電磁場(chǎng)與電磁波課后習(xí)題及答案第四章習(xí)題解答

習(xí)題解答4.1如題4.1圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為U?,求槽內(nèi)的電位函數(shù)。②③題4.1圖由條件③,有兩邊同乘以,并從0到a對(duì)X積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布題4.2圖解應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位，其邊界條件為：③由條件③有故得到求在上題的解中，除開U?y/b_定出邊緣電容。則導(dǎo)體板上(沿z方向單位長)相應(yīng)的總電荷其邊緣電容為題4.4圖③③由條件③,有兩邊同乘以代入泊松方程(1),可得由式(2),可得故電位的邊界條件為xx題4.6圖由條件①和②,可設(shè)電位函數(shù)的通解為由條件③,有由式(1),可得A,=B?將式(2)兩邊同乘以故4.7如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行①②③由條件①和②,可設(shè)電位函數(shù)的通解為題4.7圖由條件③,有由式(1),可得將式(2)兩邊同乘以由式(3)和(4)解得故題4.8圖由此可設(shè)φ(r,φ)=-E?rcosφ+Ar-1cosφ+C導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為4.9在介電常數(shù)為&的無限大的介質(zhì)中，沿Z軸方向開一個(gè)半徑為a的圓柱形空腔。沿X軸方向外加一均勻電場(chǎng)E?=e,E,求空腔內(nèi)和空腔外的電位函數(shù)。由條件①和②,可設(shè)帶入條件③,有Aa=A?a1,-ε?E?+E?A=-eE?-Ea2A?由此解得所以題4.10圖第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一象限和第三象解由題意可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為代入條件②,有故如題4.11圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為a、介電常數(shù)為&,在距離軸線題4.11圖②③將式(1)～(3)帶入條件③,可得到帶入式(5),得由式(4)和(7),有A,a”=B,a-”由此解得故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為討論：利用式(6),可將式(8)和(9)中得第二項(xiàng)分別寫成為的電位相同，而介質(zhì)4.12將上題的介質(zhì)圓柱改為導(dǎo)體圓柱，重新計(jì)算。①②①②將式(1)和(2)帶入條件②,可得到帶入式(3),得由此可得故導(dǎo)體圓柱外的電為討論：利用式(4),可將式(6)中的第二項(xiàng)寫成為其中由條件①,可設(shè)φ(r,θ)=-E?rcosθ+Ar-2cosθ+Br-1+C代入條件②,可得到利用(1)的結(jié)果，得到邊界條件為由條件①和②,可設(shè)帶入條件③,有A,a=A?a2,-E?E?+EA=-EE?-28a3A?由此解得空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為空腔表面的極化電荷面密度為球殼外的場(chǎng)可由高斯定理求得為外表面上的電荷面密度為題4.15圖設(shè)球內(nèi)的電位為q?(r,θ)=φ,(r,θ)+φ(r,D),其中,所以由條件②,有最后得到球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷面密度為感應(yīng)電荷的總量為4.16欲在一個(gè)半徑為a的球上繞線圈使在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場(chǎng)，問線圈應(yīng)如何繞(即求繞線的密題4.16圖解設(shè)球內(nèi)的均勻場(chǎng)為H?=e.H?(r<a),題4.16圖所示。根據(jù)邊界條件，球面上的電流面密度為Js=n×(H?-H?)|==e,×(H?-e?H?)|=a=若令e×H?|=a=0,則得到球面上的電流面密度為Js=e,H?sinθ4.17一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度P。(1)證明：球內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，等于..解(1)當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會(huì)形成極化電荷分布，本題中所求的電場(chǎng)即為極化電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)。由于是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為②9?(r,θ)→0(r→0).題4.17圖因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為由條件③,有解得于是得到球內(nèi)的電位故球內(nèi)的電場(chǎng)為(2)介質(zhì)球外的電位為為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場(chǎng)為離變量法求電位分布。解球外的電位是點(diǎn)電荷的電位與球面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位的疊加，感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程。用分離變量法求解電位分布時(shí)，將點(diǎn)電荷的電位在球面上按勒讓德多項(xiàng)式展開，即可由邊界條件確定通解中的系數(shù)。在球面上展開為題4.18圖代入條件②,有比較P,(cosθ)的系數(shù)，得到故得到球外的電位為題4.19圖證明：對(duì)于r>a的點(diǎn)，有解線電荷產(chǎn)生的電位為對(duì)于r>a的點(diǎn)，有故得到題4.20圖所示。證明：空間任意點(diǎn)電位為解以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面r=a把場(chǎng)區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個(gè)場(chǎng)域的通解，并利用再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。代入條件③,有將式(4)兩端同乘以P(cosθ)sinG,并從0到π對(duì)θ進(jìn)行積分，得由式(3)和(5),解得代入式(1)和(2),即得到題4.21圖題4.22圖題4.24圖(b),位于Z=-h極化電荷總電量為題4.25圖題4.25圖所示)由此可得出(1)證明：鏡像電荷構(gòu)成一個(gè)電偶極子，位于球心，電偶極矩為題4.26圖位于：且位置關(guān)于球心對(duì)稱，故構(gòu)成位于球心的電偶極子，其電偶極矩為不變時(shí)，有球外的電場(chǎng)為導(dǎo)線與地面間的電容為解地面的影響可用一個(gè)像