷、特稱肯定判斷、特稱否定判斷(見表2.1)。表2.1數(shù)學(xué)命題的四種基本形式項形式全稱肯定判斷全稱否定判斷特稱肯定判斷特稱否定判斷含義所有都是所有都不是有些是有些不是其中若要驗證形式的命題是不正確的，我們只需要舉出一個特殊的且是否定其命題結(jié)果的例子就可說明，而若要驗證形式的命題是錯誤的，就需要舉出包含所有情況且命題結(jié)果是肯定的例子，因此形式能與形式互作反例，且一般要舉出形式的反例會相對于舉出形式的反例較為復(fù)雜，同理可得，形式也能和形式互作反例。以下舉一例形式作為形式反例的例子。例1因為初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)，所以每個初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都有原函數(shù)，并且它們的原函數(shù)都可用初等函數(shù)來表示。顯然，我們可以看出這個命題屬于上述表2.1中的類型，也就是全稱肯定判斷類型，若要驗證這個命題是否正確，我們可以試圖舉一個類型(即特稱否定判斷)的例子，若能舉出滿足類型的例子，則說明該命題錯誤。反例：雖然函數(shù)在處都連續(xù)，但函數(shù)的原函數(shù)并不能用初等函數(shù)表示。因此通過這樣一個反例我們就可以驗證上述的全稱肯定判斷命題是錯誤的，雖然初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)，但它們的原函數(shù)卻不一定都能用初等函數(shù)表示。2.2.2充分條件假言判斷的反例充分條件指的是前可推后，表示為“”，也就是“有必然有”但“沒有不一定沒有”我們就將稱為的充分條件，根據(jù)充分條件我們舉出“沒有卻有”的例子，也就是充分條件假言判斷的反例，這種反例就可以驗證一個命題中的條件僅是充分條件，而不必要。例2若函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點連續(xù)[4]。該命題中的可導(dǎo)是函數(shù)在點連續(xù)的充分條件，而非必要條件。若要驗證該命題中的條件并非必要條件，此時我們就可以舉一個充分條件假言判斷類型的反例。反例：在點處連續(xù)，但，，即不存在，根據(jù)可導(dǎo)的定理可得，函數(shù)在點處不可導(dǎo)，所以綜上，函數(shù)在處不可導(dǎo)但連續(xù)。2.2.3必要條件假言判斷的反例與充分條件假言判斷的反例類似，必要條件指的是后可推前，表示為“”，也就是“沒有必然沒有”但“有不一定有”，我們就稱為的必要條件，根據(jù)必要條件舉出的“有，但沒有”就是必要條件假言判斷的反例，該反例則可以驗證一個命題中的條件僅是必要條件，而不是充分條件。例3若級數(shù)收斂，則。此命題中雖然是級數(shù)收斂的必要條件，但并非是充分條件，即當(dāng)時級數(shù)未必會收斂，我們可舉一個必要條件假言判斷的反例來驗證命題中的條件并非充分條件。反例：雖然級數(shù)的通項，但它卻是一個發(fā)散的級數(shù)，也就是說通項趨于零的條件成立了，但發(fā)散的結(jié)論卻不成立，這就說明了上述命題中的只是必要條件，而不是充分條件。2.2.4條件變化型反例該類型的反例是指通過改變命題條件而得到的反例，條件的改變包括幾種情況，如條件增加、減少或改變等。要注意的是改變命題條件后，其命題的結(jié)論將不再正確，才可作為反例，否則便是無效反例。例4(羅爾中值定理)若函數(shù)滿足以下三個條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在開區(qū)間上可導(dǎo)；③，則至少存在一點，使得[4].若要使這個定理的結(jié)論成立，它的三個條件必須同時滿足，缺一不可，我們可以舉以下三個條件變化型的反例來驗證。反例1：，在閉區(qū)間上不滿足條件①，并且它在開區(qū)間上也不存在一點，能使得，所以缺少條件①，結(jié)論不成立。反例2：，它在開區(qū)間上不滿足條件②，且在開區(qū)間上也不存在一點，使得，因此缺少條件②，結(jié)論不成立。反例3：，在閉區(qū)間上不滿足條件③，在開區(qū)間上也不存在一點，使得，所以缺少條件③，結(jié)論不成立[3]。不同的反例類型可以應(yīng)用到不同的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程的過程中，我們也經(jīng)常需要應(yīng)用到反例，反例的引入對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的概念和原理有很大的幫助，本文接下來將對反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用以及構(gòu)造數(shù)學(xué)分析中的反例的方法進行研究探討。第3章反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用第3章反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用3.1反例有助于學(xué)習(xí)者對知識概念的理解數(shù)學(xué)分析課程的知識概念是極其抽象的，所以在學(xué)習(xí)這些抽象的知識概念時，我們可以對它們做出辯證分析，這樣既可以幫助我們消除一些在學(xué)習(xí)時的疑惑，還可以幫助我們進一步地揭示知識的本質(zhì)屬性。而舉反例就是一種很好的辯證分析方法，列舉或構(gòu)造出一些相應(yīng)的反例，往往就能夠幫助我們從反面消除對一些知識點的疑惑，從而使我們更好地理解這些抽象的知識概念。例5(數(shù)列極限的定義)設(shè)為數(shù)列，為定數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有，則稱數(shù)列收斂于,定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作或,若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列[4].在學(xué)習(xí)這個定義時，首先我們要理解定義中“任給的正數(shù)”的含義，此時的本質(zhì)屬性應(yīng)該是“任意小的正數(shù)”，而不能將其理解為有無窮多個正數(shù)中的每一個，我們可以舉一個反例來理解。反例1：數(shù)列，，如果將其帶入我們理解錯誤的定義中，即對有無窮多個正數(shù)中的每一個，總存在正整數(shù),當(dāng)時有，這時就會出現(xiàn)這樣的情況，盡管有無窮多個正數(shù)(如)，可以使(此時的可以是0或1)小于每個，但很明顯這是一個不收斂的數(shù)列，所以錯誤的原因就在于沒有正確理解的本質(zhì)屬性，這個反例中的并不能比任意小的正數(shù)還小。其次，在這個定義中我們不能忽視對于任給的正數(shù)，都必須存在的某個自然數(shù)，而將定義錯誤的理解成對任給的正數(shù)，有無窮多個，使得，我們可舉一個反例來說明這個理解的錯誤性。反例2：數(shù)列，對任給的正數(shù)，都有無窮多個(滿足)，使得(取0時)，但很顯然該數(shù)列不收斂，其錯誤的原因就是忽略了對于任給的正數(shù)，都必須存在的某個自然數(shù)，在這個反例當(dāng)中無窮多個要滿足，即滿足,但數(shù)列中無論從哪項開始其后總有不含在內(nèi)的項[3]。通過反例1和反例2，我們就可以更深刻地理解和在定義中的含義，使得我們能夠更準確的掌握這個定義。例6(函數(shù)在一點連續(xù)的定義)設(shè)函數(shù)在某鄰域上有定義，若，則稱在點連續(xù)[4].對這個定義進行更深入地解讀后，我們會發(fā)現(xiàn)函數(shù)在點連續(xù)實際上需要滿足三個條件：①函數(shù)在點要有定義，即為有限值；而中隱含著兩個條件即②左右極限存在，且；③。若要使在點連續(xù)，這三個條件是缺一不可的，針對不同的條件我們可以舉出以下幾個反例來加深對該定義的理解。首先，如果函數(shù)在點處的左右極限都存在且相等，但函數(shù)在點的極限值并不等于在該點的函數(shù)值或者函數(shù)在點處無定義，則函數(shù)在點處不連續(xù)，如下反例。反例1：函數(shù)在處左右極限都存在且都為零，但函數(shù)在點處沒有定義，函數(shù)在點處不連續(xù)。其次，如果函數(shù)在點處的左右極限存在但不相等，則函數(shù)在點處不連續(xù)，如下反例。反例2：函數(shù)在處，，且函數(shù)在點處不連續(xù)。再次，如果函數(shù)在點處左右極限至少有一個不存在，則函數(shù)在點處也不連續(xù)。反例3：函數(shù)在處，，函數(shù)在點處不連續(xù)[6]。通過這些反例，我們就可以更加深刻地理解該定義，理解定義中每個條件的重要性。3.2反例有助于糾正學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中存在的錯誤數(shù)學(xué)分析課程的知識極其抽象，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中，容易出現(xiàn)錯誤，這時就需要有辨析錯誤的技巧，而舉反例就是一個很好的辨析錯誤技巧，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，它能夠幫助我們從反面來辨別錯誤、解決疑惑，具有直觀、清晰和說服力強等特點，更進一步地說，它還能夠幫助我們修補相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析知識，所以可以說明舉反例是一個很好的辨析錯誤技巧，能夠幫助我們更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，容易出現(xiàn)幾種錯誤，即容易忽略定理和定義中的某些條件，沒有注意定理定義的適用范圍，將充分或必要條件當(dāng)成充要條件。3.2.1容易忽略定理和定義中的某些條件例7(復(fù)合函數(shù)的極限存在性)由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合成的函數(shù)，若，，且當(dāng)時則即[4].在學(xué)習(xí)這個定理時，一定要注意其中的一個條件：“當(dāng)時”,這也是許多學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會忽略的一個條件，我們可舉一個反例來驗證這個條件的必要性。反例：設(shè)，，討論復(fù)合函數(shù)在處的極限。由已知條件可得，且，，但。顯然，這就說明當(dāng)缺少條件“當(dāng)時”時，利用上述定理求復(fù)合函數(shù)的極限，雖極限存在但卻不一定能等于外函數(shù)的極限[7]。例8(型不定式極限的洛必達法則)若函數(shù)和滿足：①；(型不定式極限:)；②在點的某空心鄰域上兩者都可導(dǎo)，且；③(可為實數(shù)，也可為或)[4].不是所有的不定式極限都可以使用洛必達法則，有的極限雖是不定式極限，但只要不滿足洛必達法則其中一個條件，就不能使用洛必達法則。反例：極限，雖然是型不定式極限，但是，其右式的極限不存在，而用其他方式可以計算出極限，因此該不定式極限不滿足洛必達法則條件③，所以不能使用洛必達法則計算出它的極限[8]。3.2.2沒有注意定理定義的適用范圍例9(有界性定理)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有界[4].對于這個定理，我們在學(xué)習(xí)時需要注意的一個條件，其函數(shù)必須是在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若是在開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，該定義的結(jié)論就不一定成立了，即此時的函數(shù)未必有界，我們可以舉這樣的一個反例來加以驗證。反例：函數(shù)在開區(qū)間上是連續(xù)的，但該函數(shù)卻是無界的。例10(正項級數(shù)的比式判別法)若為正項級數(shù)，且，則①當(dāng)時，級數(shù)收斂；②當(dāng)或時，級數(shù)發(fā)散[5].該判別法只適用于，當(dāng)時比式判別法便失效了，因為此時的級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，舉如下兩個反例來看。反例1：級數(shù)是收斂的，但；反例2：級數(shù)是發(fā)散的，但。在這兩個反例中，一個是收斂的級數(shù)，一個是不收斂的級數(shù)，但它們的都等于1，所以通過這兩個反例我們就可驗證當(dāng)時比式判別法并不適用。3.2.3將充分或必要條件當(dāng)成充要條件例11(可微的必要條件)若二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點可微，則在該點關(guān)于每個自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在[5].在這個例子中，二元函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)都存在只是其函數(shù)在該點可微的必要條件，但我們不能慣性的將它認為是二元函數(shù)在該點可微的充分條件，我們可以舉下列的反例來驗證。反例：討論函數(shù)在處可微性。解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義計算可得，同理；若要使函數(shù)在處可微，則且是較高階的無窮小量，即設(shè)當(dāng)動點沿直線趨于時，因而當(dāng)動點沿不同斜率的直線趨于時，所對應(yīng)的極限值不同函數(shù)極限不存在函數(shù)在處不可微通過求解我們可知該反例的函數(shù)在處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但函數(shù)在處卻不可微。例12(可微的充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點的某鄰域上存在，且與在點連續(xù)，則函數(shù)在點可微[5]。一個函數(shù)的所有偏導(dǎo)數(shù)在某點連續(xù)是該函數(shù)可微的充分條件，而非必要的條件，我們可舉下列反例說明。反例：函數(shù)在點可微，但與在點不連續(xù)。證：在點連續(xù)當(dāng)時當(dāng)時但而不存在(如時)當(dāng)時，的極限不存在在不連續(xù)同理可證在不連續(xù)又在處可微。3.3反例有助于學(xué)習(xí)者理解知識之間的聯(lián)系與區(qū)別在數(shù)學(xué)分析中有許多的知識它們即是相互聯(lián)系的但又有所區(qū)別，所以要學(xué)好數(shù)學(xué)分析我們既要學(xué)會將相關(guān)的知識聯(lián)系起來，還要清楚的知道它們之間的區(qū)別。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，我們常常容易對兩個相似的知識點混淆不清，而反例往往可以從反面來解決我們的疑惑，所有此時我們就可以借助舉反例的方法來理清這些知識之間的區(qū)別，從而達到更好的學(xué)習(xí)效果。例13區(qū)間與集合都可用來表示函數(shù)的定義域或值域，但這并不表示區(qū)間與集合是完全相同的概念(見表3.1)，我們可以用如下的反例來加以區(qū)分理解。反例：設(shè)，，當(dāng)函數(shù)的定義域時該函數(shù)是嚴格單調(diào)的，而當(dāng)該函數(shù)的定義域時，該函數(shù)就不再是嚴格單調(diào)的了[9]。表3.1集合和區(qū)間的聯(lián)系與區(qū)別表示方式集合區(qū)間聯(lián)系都可以表示定義域(或值域)區(qū)別取遍所有整數(shù)的表示的數(shù)集全體每取一個值確定的一個區(qū)間例14學(xué)習(xí)無界函數(shù)后再學(xué)習(xí)無窮大量，我們就容易對無窮大量中函數(shù)的極限即時有，和函數(shù)在某鄰域無界即使得，這兩個概念理解不清，這兩者雖有一定的聯(lián)系，但并不相同(見表3.2)[10]。表3.2無窮大量和無界函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別概念無窮大量無界函數(shù)聯(lián)系無窮大量是無界函數(shù)(而無界函數(shù)未必是無窮大量)區(qū)別時，對，存在的鄰域，該鄰域的一切，都有對在內(nèi)存在點，使(即只要在鄰域內(nèi)找到這樣一點便可)我們可舉一個無界函數(shù)但不一定是無窮大量的反例來幫助學(xué)習(xí)者理解這兩個概念。反例：在上無界，因?qū)?取,正整數(shù),有但，因為若取數(shù)列，則，。例15多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，它必然有存在著許多與一元函數(shù)相似的性質(zhì)，但這并不代表著一元函數(shù)的性質(zhì)在多元函數(shù)中都可以使用，因為多元函數(shù)與一元函數(shù)還是有一定差別的，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)時，我們可以聯(lián)系一元函數(shù)，但同時也要弄清楚它與一元函數(shù)的差別，而不能隨意地將一元函數(shù)的所有理論都套用到多元函數(shù)中。如我們在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的聯(lián)系時，就很容易受之前一元函數(shù)里所學(xué)習(xí)的可導(dǎo)必連續(xù)理論的影響，并將這個理論遷移到多元函數(shù)中，但在多元函數(shù)中這個理論是不正確的，我們可以舉一個反例。反例1：函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)及連續(xù)性解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義計算可得，同理；當(dāng)動點沿直線趨于時，因而當(dāng)動點沿不同斜率的直線趨于時，所對應(yīng)的極限值不同函數(shù)極限不存在函數(shù)在原點不連續(xù)通過這個反例我們可以知道當(dāng)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在時，函數(shù)也不一定會連續(xù)。再者，如果多元函數(shù)連續(xù)，是不是就代表著它的偏導(dǎo)數(shù)就存在呢？我們再舉一個反例來驗證。反例2：函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)及連續(xù)性解：且函數(shù)在點處連續(xù)，在點時不存在同理可得也不存在函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在通過以上兩個反例就驗證了在多元函數(shù)中，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)性并沒有直接的聯(lián)系，因此不能隨意地將一元函數(shù)中的所有性質(zhì)都套用到多元函數(shù)中[9]。3.4反例有助于發(fā)現(xiàn)理論局限性，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，促進數(shù)學(xué)發(fā)展舉反例可以使人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原有理論的局限性，從而引發(fā)人們的思考，培養(yǎng)人的創(chuàng)新思維，這有利于新的數(shù)學(xué)理論與定理、定義的發(fā)現(xiàn)，促進數(shù)學(xué)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史中就有許多這樣的例子。例16(Riemann可積)設(shè)在區(qū)間上有界，對區(qū)間做任意分割任取，并記，，若(常數(shù))則稱在上Riemann可積，記作其中，則稱是在上的振幅。Riemann可積的充要條件是從Riemann積分的理論來看我們可以知道Riemann積分基本適用于連續(xù)函數(shù)，它要求在區(qū)間上急劇變化的點不能太多，數(shù)學(xué)家狄利克雷便舉出了這樣一個處處不連續(xù)的反例函數(shù)[11]，反例：狄利克雷函數(shù)，在上有界但不Riemann可積。證：顯然，在上有界設(shè)為對的分割(分割要符合任意性)由有理數(shù)和無理數(shù)在上的分布可知在屬于的任意小區(qū)間上，當(dāng)取全為有理數(shù)時，，當(dāng)取全為無理數(shù)時，則，不論取多小，狄利克雷函數(shù)在上的積分和極限不等于零狄利克雷函數(shù)在上不是Riemann可積的通過這個反例我們就可以知道Riemann可積是有局限性的，它基本只適用于連續(xù)函數(shù)，根據(jù)這個局限，勒貝格在許多數(shù)學(xué)家研究的理論基礎(chǔ)上，提出了更為完善的新理論Lebesgue積分[14]，該積分也成為了后來實變函數(shù)論學(xué)科中的重要理論[13]。除了上述Lebesgue積分的例子，還有柯西認為連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)必連續(xù)，但后來該結(jié)論出現(xiàn)了許多反例，促使了一致收斂的出現(xiàn)；還有對于正項級數(shù)的比式、根式等判別法，人們也通過舉出相應(yīng)的反例，發(fā)現(xiàn)了它們本身存在的缺陷，從而促進了更適用的新判別法的產(chǎn)生等等，這些例子都說明了反例有助于促進數(shù)學(xué)的發(fā)展。當(dāng)我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，反例不僅可以幫助我們更好的理解和掌握知識，同時也在潛移默化地培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維。通過以上四種作用的分析，可以說明反例能有效地幫助我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的知識并促進其發(fā)展。但要應(yīng)用反例來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，還需要學(xué)會如何構(gòu)造它，才能事半功倍，所以本文接下來將介紹如何構(gòu)造數(shù)學(xué)分析中的反例，來幫助學(xué)習(xí)者更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。第4章構(gòu)造數(shù)學(xué)分析中的反例第4章構(gòu)造數(shù)學(xué)分析中的反例本文第3章反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用，說明了反例對學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析是非常有幫助的，因此學(xué)會如何構(gòu)造反例也是非常重要的。本章所要講述的就是該如何來構(gòu)造數(shù)學(xué)分析中的反例。在構(gòu)造數(shù)學(xué)分析的反例時，我們可以先分析反例的類型即本文2.2中的四種反例類型，然后再來思考該如何構(gòu)造反例即尋找構(gòu)造反例的思路，最后運用構(gòu)造反例的方法，便可構(gòu)造出我們所需要的反例。4.1構(gòu)造反例的思路4.1.1利用幾何直觀思想[3]這種思路指的是利用圖形來描述和分析問題，將復(fù)雜的問題變得簡單明了，有助于探索問題的思路，有助于我們更容易的構(gòu)造出數(shù)學(xué)分析的反例。例17累次極限存在，二重極限是否也一定存在。思路：對于這個問題，我們該如何構(gòu)造一個對我們有幫助的反例呢？首先，我們要從二重極限和累次極限這兩者的定義出發(fā)，看看它們的幾何意義分別是什么。二重極限的定義[5]：設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個聚點，是一個確定的實數(shù)，若對，使得當(dāng)時，都有.該定義的幾何意義就是以任意一條曲線趨于點時，的極限均存在，則稱在上當(dāng)時以為極限，記作也可簡單寫作，若即.累次極限的定義[5]：先對(先將看做常數(shù))，后對的累次極限，記作，類似的也可先對后對的累次極限，記作.從兩者的定義來看，二重極限和累次極限的不同點在于：對于二重積分而言，極限存在指的是沿任何路徑趨于極限都存在且相等，而對于累次積分而言，只要沿折線方向和趨于極限存在就可以，至于沿其他方向趨于的極限是否存在都沒關(guān)系。所以累次極限存在只要保證折線方向和極限存在，但它卻不能保證任何一個方向趨于的極限是否存在，所以不能保證二重極限是否存在[12]。從幾何意義上弄清了兩者的關(guān)系，這時我們就可以更好的構(gòu)造出相關(guān)反例，根據(jù)以上的分析我們就可以構(gòu)造出以下反例。反例：函數(shù)在處的累次極限和二重極限。函數(shù)在處的兩個累次極限都存在但當(dāng)沿斜率不同的直線，時，二重極限不存在。4.1.2借用改造典型例子有些典型的例子，根據(jù)它們的特點，可以直接作為我們所要解決問題的反例，或者經(jīng)過適當(dāng)?shù)母脑欤涂梢猿蔀槲覀兯鉀Q問題的反例。例18命題“在開區(qū)間上連續(xù)則在開區(qū)間上有界”是否為真[3]。思路：對于這個命題，我們需要構(gòu)造出的反例應(yīng)是“在開區(qū)間上連續(xù)但并不有界”。根據(jù)我們所需要的反例的特點，我們最容易想到的是正切函數(shù)，它在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)但卻是無界的，這是一個很典型的例子，并且我們還可以根據(jù)它的特點構(gòu)造出許多適合該命題的反例，如下。反例：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)但無界。4.1.3巧妙搭配組合舉反例的目的就是要說明某個結(jié)論是錯誤的，那么我們只要破壞結(jié)論中的任意一個條件，就可以達到目的，所以我們將不同或者相反的對象有意的搭配組合在一起，使得結(jié)論中的條件不能兼顧，就達到目的了。例19有界的數(shù)列必收斂。我們在思考這個命題是否正確時該如何舉反例。思路：對于這個命題，我們可將兩個收斂于不同極限的數(shù)列，且交錯搭配組合在一起，就可組成一個我們所需要的反例。反例：交錯搭配組合后的數(shù)列，有界但不收斂。這個反例就說明了上述的命題是錯誤的，特別地，取就是一個常見的“有界但不收斂”的數(shù)列[3]。4.2構(gòu)造反例的方法4.2.1特例構(gòu)造法[3]這種構(gòu)造法是將一些典型的反例進行合理地改造，從而構(gòu)造出我們所需要的反例。例20函數(shù)在處連續(xù)，是否就存在的鄰域，使得在該鄰域內(nèi)連續(xù)。方法：該例子需要構(gòu)造的反例應(yīng)該是一個“使函數(shù)在處連續(xù)，但不存在的鄰域，使得在該鄰域內(nèi)連續(xù)”的例子。我們知道在數(shù)學(xué)分析中有一個經(jīng)常被使用的反例即狄利克雷函數(shù)，該函數(shù)的特點就是處處不連續(xù)，利用這個典型的反例，我們可以構(gòu)造出一個我們所需要的反例，構(gòu)造出的反例如下。反例：根據(jù)函數(shù)可得，所以在連續(xù)，但在其他點均不連續(xù)，所以在只在連續(xù)。因此該函數(shù)在處連續(xù)，但不存在的鄰域，使得在該鄰域內(nèi)連續(xù)[3]。4.2.2性質(zhì)構(gòu)造法[3]這是一種根據(jù)所需反例的特點，運用一定技巧構(gòu)造出該反例的方法。例21若函數(shù)在點可導(dǎo)，則必在點連續(xù)。該命題中可導(dǎo)是函數(shù)在點連續(xù)的充分條件，而非必要條件。在學(xué)習(xí)時，若要驗證它不是必要條件，我們可先觀察我們所需要的反例的特點，然后運用技巧構(gòu)造出反例。方法：對于這個命題我們需要的反例應(yīng)該是“函數(shù)在點連續(xù)但不可導(dǎo)”，因此我們需要找到一個在點連續(xù)即，但在點又不可導(dǎo)即不滿足左右導(dǎo)數(shù)存在且相等的條件。根據(jù)反例的特點，我們可以構(gòu)造出以下反例。反例：在點處連續(xù)，但，，即不存在，所以函數(shù)在點處不可導(dǎo)。4.2.3類比構(gòu)造法[3]這種構(gòu)造方法是指根據(jù)已有反例的特征及思維，進行模仿改造，從而構(gòu)造出新的適用的反例。例22在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展過程中，有著這樣一個猜測：連續(xù)函數(shù)在其定義域，至多除去可列個點外都是可導(dǎo)的。并且在之后的很長一段時間內(nèi)，數(shù)學(xué)家們不斷地試圖去驗證它。直到數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(KarlTheodorWilhelmWeierstra?)提出了歷史上第一處處連續(xù)但又處處不可微的例子，即用振動曲線構(gòu)造出的(其中是奇數(shù)，為常數(shù)，使得)[15]，才驗證了以上的猜想是錯誤的，并且我們可以說這個例子就是以上猜想的一個反例。類比魏爾斯特拉斯的反例，后來范德瓦爾登(VanderWaerden)又將振動曲線改進為折線，，就構(gòu)造出了猜想的新反例，即。根據(jù)這兩個反例，后來者又構(gòu)造了許多新的反例[8]。像例22這樣根據(jù)已有反例來構(gòu)造出新的反例的方法就是類比構(gòu)造法，這種方法同時還有一種好處，就是能改進已有反例存在的問題，使得新的反例更加完美、適用。結(jié)論結(jié)論本文主要探究的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的一種技巧“舉反例”，重點部分在于探究反例在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的作用與構(gòu)造，探究目的是希望能夠幫助學(xué)習(xí)者更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程。本文的探究主要分為四個方面，首先，本文查閱了有關(guān)數(shù)學(xué)分析發(fā)展史的文獻，并在本文中簡要的概述了其發(fā)展歷