導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及應(yīng)用

?知識(shí)點(diǎn)歸納

一、相關(guān)概念

1.導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)y=f(x),如果自變量x在X。處有增量a,那么函數(shù)y相應(yīng)地有

增量Q=f(x］+s)—f(xj,比值區(qū)叫做函數(shù)y=f(X)在XE到

xg+區(qū)之間的平均變化率，即因=|xI。如果當(dāng)日

時(shí)，目有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)燈處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限

叫做f(x)在點(diǎn)XE處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x』或y'|回。

即f(x。)=兇兇=叵］|x|。

說明：

(1)函數(shù)fix〕在點(diǎn)X習(xí)處可導(dǎo)，是指日時(shí)，國(guó)有極限。如果國(guó)

不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)X5處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。

(2)日是自變量x在不處的改變量，口時(shí)、而目是函數(shù)值的改

變量，可以是零。

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f5〕在點(diǎn)觀處的導(dǎo)數(shù)的步驟：

①求函數(shù)的增量回=f(x』+囚)一f(xg);

②求平均變化率0=IX|；

③取極限，得導(dǎo)數(shù)f'(xO=叵］o

例：設(shè)f(x)=x|x|,那么f，(0)=

［解析］:「__■

f(0)=0

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x￡處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x%

f(xN)處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f〔X〕在點(diǎn)p(X3,f

(xN)處的切線的斜率是f'5力。

相應(yīng)地,切線方程為y—y尸flx』)(x—xg)□

例：在函數(shù)三！的圖象上，其切線的傾斜角小于可的點(diǎn)中，坐

標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

()

A.3B.2C.1D.0

［解析］:切線的斜率為

又切線的傾斜角小于不即日

故I-I

解得：IX|

故沒有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)

3.導(dǎo)數(shù)的物理意義

如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是5=5旌)，那么該物體在時(shí)刻t的瞬間速度V=M

如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是v=v⑴，那么該物體

在時(shí)刻t的加速度2=?ft)o

例。汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，假

設(shè)把這一過程中汽車的行駛路程目看作時(shí)間n的函數(shù)，其圖像可能是

()

答：Ao

練習(xí)：質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律三I做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm,時(shí)間單

位：S〕O

(1)當(dāng)t=2,mi時(shí)一，求日；

(2)當(dāng)t=2,f-i時(shí)，求國(guó)；

(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度。

答案：H回；(3)8回

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.根本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

①目(C為常數(shù))

②IX|

③I1;

④;

⑤日

⑥IXI；

⑦a，

⑧Ix|

例1:以下求導(dǎo)運(yùn)算正確的選項(xiàng)是

()

A.(x+|x|B.(log2x)'=［x］

x2

C.⑶)'=3log3eD.(xcosx)'=_2xsinx

［解析］:A錯(cuò)，v(x+可

B正確，(log2x)'=國(guó)

C錯(cuò)，.?(3X)'=3xln3

D錯(cuò)，?"(x2cosx)'=2xcosx+(-sinx)

例2：設(shè)6(x)=sinx,fAx)=fQ'(x),￡(x)=￡'(x),…，fn+

O=fn'(x),那么工oo5(x)=

()

A.sinxB.—sinxC.cosx

D.—cosx

［解析］:K(x)=sinx,f(x)=%'{x}-cosx,￡(x)=f'(x)=

-sinx,

￡(x)=￡'(x)=-cosx,乙(x)=fj,'l止sinx,循環(huán)了

那么分005(x)=￡(x)=cosx

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么

法那么1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和

(或差)，

即：(1X|

法那么2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)

函數(shù)，加上第一個(gè)

函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：

假設(shè)c為常數(shù)，那么■~■.即常數(shù)與函數(shù)的積的

導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：NI

法那么3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去

分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：□叵I1Vsi0)。

例：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0

時(shí)，「一F>0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)V0的解

集是()

A.(-3,0)U⑶+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(一8,-3)U⑶+8)D.(-?=,-3)U(0,

3)

［解析］：.「當(dāng)xVO時(shí)，I=.>0,即IxI

.?.當(dāng)xVO時(shí)，f(x)晨x)為增函數(shù),

又g(x)是偶函數(shù)且g(3)=0,「.g(-3)=0,「.f(-3)g(-3)=0

故當(dāng)日時(shí)，f(x)g(x)<0,又f(x)g(x)是奇函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)g(x)為減函數(shù)，且f(3)g(3)=0

故當(dāng)N1時(shí)，f(x)g(x)<0

應(yīng)選D

形如y=f回岡的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:

分解一一＞求導(dǎo)一一》回代。

法那么：y'|9=y'|0?uz|目或者i*

練習(xí)：求以下各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)|xI[2)「.

(3)|x|[4〕\x]

解：⑴：x|

(2)y=(x'+3x+2)(x+3)=x3+6x"+llx+6,.\y'=3xJ+12x+l1.

⑶?y=

1■

⑷r~=

[X1

三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（1）設(shè)函數(shù)目在某個(gè)區(qū)間（a,b）可導(dǎo)，如果日國(guó)日，那么

a在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果日目，那么a在此區(qū)間上為

減函數(shù)。

12〕如果在某區(qū)間內(nèi)恒有日目，那么叵］為常數(shù)。

例：函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為

A.?x?B.?x?C.?x?D.(0,2)

［解析］:由Ix?<0,得0<x<2

，函數(shù)［一:是減函數(shù)的區(qū)間為（0,2）

2.極點(diǎn)與極值：

曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在

極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切

線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；

例：函數(shù)■一■時(shí)取得極值，那么回=

［解析］:./I=?，又之□時(shí)取得極值

那么日=5

3.最值:

在區(qū)間［a,b］上連續(xù)的函數(shù)f因在［a,b］上必有最大值與最小值。

但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)函數(shù)f〔X〕不一定有最大值，例如

I一■O

(1)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性的概念，最大值必須是整

個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個(gè)區(qū)間上所有函

數(shù)值中的最小值。

(2)函數(shù)的最大值、最小值是比擬整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來

的，函數(shù)的極值是比擬極值點(diǎn)附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值

可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值那

么可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，

極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。

例：函數(shù)［X1在閉區(qū)間［-3,0］上的最大值、最小值分別

是

［解析］:由IX?=0,得日,

當(dāng)日時(shí)一，回＞0,當(dāng)3時(shí)，叵］＜0,當(dāng)日時(shí)一，

臼＞0,

故s的極小值、極大值分別為,

而「^^一?

故函數(shù)WI在［-3,0］上的最大值、最小值分別是3、

-17o

?經(jīng)典例題選講

例1.函數(shù)一的圖象如下圖（其中臼是函數(shù)H的導(dǎo)函

數(shù)），下面四個(gè)圖象中日的圖象大致是（）

［解析］:由函數(shù)日的圖象可知:

當(dāng)日時(shí).，曰＜0,S＞0,此時(shí)H增

當(dāng)IX】時(shí)可＞0,臼＜0,此時(shí)日減

當(dāng)生3時(shí)，曰＜0,回＜0,此時(shí)H減

當(dāng)日時(shí)一，曰＞0,臼＞0,此時(shí)叵1增

應(yīng)選C

例2.設(shè)WJ恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求

其單調(diào)區(qū)間。

解：【XI

假設(shè)s,生］對(duì)\x1恒成立，此時(shí)a只有一個(gè)單調(diào)

區(qū)間，矛盾

假設(shè)日，a也只有一個(gè)單調(diào)

區(qū)間，矛盾

假設(shè)國(guó)：[.，此時(shí)E恰有三

個(gè)單調(diào)區(qū)間

日且單調(diào)減區(qū)間為名|和國(guó),單調(diào)增區(qū)間

為I—I

例3.函數(shù)—I的圖象過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M「I

處的切線方程為.

(I)求函數(shù)日的解析式；

(II)求函數(shù)日的單調(diào)區(qū)間.

解：[I)由叵]的圖象經(jīng)過P[0,2),知d=2,

所以L-?

由在I―■處的切線方程是,知

故所求的解析式是I-■

1II)

解得I一■當(dāng)

當(dāng)

內(nèi)是增函數(shù)，

在［T內(nèi)是減函數(shù)，在三］內(nèi)是增函數(shù).

例4.設(shè)函數(shù)|一■,I■是奇函數(shù)。

(I)求?、3的值。(H)求回的單調(diào)區(qū)間與極值。

解：［I),?*),?o從而

是

一個(gè)奇函數(shù)，所以日得回，由奇函數(shù)定義得目；

(II)由(I)知匚三I從而r^i,由此可知，

WJ和目是函數(shù)H是單調(diào)遞增區(qū)間；［x］是函數(shù)

H是單調(diào)遞減區(qū)間；

國(guó)在日時(shí)，取得極大值，極大值為a,

國(guó)在國(guó)時(shí)，取得極小值，極小值為國(guó)。

例5.f(x〕=1二】在x=l,x=|3時(shí)，都取得極值。

⑴求a、b的值。

(2)假設(shè)對(duì)㈢，都有三］恒成立，求c的取值范圍。

解：(1)由題意Fix)：的兩個(gè)根分別為1和區(qū)

由韋達(dá)定理，得：1區(qū)=區(qū)|,|x|

那么［x］,日

⑵由(1〕，有f〔x)=「x］,f/(X〕=NJ

當(dāng)區(qū)］時(shí)一，目，當(dāng)國(guó)時(shí)"，目，當(dāng)日

時(shí)，IX|,

當(dāng)叵］時(shí)，H有極大值叵］，||,

...當(dāng)IX1,叵］的最大值為IXI

對(duì)NJ,都有叵］恒成立，...區(qū)I,

解得?X|或1X|

例6.a是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，其中

(I〕求日與目的關(guān)系式;

(H)求H的單調(diào)區(qū)間;

(III)當(dāng)日時(shí)一，函數(shù)日的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒

大于3日，求日的取值范圍.

解：⑴■因?yàn)?是函數(shù)H的一個(gè)極值點(diǎn),

所以口，即1，所以三□

(H)由(I)知,

當(dāng)國(guó)時(shí),有區(qū)I,當(dāng)日變化時(shí),與a的變

化如下表:

日國(guó)S國(guó)13

aa0a0a

a調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

故有上表知,當(dāng)日時(shí),H在|二|單調(diào)遞減,

在叵］單調(diào)遞增，在日上單調(diào)遞減.

(HI)由得NJ,即J

又回所以即

①

設(shè),其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒

成立,

所以[X]解之得

叵]又回

所以E]

即日的取值范圍為區(qū)