廣東省2021年中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

廣東省2021年初中畢業(yè)升學(xué)試題

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答

題卡指定位置。

2.答題時(shí)，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題答案，用

0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答案答在試題卷上無(wú)效。

3.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.乃B.72C.|-2|D.3

2.據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布，截至2021年5月23日，31個(gè)省（區(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告

接種新冠病毒疫苗51085.8萬(wàn)劑次，將“51085.8萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.510858xlO9B.51.0858xlO7C.5.10858xl04D.5.10858xl08

3.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

4.已知9"'=3,27"=4,則322=(

A.1B.6

5.若卜-刊+A/9A2-12"+4.=0,

I-9

A.-73B.—

2

6.下列圖形是正方體展開(kāi)圖的個(gè)數(shù)為(

7.如圖，是。。直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC=3,NABC的平分線交AC于點(diǎn)。，CD=l,則。。

的直徑為（）

C

A.73B.273C.1D.2

8.設(shè)6-JI6的整數(shù)部分為m小數(shù)部分為6,則（2a+JI6a的值是（）

A.6B.2V10C.12D.9710

9.我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出

的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,記p=a+：+c,則其面積

S=ylp（p-a）（p-h）（p-c）.這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若〃=5,c=4,則此三角形面積的最

大值為（）

A.75B.4C.2A/5D.5

10.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4、B為拋物線y=/上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。4_L。3.連接點(diǎn)A、8,過(guò)。作OCJ_A3

于點(diǎn)C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

A.—B.—C.—D.1

222

二、填空題：本大題7小題

x+2y=-2

11.二元一次方程組'c的解為一.

2x+y=2

12.把拋物線y=2x?+l向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為

13.如圖，等腰直角三角形A8C中，ZA=90°,BC=4.分別以點(diǎn)2、點(diǎn)C為圓心，線段6C長(zhǎng)的一半為

半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)。、E、F,則圖中陰影部分的面積為—.

BEC

14.若一元二次方程/+云+。=0(b，c為常數(shù))的兩根士滿足一3<%<一1,1<々<3,則符合條件

的一個(gè)方程為.

1131

15.若%+—=—且0<x<l,510x2—-=__.

x6x

4

16.如圖，在QABCZ）中，AD=5,AB=12,sinA=-.過(guò)點(diǎn)。作QE_L他，垂足E,則

sin/BCE-

17.在△ABC中，NABC=90°,AB=2,8。=3.點(diǎn)。為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZA￡>B=45°,則線段CO長(zhǎng)

度的最小值為.

三、解答題(一)：本大題共3小題

2x-4>3(x-2)

18.解不等式組|x—7

4x>----

2

19.某中學(xué)九年級(jí)舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該年級(jí)全體600名學(xué)生中抽

取20名，其競(jìng)賽成績(jī)?nèi)鐖D：

人數(shù)A

8

7

6

5

4

3

2

1

_----------1—1——1—1——1—1--------1—1——--------------?

080859()9510()成績(jī)/分

(1)求這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；

(2)若規(guī)定成績(jī)大于或等于90分為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)該年級(jí)獲優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù).

20.如圖，在中，ZA=90°,作8c的垂直平分線交AC于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使CE=.

(1)若AE=1，求△ABO的周長(zhǎng)；

(2)若A￡)=，8D,求tanNABC的值.

3

四、解答題(二)：本大題共3小題

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丁="+可攵〉0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與

反比例函數(shù)y=-圖象的一個(gè)交點(diǎn)為.

(1)求m的值;

(2)若24=243,求女的值.

22.端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場(chǎng)上豆沙

粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相

同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售

出2盒.

(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)尤元(50WxW65),y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(rùn)(單位：元)，求y關(guān)于x

的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn).

23.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCO中，點(diǎn)E為A。的中點(diǎn).連接8E，將AABE沿BE折疊得到AFBE,BF

五、解答題(三)：本大題共2小題

24.如圖，在四邊形A8CD中，AB//CD,AB^CD,NABC=90°,點(diǎn)￡、尸分別在線段8C、AO上,

豆EFMCD,AB=AF,CD=DF.

（2）求證：以A。為直徑的圓與相切；

（3）若EF=2,ZDFE=12O°,求面積.

25.已知二次函數(shù)》=數(shù)2+法+c的圖象過(guò)點(diǎn)（―1,0）,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有

4%—12<ax2+hx+c<2x2—8x+6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上

的動(dòng)點(diǎn).問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)M使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出所

有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.乃B.72C.|-2|D.3

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較法則比較數(shù)的大小即可.

【詳解】解：3.14,V2?1.414,|-2|=2,

y/O,<|-2|<3<乃，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵要熟記：正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)

實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.

2.據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布，截至2021年5月23日，31個(gè)?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告

接種新冠病毒疫苗51085.8萬(wàn)劑次，將“51085.8萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.510858xlO9B.51.0858xl07C.5.10858xl04D.5.10858x10s

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式axlO",其中141al<10,〃為整數(shù)，一定要將題目中的“51085.8萬(wàn)”

轉(zhuǎn)化為數(shù)字510858000,即可將題目中的數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示出來(lái).

詳解】51085.8萬(wàn)=510858000=5.10858?108，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考察科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式，科學(xué)記數(shù)法的表示形式ax10",其中〃為整

數(shù)，此題容易將題目中的“萬(wàn)”遺漏，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題關(guān)鍵.

3.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

111

氏a-

6-3D.2-

【答案】B

【解析】

【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)及兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7

的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率計(jì)算公式即可求得所求的概率.

366

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹(shù)狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹(shù)狀圖可以不重不漏地把事件所

有可能的結(jié)果數(shù)及某一事件的結(jié)果數(shù)表示出來(lái)，具有直觀的特點(diǎn).

4.已知9"'=3,27"=4,則32'"+3〃=()

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【解析】

【分析】利用同底數(shù)基乘法逆用轉(zhuǎn)換求解即可.

【詳解】解9"'=3,27"=4,

2m3n2m3nmn

...32m+3n=3x3=(3)x(3)=9x27=3x4=12,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)基乘法的逆用，熟練掌握其運(yùn)算法則即表現(xiàn)形式是解題關(guān)鍵.

5.若卜一-12ab+=0,則cih=()

A.73B.|C.4百D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值非負(fù)，一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根非負(fù)，且其和為零，則它們都為零，從

而可求得。、。的值，從而可求得他的值.

［詳解］v|a-V3|>0,一T2ab+4b2/0,且卜一6|+J9Y-124.+4萬(wàn)=0

斗一詞=0,J9a2-12"+4/=J(3a-21)2=0

即。-V3=0，且3a-2。=0

:.a=6,八歲

9

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，一般地，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為

零.

6.下列圖形是正方體展開(kāi)圖的個(gè)數(shù)為（）

一,E,一FTTH

1%也

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

>【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征，11種不同情況進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征，只有第2個(gè)圖不是正方體的展開(kāi)圖，故四個(gè)圖中有3個(gè)圖是正方

體的展開(kāi)圖.

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查正方體的展開(kāi)圖的特征，“一線不過(guò)四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡(jiǎn)潔.

7.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，4。=3,乙鉆。的平分線交4。于點(diǎn)。，8=1,則。。

的直徑為（）

C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】過(guò)。作DE±AB垂足為E,先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到￡>E=￡>C=1,再說(shuō)明

RfADEBgRfADCB得至"BE=BC,然后再利用勾股定理求得4E,,設(shè)BE=BC=x,AB=AE+BE=x+百，最后

根據(jù)勾股定理列式求出x，進(jìn)而求得AB.

【詳解】解：如圖：過(guò)。作OEJ_A8,垂足為E

是直徑

ZACB=90°

?//ABC的角平分線BD

：.DE=DC=\

在DEB和/?/△DCB中

DE=DC、BD=BD

?.??/△DEB冬Rt4DCB(HL)

：.BE=BC

在Rt4ADE中，AD=AC-DC=3-l=2

AE二ylACP-DE2=A/22-12=下＞

BE=BC=x,AB=AE+BE=x+6

在ABC中，AB^ACr+BC2

則(x+V3)2=32+N,解得下也

.??A8=G+6=2百

故填:2百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解

答本題的關(guān)鍵.

8.設(shè)6-質(zhì)的整數(shù)部分為小小數(shù)部分為6則伽+加）匕的值是（）

A.6B.2MC.12D.9710

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)加的整數(shù)部分可確定。的值，進(jìn)而確定。的值，然后將。與人的值代入計(jì)算即可得到

所求代數(shù)式的值.

【詳解】；3＜屈＜4，

???2＜6-而＜3，

二6-布的整數(shù)部分a=2,

小數(shù)部分。=6-JIU—2=4-JIU，

.\(2a+＞/i0)^=(2x2+Vi0)(4-Vi())=(4+x/i0)(4-Vi0)=16-10=6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定6-廂的整數(shù)部分。與小數(shù)部分。的值是解題關(guān)鍵.

9.我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出

的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為“，b,c,記p=a+；+c,則其面積

SEp(p_a)(p_b)(p_c).這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若，=5,c=4,則此三角形面積的最

大值為()

A.75B.4C.275D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由己知可得。+尻6,S=J5(5-4)(5_勿=6,成_5,把6=6%代入S的表達(dá)式中得：

S=y[5.yJ-a2+6a-5＜由被開(kāi)方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值?

【詳解】?.,p=5,,p="+；+,

a+h-lp-c-G

S=,5(5_0(5_份(5_4)=45.y/ab-5

由4+3=6,得6=6-4,代入上式，得：s=V^.Ja(6-a)-5+6a-5

設(shè)y=-4+6。-5,當(dāng)y=-.2+64-5取得最大值時(shí)，S也取得最大值

'/y=-a2+6a-5=-(a-3)2+4

.?.當(dāng)。=3時(shí)，＞取得最大值4

S的最大值為6x"=2A/5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出a+b=6,把面積最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大

值問(wèn)題.

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、8為拋物線y=爐上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且連接點(diǎn)A、3,過(guò)。作OC_LAB

于點(diǎn)C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值()

A1?V2,6n.

A.15.------v.U.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)《小的，B(b,b2),求出AB的解析式為y=(a-L)X+1，進(jìn)而得到0。=1，由NOCB=90?？?/p>

a

知，C點(diǎn)在以。。的中點(diǎn)E為圓心，以「為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C”為圓E半徑時(shí)最大，由此

22

即可求解.

【詳解】解：如下圖所示：過(guò)C點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H,AB與x軸的交點(diǎn)為。，

設(shè)4(。,a2),B(b,b2),其中存0,厚0,

?：OA1OB,

?*,koA.“08=-1，

?.---;----1,

ab

即ab=T,

7八從

g=----------=a+b=a?

a-b

設(shè)AB的解析式為：y=(a——)x+m,代入A(m洲,

a

解得：，n=1,

OD=1,

VOC±AB,即N0C5=90，

???。點(diǎn)在以0。的中點(diǎn)E為圓心，以廠為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

22

當(dāng)C4為圓E的半徑時(shí)，此時(shí)CH的長(zhǎng)度最大,

故C”的最大值為r=!

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識(shí)等，本題的關(guān)鍵是求出A8與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為

1,結(jié)合NOCB=90，由此確定點(diǎn)E的軌跡為圓進(jìn)而求解.

二、填空題：本大題7小題

x+2y=-2

II.二元一次方程組《c-c的解為

2x+y=2

x=2

【答案】

y=-2

【解析】

【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解.

x+2y—-20

【詳解】解：〈

2x+y=2②’

由①式得：x=-2-2y,代入②式,

得：2(-2-2y)+y=2,

解得丁=一2,

再將丁=一2代入①式，

X-2?2-2,

解得尤=2,

x=2

,?jy=-2，

x=2

故填：*c-

b=-2

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單.

12.把拋物線y=2/+l向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為—.

【答案】y=2r+4x

【解析】

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：拋物線y=2/+1向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到的拋物線的解析式為：y=2(x+l)2+1-3,

即：y=2x2+4x

故答案為：y^2x2+4x.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移，熟記函數(shù)圖像的平移方式“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，等腰直角三角形4BC中，ZA=90°,BC=4.分別以點(diǎn)8、點(diǎn)C為圓心，線段長(zhǎng)的一半為

半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)。、E、F,則圖中陰影部分的面積為一.

【答案】4—4

【解析】

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出4c的長(zhǎng)，根據(jù).a2slMcEF即可得答案.

【詳解】?.?等腰直角三角形ABC中，NA=90°,3C=4,

：.AC=AB=—BC=2>/2，ZB=ZC=45°,

2

?c_cOC1"r45^-x22

??S陰影一§△ABC?2S扇形CEF^—AC,AB—2x-------------4—7i,

2360

故答案為：4—萬(wàn)

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵.

14.若一元二次方程幺+區(qū)+c=0",。為常數(shù)）的兩根演心滿足一3<為<一1,1<々<3,則符合條件

的一個(gè)方程為_(kāi)___.

【答案】^-4=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】設(shè)丁=/+云+。與y=0交點(diǎn)為西,馬,根據(jù)題意—3<不<—1,1<%<3關(guān)于y軸對(duì)稱和二次函

數(shù)的對(duì)稱性，可找到%、々的值（斗，/只需滿足互為相反數(shù)且滿足1<1幻<3即可）即可寫出一個(gè)符合條

件的方程

【詳解】設(shè)y=x2+/zx+c與y=。交點(diǎn)為內(nèi),占，

根據(jù)題意-3<%<-1,1<%<3

則1<|幻<3

y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=0

故設(shè)玉=-2,%=2

則方程為：W-4=0

故答案為：%2-4=0

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和找到兩

根的對(duì)稱性類比二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵

1131

15.若xH———且0<x<1,則X）-----=,

x6x

65

【答案】一石

【解析】

113I951

【分析】根據(jù)x+-==,利用完全平方公式可得（x--）2=：,根據(jù)X的取值范圍可得x-一的值，利

x6x36x

用平方差公式即可得答案.

113

【詳解】???1+—==,

x6

:.（X——）2=（x+—）2—4x?—=—,

xxx36

VO<x<l,

1

??x<一,

X

15

??x—=—，

x6

(X+—)(%--)

XXX

故答案為：

36

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵.

4

16.如圖，在口A5CO中，AD=5,AB=n,sinA=~.過(guò)點(diǎn)。作垂足為E,則

_,,,.9>/10

【答案］-^―

50

【解析】

【分析】首先根據(jù)題目中的sinA,求出EC的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AE,即可求出E8,利用平行四邊

形的性質(zhì)，求出CZ),在RfZiCEC中，用勾股定理求出EC,再作BFLCE,在△/?￡(?中，利用等面積法求

出8尸的長(zhǎng)，即可求出sin/BCE.

【詳解】VDE±AB,

：.ZVIDE為直角三角形,

4

又AD=5,sinA=-

4DEDE

sinA=—==

5AD5

解得DE=4,

在RfZVlQE中，由勾股定理得:

AE=y/AD2-DE2=收"?=3,

又：AB=12,

，BE=AB-AE=12-3=9,

又?.?四邊形ABC。為平行四邊形,

CD=AB=12,AD=BC^5

在"「△DEC中，由勾股定理得：

EC=y/CD2+DE2=V122+42=4而，

過(guò)點(diǎn)8作8尺LCE,垂足為F,如圖

在△E8C中：

SAEBC=gg￡：BgDE=；倉(cāng)?4=18;

又?：SAEBC=；gCE驗(yàn)尸=!?4回聊=2屈BF

A2VI0BF=18,

解得人嚕,

在RraBFC中,

必=①59M

sin?BCF

BC10'50

故填：觀.

50

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解

題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高.

17.在△A6c中，乙鋁。=90°,48=2,3。=3.點(diǎn)0為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，NAttB=45°,則線段C。長(zhǎng)

度的最小值為.

【答案】石-亞

【解析】

【分析】由已知NAD8=45°,AB=2,根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角

的一半可知，點(diǎn)。在以。為圓心08為半徑的圓上，線段CD長(zhǎng)度的最小值為CO—OQ.

【詳解】如圖：以為半徑作圓，過(guò)圓心。作0NJ.AB,0M_L8C,

2

以。為圓心OB為半徑作圓，則點(diǎn)。在圓。上,

?.?ZAT>3=45°

.'.ZAOB=90°

?.AB=2

AN=BN=1

：.AO=Vl2+12=V2

,/ON=OM=—AB=1.BC=3

2

OC=JF+（3_I）2=也

：.CO-OD=y/5-y/2

線段CO長(zhǎng)度的最小值為：石-行.

故答案為：y/5—>/2?

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點(diǎn)到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖

形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（一）：本大題共3小題

2x-4>3（x-2）

18.解不等式組,x—7

4x>------

2

【答案】-1<XW2.

【解析】

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

2x-4>3(x-2)0

【詳解】解:

4x>—(2)

2

由①得：xW2；

由②得：x>-1,

則不等式組的解集為-1<XW2.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

19.某中學(xué)九年級(jí)舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該年級(jí)全體600名學(xué)生中抽

取20名，其競(jìng)賽成績(jī)?nèi)鐖D:

人數(shù)4

8

7

6

5

4

3

2

1

。?

8()859()9510()成績(jī)/分

(1)求這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù);

(2)若規(guī)定成績(jī)大于或等于90分為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)該年級(jí)獲優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)眾數(shù)：90,中位數(shù)：90,平均數(shù)：90.5；(2)450人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

(2)利用樣本估計(jì)總體思想求解可得.

【詳解】解：(1)由列表中90分對(duì)應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90,

由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)應(yīng)該是90,

眾數(shù)：90,中位數(shù)：90,

FL…80x2+85x3+90x8+95x5+100x2.__

平均數(shù)=-------------------------------------=90.5.

20

答：這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)90,中位數(shù)90,和平均數(shù)90.5；

(2)20名中有8+5+2=15人為優(yōu)秀，

153

.?.優(yōu)秀等級(jí)占比：—=-

204

3

???該年級(jí)優(yōu)秀等級(jí)學(xué)生人數(shù)為：600x-=450(人)

4

答：該年級(jí)優(yōu)秀等級(jí)學(xué)生人數(shù)450人.

【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、用樣本估計(jì)總體、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答問(wèn)題.

20.如圖，在HAABC中，NA=90°,作的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使CE=M.

(1)若AE=1，求△ABO的周長(zhǎng)；

(2)若AD=—BD,求tanNABC的值.

3

【答案】(1)1；(2)V2

【解析】

【分析】(I)作出BC的垂直平分線，連接BD,由垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得到

DB=DC,由此即可求出△ABD的周長(zhǎng)；

(2)設(shè)AQ=x,BD=3x,進(jìn)而求出AC=AT>+CD=4x,在RtAABD中使用勾股定理求得

AB=272x-由此即可求出tanNABC的值?

【詳解】解：(1)如圖，連接8D，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F,

B

***BD=CD，

Card=AB+AD+BD

=AB+AD+DC=AB+AC

AB=CE,

/.CARn=AC+CE=AE=1.

⑵設(shè)AZ>=x,***BD=3x，

又?：BD=CD,：.AC=AD+CD=4x,

RtAABD中，AB=yjBD2-AD2=7（3x）2-x2=2瓜■

：.tanZAfiC=—=.

AB2V2x

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂直平分線上

的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等是解決本題的關(guān)鍵.

四、解答題（二）：本大題共3小題

21.在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，一次函數(shù)丁=辰+既%>0）的圖象與x軸、y軸分別交于4、B兩點(diǎn)，且與

反比例函數(shù)y=g圖象的一個(gè)交點(diǎn)為P（l,〃z）.

（1）求機(jī)的值；

（2）若Q4=2AB,求人的值.

【答案】（1）4；（2）左=2或&=6

【解析】

4

【分析】（1）將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式>=一，計(jì)算即可求得，小

x

（2）分兩種情況討論，當(dāng)一次函數(shù)過(guò)一、二、三象限時(shí)，畫出圖像，將Q4=2A3轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似,

過(guò)過(guò)P作軸交x軸于點(diǎn)4,證明VA8O:NAPH,即可求出4和b的值；當(dāng)一次函數(shù)過(guò)一、三、

四象限時(shí)，畫出圖像，將Q4=2A6轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似,過(guò)點(diǎn)P作PQLy軸于點(diǎn)Q,證明V84。:NBPQ

即可求出&和b的值.

4

【詳解】解：（1）YP為反比例函數(shù)y=一上一點(diǎn)，

x

,4

代入得m=—=4,

m=4.

（2）令y=0,即乙+匕=0,

令x=O,y=〃，,

PA=2AB.

由圖象得，可分為以下兩種情況,

①B在y軸正半軸時(shí)，Z?>0,

PA=2AB，

過(guò)P作軸交x軸于點(diǎn)H,又4。14",ZPAp=ZB^O,

4耳外。_4。i

A5,A￡1

BQ--PH=4x-=2,==

22B.POHT'

即=B]P，AO=OH,

?'?6=2,

4。=o4=i,

=\,k-2.

②B在y軸負(fù)半軸時(shí)，b<0,過(guò)戶作PQ_Ly軸,

。

PQ1B2Q,41B2Q,N&BQ=^A2B2Q,

4%0BIS/QB],

\B2_1_AO_B2O

:.A>0=—=1PQ=—,

k33

B2O=h2Q=^OQ=\b\=2,

'：b<0,

.."=-2,代入收=;

:.k=6,

綜上，Z=2或4=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，將

題目中線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比是解題關(guān)鍵.

22.端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場(chǎng)上豆沙

粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相

同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售

出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元（504x465）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(rùn)（單位：元），求y關(guān)于x

的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn).

【答案】（I）豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元；（2）y=-2x2+280x-8000（50<x<65）,

最大利潤(rùn)為1750元

【解析】

【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)〃元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)（4-10）元，根據(jù)某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽

和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計(jì)算即可；

（2）根據(jù)題意當(dāng)x=50時(shí)，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時(shí)，每天可售［1（）0—2（x-50）］盒，列出

二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最大值即可.

【詳解】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)”元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)（4-10）元.

解得：a=40,經(jīng)檢驗(yàn)a=40是方程的解.

，豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元.

答：豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元.

(2)由題意得，當(dāng)x=50時(shí)，每天可售100盒.

當(dāng)豬肉粽每盒售x元時(shí)，每天可售［100-2(》一50)］盒.每盒的利潤(rùn)為(》一40)

y=(x-40).［100-2(%-50)1，

=-2%2+280%-8000

配方得：y=-2(x-70>+1800

當(dāng)x=65時(shí)，取最大值為1750元.

y--lx1+280x-8000(50<x<65),最大利潤(rùn)為1750元.

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=—2x2+280x—8000(50<x<65),且最大利潤(rùn)為1750元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式是

解決本題的關(guān)鍵.

23.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為的中點(diǎn).連接3E,將AABE沿BE折疊得到AFBE,BF

交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

【答案】CG=-y/2

7

【解析】

［分析］根據(jù)題意，延長(zhǎng)BE交C。于“連￡〃，通過(guò)證明RtAEDHmRMEFH(HL)、^DHE^^AEB

得到CH=彳，再由A"GCSABG4得到CG=w(AC—CG),進(jìn)而即可求得CG的長(zhǎng).

【詳解】解：延長(zhǎng)交CD于“連￡”，

DH

?：AFBE由AAB￡沿BE折疊得到，

AEA=EF，NEFB=NEAB=90°,

為4)中點(diǎn)，正方形ABC。邊長(zhǎng)為1,

/.EA=ED

2

：.ED=EF=~,

2

?.?四邊形A8CZ)是正方形，

/.ZD=NEFB=ZEFH=90°,

在RtAEDH和Rt^EFH中，

ED=EF

EH=EH'

...Rt^EDH^Rt^EFH(HL),

；?ZDEH=AFEH,

又?：ZAEB=/FEB，

：.ZDEH+ZAEB=90°,

ZABE+ZAEB=9G°,

：.ZABE=NDEH,

：.ADHES^AEB，

.PHAE\

：.DH=L

4

13

：.CH=CD-DH=1--=-,

44

,/CH//AB,

；.AHGCS^BGA,

CGCH3

AG-AB-4

33

CG=^AG=-(AC-CG),

VCB=\,ZCBA=90°,

???AC=母，

ACG=-(V2-CG),

：.CG=-y[2.

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌

握相關(guān)幾何知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

五、解答題（三）：本大題共2小題

24.如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,AB^CD,NA3C=90°,點(diǎn)￡、尸分別在線段8C、AD上,

BA

（1）求證：CFLFB-.

（2）求證：以為直徑的圓與8C相切；

（3）若EF=2,ZDFE=120。,求AAD石的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）-V3

3

【解析】

【分析】⑴設(shè)ADCF=QFC=a,進(jìn)而求得ZABF=ZAFB=90°-a,再由

ZCFB=180°—ZCFD-ZBFA=90°即可求得CFJ.FB；

（2）取4￡＞中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作0M_L3C,由梯形中位線定理得到。M=；（AB+C。），利用

A尸=AAOE=DC得到AZ)=204,進(jìn)而。4=QA/=?！?,由此即可證明;

(3)過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)A分別向所作垂線交所于點(diǎn)M,N,得到=S，“D+S.EFA，分別求出

EF2r

8七=方=§>/3，慮=百￡：尸=2百再代入求解即可.

【詳解】解：(1)；CD=￡>E,設(shè)/DCF=NDFC=a,

，Z/T>C=180°-2a,

,:CD〃AB,

NBAF=180°-(l80-2a)=2a,

又；AB=AF，

1QAO_0rt

：.ZABF=AAFB=—~—=90。一a,

2

4CFB=180。-NCFD-ZBFA=180°-a-(90°-a)=90°

：.CF1BF.

(2)如圖，取A。中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作。WJ_3C,

,：CD/7AB,ZBCD=90°,

???NDCB=90°,

又：OMIBC,

為8C中點(diǎn)，

：.OM=g(AB+CD),

,/AD^AF+DF，

又,:AF=AB,DF=DC,

AD^AB+CD^2OM,

又???4)=204,

OA=OM=OD，

...以AD為直徑的圓與8c相切.

(3)VZDFE=120°,CD〃EF〃AB,

NCZM=60。，Z^4￡>=120°,ZAFE=60°,

又?；DC=DF

"DCF為等邊三角形，ZDFC=ZFCD=60°,

,:CD〃EF,

：.ZCFE=ZFCD=60°,

由(2)得：ZCFB=90°,

NEFB=3。。,

：.ZBFA=ZFBA=30°,

,:EF=2,