高中數(shù)學(xué)-三角恒等變換-測(cè)試練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)三角恒等變換測(cè)試練習(xí)題

1.若cosg—a)=|,貝Usin2a=()

A.—BID.--

25-125

2.己知tan。=2,pill—..............-----------------()

sin20+sin0cos0-2cos20'

c5

A.-iB.-C.—D.-

3445

3.已知tana=g,且aW(匹"),則COS(Q—])=()

V5cV5-2匾?2VS

AA.------B.—c.—D.--

5555

4.^r3sin75°+2sinl5°==V13cos(750-R),貝Man?=()

2323

A-B-CL-D--

3232

豺M=之晶◎醺酮?:#泠:#望蒯◎微融,一%

5.已知讖是函數(shù)~''怎'W的最大值，若存在

實(shí)數(shù)強(qiáng)，囹吏得對(duì)任意實(shí)數(shù)劉'，總有舞磁三翼礴三負(fù),琮成立，則密履一旬的最

小值為（）

俄版串流

A.警螂國(guó)B.M?c.WOJD.WOJ

6sin20+sin0—()

?2cos20+2sin20+cos01

A.tan0B.tan20C.cot0D.cot20

已知=孚，則(的值為(

7.cos(a+7)-sinasinQ—9)

656

A咨B.-2C.iD.--

5555

8.若tan2%—tan(%+9=5,則tan%=()

A_L'@IV6.A

nn.士噂

A.±yB.±yC.±—D

9.已知a,夕是銳角，sina=%,cos￡=y,cos(a+S)=-g,則y與％的函數(shù)關(guān)系式為

()

A.y=—|V1—x24-(|<x<1)B.y=|V1—%24-^(0<%<1)

C.y=|V1—x2—^x(0<%<|)D,y=|V1—x2—1x(0<x<1)

10.下列各式中為恒等式的是()

A.sin(x+y)?sin(x—y)=sin2%—sin2yB.cos(x+y)?cos(%—y)=cos2%—cos2y

C.tan(x+y)-tan(x—y)=tan2%—tan2yD.cotfx+y)?cot(x—y)=cot2%—

cot2y

11.若a6(p7i)9且3cos2a=sin(^—a),則sin2a=

12.已知cosa=I，則sin2=

13.cot^-V3=-----------

齦修一僦=二jswip?-馬

若心筋"%則：r的值為

14.

15.若cos'=皿’則藁等于

16.設(shè)0<aW￡Wy,且a4-/?4-y=7T,則min｛則，當(dāng)｝的取值范圍為

試卷第2頁，總18頁

方程sinx+cosx=號(hào)在區(qū)間［0,4初上的所有的解的和是.

17.

71

18.已知sin(a4-T—2cos(a+號(hào))，貝"tan2a=.

4.

若、〃)，則的值是

19.sina+sin/?=g(cos/?—cosa)&a/?€(0,a—/?

20.已知a、￡均為銳角，且tan￡=瓷高，則tan(a+￡)=

21.化簡(jiǎn)求值：

(I)sin20°cosl0°+cos20°cos80°；

(2)41+sin20。--警。。.

22.已知tan仁+8)=

(1)求tan。的值；

,2rcos2^8--s?in6-co8s-.-l,...

(2)求缶in(e+9的值.

23.閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

sin(a+夕)=sinacos/?+cosasin/5------------------①

sin(a—/?)=sinacos/3—cosasin/?------------------②

由①+②得sin(a+￡)+sin(a-/?)=2sinacos/?-------------------③

令Q+/?=4］一夕=夕有%=寫，夕="

代入③得sin?l+sinB=2sing^cos\^.

(1)類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cos8=

c.A+BA—B

—2sm-----sin------；

22

(2)求值：sin'zo。+cos250°+sin20°cos500(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀

材料及(1)中的結(jié)論)

24.化簡(jiǎn)與求值:

⑴化簡(jiǎn)：含黑

(2)已知la,夕都是銳角，cosa=：COS(Q+夕)=一e，求cos夕的值.

25.(1)△ABC^f證明：sin2?l=sin2B4-sin2C—2sinBsinCcoSi425.

(2)計(jì)算：sin217°+COS247°+sinl7°cos47°.

試卷第4頁，總18頁

參考答案與試題解析

高中數(shù)學(xué)三角恒等變換測(cè)試練習(xí)題

一、選擇題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

1.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

二倍角的正弦公式

兩角和與差的余弦公式

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：：cos(^—a)

n兀

=cos—cosa+sin—sina

44

V2,V2.3

=-cosa4—sina=

225

兩邊平方得，|(l+sin2a)=^,

sin2a=-----.

25

故選D.

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

二倍角的正弦公式

二倍角的余弦公式

弦切互化

【解析】

根據(jù)已知由萬能公式先求出sin2。，cos20的值，把原式用二倍角公式化簡(jiǎn)后代入即可

求值.

【解答】

解：：tan。=2,

l-tan203

cos20=

l+tan205,

sin20+sin0cos0-2cos20

1

1-js2。+|sin20-(1+cos20)

_1_5

-

1+1143-4

S

-7+Ix--(1--)

故選B.

3.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值

【解析】

利用同角三角函數(shù)關(guān)系解答.

【解答】

解：因?yàn)閠ana=h^=2

cosa2

所以cosa=2sina,

所以cos2a=4sin2a.

因?yàn)閟in2a+cos2a=1,

所以sin2a=

因?yàn)閍6(IT,~)f

所以sina<0,

所以cos(a—^)=sina=-*

故選4

4.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

兩角和與差的正弦公式

三角函數(shù)的和差化積公式

【解析】

因?yàn)?sin75°+2sinl50=3sin750+2cos750=V13(^=sin75°+言cos75。)=

V13cos(75o-<p),所以tan0=孽=m.

Tn2

【解答】

解：因?yàn)?sin750+2sinl5°=3sin75°+2cos75°

=V13(島sin75。+意cos75。)=V13cos(75o-<p),

3

所以tan0=^=]

vn2

故選B.

5.

試卷第6頁，總18頁

【答案】

C

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

【解析】

利用三角恒等變換化f(x)為正弦型函數(shù)，由此求出47以及吊-亞1的最小值，可得

解.

【解答】

3/7T\3^3/

/(x)=-sin^2020x+—)+——sin(2020%—W)

6，2\

375393H

=——sin2020x+-cos2020x--cos2020xH———sin2020x

4444

3V33/7T

=——sin2020x--cos2020x=3sin(2020%—

22V6

A=f9加加=3

又存在實(shí)數(shù)犯，對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有fCq)<f(x)<八全)成立，

f@2)=f(x)加=2f(xJ=/(x)min=-2

貝訓(xùn)與—不|的最小值為函數(shù)/'(X)的半個(gè)最小正周期長(zhǎng)度，

112TTTC

l%1-%2'2|27=2X2020=2020

37r

(4|%i—^21)max—2020

故選：C.

6.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

【解析】

把原式的分子第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，然后提取sin。，分母第一項(xiàng)利

用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，與第二項(xiàng)合并后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

化簡(jiǎn)，提取cos。，分子分母約分后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后即可得到

最好結(jié)果.

【解答】

AT；sin26+sin6

*2cos20+2sinz0+cos0

2sin0cos0+sin。

-2(1-2sin20)+2sin20+cos0

sin0(2cos0+1)

2—2sin20+cos0

sin0(2cos0+1)

2cos2。+COS0

sin0(2cos0+1)

cos0(2cos0+1)

=tan。.

故選4

7.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值

【解析】

d

【解答】

解：cos(a4—)-sincz———

65

.A/31..4G

=——cosa——sma—sma=-V3

225

一1國(guó).4

=-cosa-----sma=

225

s\n(a--)=-sina--cosa

'6，22

、

二一(,1—coscz—6—s.incz)=——4.

故選D.

8.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

兩角和與差的正切公式

【解析】

本題考查三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力.

【解答】

解：設(shè)tanx=t,則tan2x—tan(x+?)

=-2-t---t+-l=-2-t--(t-+-l)-2=-t2-+-i=5-,

l-t21-t1-t2t2-l

所以t?=故tanx=t=+—.

22

故選B.

9.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

角的變換

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】

先根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出cosa以及sin(a+/J),再利用兩角差的余弦公式即

可得到答案.

【解答】

解：；知a,/?是銳角，sina=x,cosp=y,cos(a+^?)=-1,

試卷第8頁，總18頁

—sina=cos(a+90°)<cos(a+￡)=—g=x>|；

cosa=—sin2a=V1—%2；

sin(a+S)=y/1—cos2(a4-/5)=%

cosp=cos[(a+￡)—a]=cos(a+6)COSQ+sin(a+0)sina

q-----------Aq

=--V1—%2+-%(-<X<1)

故選/.

10.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

求兩角和與差的正弦

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

三角函數(shù)恒等式的證明

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：:sin(x+y)-sin(x-y)

1

=--(cos2x-cos2y)

1

=--[(1-2sin2%)—(1—2sin2y)]

=sin2%—siiy,故4正確；

利用積化和差公式可得cos(久+y)?cos(x-y)

1

=-(cos2x+cos2y)

1

="[2cos2%—1+2cos2y—1]

=cos2%4-cos2y

Hcos2x-cos2y,故B錯(cuò)誤；

不妨令％=45。，y=30°,

則左端=tan(x+y)?tan(%—y)=tan75°tanl5°=1,

右端=tan245°—tan230°=1—1=|,

???左端。右端，故C錯(cuò)誤；

令％=45。，y=30°,同理可排除D.

故選4

二、填空題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

11.

【答案】

17

~18

【考點(diǎn)】

二倍角的正弦公式

二倍角的余弦公式

兩角和與差的正弦公式

【解析】

由條件利用二倍角公式求得cosa+sina=平方可得sin2a的值.

6

【解答】

解：：aG(p兀)，

cosa-sinaH0.

3cos2a=sing—a),

3(cosa+sina)(cosa—sina)=三(cosa—sina),

cosa+sina=—,平方可得1+sin2a=2，

618

??.s?in2a=----1-7-.

18

故答案為：一［?

lo

12.

【答案】

1

io

【考點(diǎn)】

半角公式的運(yùn)用

【解析】

根據(jù)題意，由半角公式可得sir?三=亨，代入數(shù)據(jù)即可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，

由半角公式可得城：亨=￥=2；

故答案為

13.

【答案】

2

【考點(diǎn)】

弦切互化

半角公式的運(yùn)用

【解析】

n

題目中的余切函數(shù)先轉(zhuǎn)化成正弦函數(shù)與余弦函數(shù)函數(shù)的形式竽-8，接下來對(duì)前一

“n五

項(xiàng)的分子分母同乘以2COS看，再利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可.

試卷第10頁，總18頁

【解答】

裝一返=率_b=2.

解：一遍=竺^一遍=廣已"孑一遍=

12sin—2sm—cos—sin--

1212122

故填2.

14.

【答案】

【考點(diǎn)】

二倍角的余弦公式

【解析】

8s3-§)=cos[2(。-/]=1-2sin2(a--)=1-2x-=-

【解答】

此題暫無解答

15.

【答案】

21

4-?n—-

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的積化和差公式

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

【解析】

化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，通過二倍角公式以及積化和差公式，結(jié)合3倍角公式化簡(jiǎn)求解即可.

【解答】

解：cosx=m,

5x

sin2^00$2

=.xx

n2smJcos2

1

2(sin3x+sin2x)

sinx

2(-4sin3x+3sinx+2sinxcosx)

sinx

23

=-2sin%+-+cosx

2

3

=-2(1—m2)+-+m

=2+1m——1?

2

故答案為：m2+m—

16.

【答案】

1+V5

［1，-^―)

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

【解析】

由題意可得a,0,y分別是△ABC的三內(nèi)角A、B、C,故aWbWc,當(dāng)三洲，

由汨{瞿,/}=min。,￡}*1,此時(shí)，b2<ac<a(a+b),故()一《一1<3由

此求得士的范圍，當(dāng)色2：時(shí)，同理求得:的范圍，由此得出結(jié)論.

aabb

【解答】

解：設(shè)0<aSBSy,且a+0+y=7T,故a,0,y分別是△ABC的三內(nèi)角4、B、C,

a<b<c,

則*{瞿，部}即min4,"

當(dāng)gw2時(shí)，即墳WQC時(shí)，min{g,￡}=g21,此時(shí)，b2<ac<a(a+b)=a2+ab,

二(打一占1<0,解得9<*竽?

綜合可得等.

當(dāng)泄，即時(shí)，min{g,(}=岸1,此時(shí)，b2>ac,再由a+b>c可.得

a>c—b,b2>c(c—h).

(;)2-;-l<0,解得1<汴萼.

綜合可得1w：〈苧.

D2

故答案為［1,竽).

17.

【答案】

971

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

【解析】

用輔助角公式，將方程的左邊進(jìn)行合并，得近sinQ+》=當(dāng)，所以sin(x+：)=點(diǎn)解

這個(gè)三角方程得％=-看+2k?；騲=工+2"(k為整數(shù))，最后?。?,4用上的交集，

可得［0,4司上的所有的解，從而求出它們的和.

【解答】

試卷第12頁，總18頁

解：令y=sinx+cosx=V2sin（x+g）,

若sinx+cosx=今貝!!sin（x+；）=%

得x+-=-+2ATT或％+-=—+2kji（々為整數(shù)），

4646

%+巴=巴+2/CTT或式+巴=空+2/CTT（々為整數(shù)），

4646

x=—巳+2/OT或X="+2々兀（k為整數(shù)），

?。?,4行上的交集，得修、等,等、碧、共四個(gè)值，

它們的和為97r.

故答案為：97T.

18.

【答案】

【考點(diǎn)】

二倍角的正切公式

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

19.

【答案】

2Tt

T

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的和差化積公式

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

【解析】

利用和差化積公式化簡(jiǎn)sina+sinB=R（cosS-cosa）a、。6（0,兀）,

【解答】

解：原式化為：2sin^^cos^^=?X2sin^|^sin^^

所以tan與因?yàn)閍,0€（0,7），所以a-0=*

故答案為：

20.

【答案】

1

【考點(diǎn)】

角的變換

【解析】

由條件化簡(jiǎn)可得tanS=tan?—a）,再由a、0均為銳角，可得=即a+S=%

故可求tan(a+/)的值.

【解答】

解析：???tanA=**

cosa+sma

,tan/?=^=tan《-a).

又???a、川均為銳角，,??6=?—a,即a+0=%

jr

tan(a+B)=tan-=1.

故答案為：1.

三、解答題(本題共計(jì)5小題，每題10分，共計(jì)50分)

21.

【答案】

解：(I)sin200cosl00+cos200cos80°=sin20"cosl00+cos200cos(90°-10°)

=sin200cosl0°+cos200sinl0°=sin(20°+10°)=sin30°=

(2)Vl+sin20°-——-——

N2

=Vsin210°+cos210°4-2sinl00cosl00—Vsin210°

=sinlO°+cos10°—sinlO°=coslO°.

【考點(diǎn)】

兩角和與差的正弦公式

三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值

二倍角的余弦公式

【解析】

無

無

【解答】

解：(I)sin200cosl0°+cos20°cos80°=sin20"cosl0°+cos200cos(90°-10°)

=sin20"cosl0°+cos200sinl00=sin(20°+10°)=sin30°=

,---------------1—cos20°

(2)Vl+sin20°-——-——

q2

=Vsin210°+cos210°4-2sinl0°cosl00—Vsin2100

=sinl0°+cos10°—sinl0°=coslO°.

22.

【答案】

解：⑴tan0+9)=i^=；,

vJ\4J1-tan^2

tan"/

試卷第14頁，總18頁

0.90.

2ocos425—sin5cos-y—1

/ox_____/乙乙____

⑷缶n(e+g

1

cos0—2sin0

sin0+cos0

1

1-2tan0

14-tan。

——7

4,

【考點(diǎn)】

二倍角的正弦公式

二倍角的余弦公式

兩角和與差的正切公式

兩角和與差的正弦公式

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

【解析】

無

無

【解答】

解：⑴.?tane+e)=i^=±

tan。=-

3

。

20cos/25—s.ine5cose5—11

rnx_____乙乙乙____

㈠缶n(0+勺

1

cos0—2sin0

sin。4-cos0

1

1-2tan。

1+tan0

__7

-4

23.

【答案】

解(1)證明：因?yàn)閏os(a+￡)=cosacos^-sinasin￡,-----①

cos(a一夕)=cosacos/3+sinasin夕，---②…

①■②得cos(a+￡)—cos(a—￡)=-2sinasin￡.-----③…

令a+/?=4a-B=B,有a=等，夕=早，

代入③得cos?l—cosB=-2sinsin...

(2)sinz20°+cos2500+sin20ocos500=1+|(coslOO0-cos40°)+1(sin70°-

sin30°)...

11Q

=1-sin700sin30°+-sin70°--sin30°=...

224

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的積化和差公式

三角函數(shù)的和差化積公式

【解析】

(1)把兩角和的余項(xiàng)公式減去兩角差的余項(xiàng)公式，再把a(bǔ)+。=4a-￡=B代入化

簡(jiǎn)可得結(jié)論.

(2)利用半角公式以及積化和差公式化簡(jiǎn)要求的式子，即可求得結(jié)果.

【解答】

解(1)證明:因?yàn)閏os(a+夕)=cosacos夕一sinasin夕,----①

cos(a-/?)=cosacos^+sinasin，,------②...

①-②得cos(a+4)-cos(a-/?)=-2sinasin^.------③...

令a+/?=4a—8=B,有Q=等，”空

代入③得cos4—cosB=—2sin^^sin^^....

(2)sin220°+COS250°+sin20°cos50°=14-i(cosl00o-cos40°)+1(sin70°-

sin30°)...

113

=1-sin70°sin30°+-sin70°一與in30°=...

224

24.

【答案】

解：⑴=由對(duì)+3"5°=tan(45°+15°)=tan60°=V3.

(2)已知a,/?都是銳角，cosa=sina=-cos2a=手,

cos(a+夕)=—￡，「.Q+/?為鈍角，sin(a+°)=J1—cos?(a+0)=

cos/3=cos[(a+S)—a]=cos(a+/3)cosa+sin(a+￡)sina

111,4735>/31

---------H-------------=—.

1477142

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

【解析】

(1)由條件利用兩角和的正切公式，求得要求式子的值.

(2)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sina、sin(a+0)的值，再利用兩角差

的余弦公式求得cos￡的值.

【解答】

l+tanl50tan450+tanl50

解：⑴=tan(450+15°)=tan60°=V3.

l-tanl50l-tan450tanl5<>

試卷第16頁，總18頁

(2)'/已知a,夕都是銳角，cosa=sina=—1-cos2a=7,

cos(a+，)=—五，；a+/?為鈍角，sin(a+0)=^/1—cos2(ct4-/?)=

cos/?=cos[(a+夕)一a]=cos(a+￡)cosa+sin(a+￡)sina

―147十714-2,

25.

【答案】

解：⑴△ABC中，根據(jù)余弦定理,得a?=爐+-2bccos4..（*）

又；三=二=三=2/?（R是外接圓半徑）

sm71smBsmC

a=2Rsin力，b=2Rs\nB,c=27?sinC

代入(*)式，得4R2siM4=4/?2