小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊(cè)思維訓(xùn)練

第五冊(cè)思維訓(xùn)練題思維訓(xùn)練專題(一)你知道配對(duì)求和嗎？小朋友們都知道怎么求和，但有時(shí)求和也是需要技巧的，巧配對(duì)快求和。具體怎樣配對(duì)求和比擬好，需要根據(jù)不同的題目特點(diǎn)靈活選擇運(yùn)用。我們快來看看吧！例1：24＋25＋26＋27＋28＋29=？[解題招術(shù)]這題加數(shù)的個(gè)數(shù)是雙數(shù)個(gè)的，所以可以用首尾配對(duì)的方法：24＋25＋26＋27＋28＋29=〔24＋29〕＋〔25＋28〕＋〔26＋27〕=53×3=109。例2：600－1－9－2－8－3－7－4－6－5－5―6－4－7－3－8－2－9－1=？[解題招術(shù)]利用湊整配對(duì)的方法：600－1－9－2－8－3－7－4－6－5－5―6－4－7－3－8－2－9－1=600－〔1＋9〕－〔2＋8〕－〔3＋7〕－〔4＋6〕－〔5＋5〕－〔4＋6〕－〔3＋7〕－〔2＋8〕－〔1＋9〕=600－10×9=600－90=510。[小試身手]〔1〕31＋32＋34＋36＋38＋40〔2〕128＋138＋148＋158＋168〔3〕993＋994＋995＋996＋997＋998＋999〔4〕34＋29＋25＋21＋17＋13〔5〕11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19〔6〕1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋10＋11－12＋13＋14－15〔7〕1000－71－29－72－28－73－27－74－26－75－25〔8〕101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109[挑戰(zhàn)自我]〔9〕從23開始，一次加比它大1，大2，大3，……的數(shù)，連續(xù)加20個(gè)數(shù)的和是多少？〔10〕建筑工地有一些磚，碼成近似梯形，最1層2塊，第2層5塊，第3層8塊……，下面的每層都比上一層多3塊，最下層有50塊。這堆磚一共有多少塊？〔11〕夏令營來了3個(gè)老師40名小朋友，如果每人都要和其他人握一次手，一共要握幾次手？〔12〕小明在做口算題，第一天寫了6道，以后每天總比前一天多寫2道，小明寫了20天一共寫了多少道口算題？〔13〕有一列數(shù)，相鄰兩個(gè)數(shù)的相差數(shù)相等，最小數(shù)+最大數(shù)=100，一列數(shù)的和是300，你能寫出幾個(gè)這樣的數(shù)列？快試試吧？訓(xùn)練一得：用配對(duì)方法求和，實(shí)質(zhì)上是把求一串有規(guī)律的數(shù)的和的連加問題變?yōu)槌朔?。配?duì)時(shí)，要注意觀察一串?dāng)?shù)的特點(diǎn)，思考怎樣把一串?dāng)?shù)進(jìn)行合理的配對(duì)，可以湊整配對(duì)，也可以首尾配對(duì)，還可以倒序配對(duì)。附答案〔一〕[小試身手]〔1〕31＋32＋34＋36＋38＋40〔首尾配對(duì)〕=〔31＋40〕＋〔32＋38〕＋〔34＋36〕=71×3=213〔2〕128＋138＋148＋158＋168〔倒序配對(duì)〕=[〔128＋138＋148＋158＋168〕＋〔168＋158＋148＋138＋128〕]÷2=[〔128＋168〕＋〔138＋158〕＋〔148＋148〕＋〔158＋138〕＋〔168＋128〕]÷2=296×5÷2=240〔3〕993＋994＋995＋996＋997＋998＋999=1000×7－〔7＋6＋5＋4＋3＋2＋1〕=7000－28=6972〔4〕34＋29＋25＋21＋17＋13=〔34＋29＋25＋21＋17＋13〕＋〔13＋17＋21＋25＋29＋34〕=〔34＋13〕×6÷2=141〔5〕11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19〔湊整配對(duì)、首尾配對(duì)〕=〔11＋19〕＋〔12＋18〕＋〔13＋17〕＋〔14＋16〕＋15=30×4＋15135〔6〕1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋10＋11－12＋13＋14－15=〔1＋2－3〕＋〔4＋5－6〕＋〔7＋8－9〕＋〔10＋11－12〕＋〔13＋14－15〕=0＋3＋6＋9＋12=30〔7〕1000－71－29－72－28－73－27－74－26－75－25=1000－〔71＋29＋72＋28＋73＋27＋74＋26＋75＋25〕=1000－100×5=500〔8〕101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109=100×9＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)=900＋45=945[挑戰(zhàn)自我]〔9〕解：依題意得這20個(gè)數(shù)分別為：23、24、25……41、42因此：23＋24＋25＋……＋40＋41＋42=〔23＋42〕×20÷2=65×20÷2=650〔10〕解：〔50－2〕÷3=1616＋1=17〔層〕,所以一共有17層磚。2＋5＋8＋……＋50=〔2＋50〕×17÷2=442〔塊〕答：這堆磚一共有442塊。〔11〕解：依題意得一共有43個(gè)人要互相握手42＋41＋40＋……＋2＋1=〔42＋1〕×42÷2=903〔次〕答：一共要握903次手。〔12〕解：6＋〔20－1〕×2=24〔道〕6＋8＋10＋……＋24=〔6＋24〕×20÷2=300〔道〕答：小明寫了20天一共寫了300道口算題?！?3〕解：依題意得：300×2÷100=6〔個(gè)〕這個(gè)數(shù)列一共有6個(gè)數(shù)，5個(gè)間隔。因此這個(gè)數(shù)列首尾兩項(xiàng)的差應(yīng)該為5的倍數(shù)。所以這個(gè)數(shù)列可能是：5、23、41、59、77、95等等其他數(shù)列。思維訓(xùn)練專題(二)規(guī)律在哪里，你發(fā)現(xiàn)了嗎?小朋友，在我們的生活中，經(jīng)常會(huì)存在一些有規(guī)律的現(xiàn)象。你發(fā)現(xiàn)了嗎？用你的慧眼去尋找各種各樣的規(guī)律吧！例1：按規(guī)律填數(shù)?！?〕1，3，9，27，〔〕，〔〕〔2〕2，17，4，14，8，11，〔〕，〔〕〔3〕2，3，5，14，69，〔〕，〔〕[解題招術(shù)]〔1〕在數(shù)列1，3，9，27，〔〕，〔〕中，后一項(xiàng)總是前一項(xiàng)的3倍，根據(jù)這一規(guī)律，可以確定〔〕里分別應(yīng)填81和243.〔2〕在數(shù)列2，17，4，14，8，11，〔〕，〔〕中隔著看，單數(shù)項(xiàng)總是成倍增加，而偶數(shù)項(xiàng)依次減3。根據(jù)這一規(guī)律，可以確定〔〕里分別應(yīng)填16和8?！?〕在數(shù)列2，3，5，14，69，〔〕，〔〕中，前兩項(xiàng)相乘減一就得第三項(xiàng)，如：2×3－1=5，3×5－1=14。根據(jù)這一規(guī)律，可以確定〔〕里分別應(yīng)填965和66584。例2：先找出規(guī)律，再填數(shù)。[解題招術(shù)]通過觀察可以發(fā)現(xiàn)每組中的三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)系：3×6÷2=9，7×8÷2=28，也就是說上面一個(gè)數(shù)和左下角的那個(gè)數(shù)的積除以2就得到右下角的那個(gè)數(shù)。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以得到第三組右下角的數(shù)為12×4÷2=24。[小試身手]〔1〕按規(guī)律接著填：5，10，20，40，〔〕，〔〕243，81，27，9，〔〕，〔〕〔2〕找規(guī)律，再填數(shù)。2，10，5，10，〔〕，10，11，〔〕，14，1021，〔〕，18，3，15，4，〔〕，5，9〔3〕填一填，再說一說規(guī)律在哪?！?，4〕，〔5，8〕，〔6，7〕，〔，10〕〔5，6〕，〔7，9〕，(10，13〕，〔，18〕〔4〕你能填出缺少的數(shù)嗎？〔5〕找規(guī)律填數(shù)?！?〕街上的彩燈真漂亮，彩燈按照4盞紅燈、再接3盞藍(lán)燈、再接5盞黃燈，然后又是4盞紅燈、3盞藍(lán)燈、5盞黃燈、……這樣排下去。問：①第95盞燈是什么顏色？②前120盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？〔7〕將0，1，2，3，4，…除以5的余數(shù)依次排列起來，得到一個(gè)數(shù)列。求這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和。〔8〕哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？[挑戰(zhàn)自我]〔9〕按規(guī)律填一填。1，4，5，9，14，〔〕，〔〕2，4，5，7，11，16，26，40，〔〕，〔〕33，17，9，5，〔〕，〔〕〔10〕有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是6，以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與8的和的個(gè)位數(shù)。這列數(shù)中第66個(gè)數(shù)是幾？〔11〕有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是8和4，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是幾？前100個(gè)數(shù)之和是多少？〔12〕時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)時(shí)敲該鐘點(diǎn)數(shù)，比方一點(diǎn)時(shí)敲一下，兩點(diǎn)時(shí)敲兩下……，每半點(diǎn)時(shí)敲一下。問：一晝夜該時(shí)鐘總共敲多少下？〔13〕數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17,19。①如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？②如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？訓(xùn)練一得：尋找數(shù)列的排列規(guī)律，可以看相鄰(或者可能是隔一個(gè)的)兩數(shù)字間有什么關(guān)系，或相鄰的三項(xiàng)有什么運(yùn)算關(guān)系等。圖形的規(guī)律那么要仔細(xì)觀察各組圖形的變化。附答案：〔二〕[小試身手]〔1〕按規(guī)律填數(shù)：5，10，20，40，〔80〕，〔160〕243，81，27，9，〔3〕，〔1〕〔2〕找規(guī)律，再填數(shù)。2，10，5，10，〔8〕，10，11，〔10〕，14，1021，〔2〕，18，3，15，4，，〔12〕，5，9〔3〕填一填，再說一說規(guī)律在哪。〔9，4〕，〔5，8〕，〔6，7〕，〔3，10〕〔5，6〕，〔7，9〕，(10，13〕，〔14，18〕3831〔4〕你能填出缺少的數(shù)嗎？383114〔5〕找規(guī)律填數(shù)。14〔6〕解：95÷〔4＋3＋5〕=7〔組〕……11〔盞〕120÷12=10〔組〕3×10=30〔盞〕答：第95盞燈是黃色的，前120盞彩燈中有30盞藍(lán)燈?！?〕解：依題意這組數(shù)列為：0,1,2,3,4,0,1,2,3,4……所以前100個(gè)數(shù)的和為：100÷5=20〔0＋1＋2＋3＋4〕×20=10×20=200答：這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和是100。〔8〕解：依題意得：每次妹妹都比哥哥多拿1塊16÷2=8〔次〕，1×8=8〔塊〕答：妹妹拿得多，多8塊。[挑戰(zhàn)自我]〔9〕按規(guī)律填一填。1，4，5，9，14，〔23〕，〔37〕2，4，5，7，11，16，26，40，〔65〕，〔104〕33，17，9，5，〔3〕，〔2〕〔10〕解：依題意得這個(gè)數(shù)列為：6,4,2,0,8,6,4,2,0,8……五個(gè)為一組重復(fù)出現(xiàn)。66÷5=13……1答：這列數(shù)中第66個(gè)數(shù)是6?！?1〕解：依題意得這串?dāng)?shù)為：8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,8……六個(gè)為一組重復(fù)出現(xiàn)。100÷6=16……4〔8＋4＋2＋8＋6＋8〕×16＋4=564答：這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是8，前100個(gè)數(shù)之和是564?！?2〕解：依題意得：2＋3＋4＋……13=〔2＋13〕×12÷2=15×12÷2=90〔下〕答：一晝夜該時(shí)鐘總共敲90下?！?3〕解：①在7后面補(bǔ)個(gè)9，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律變?yōu)橐来渭?。②去掉數(shù)字17，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為單數(shù)項(xiàng)依次加4再加6，偶數(shù)項(xiàng)也依次加4再加6。思維訓(xùn)練專題(三)加、減巧算你知道嗎？小朋友，要學(xué)好數(shù)學(xué)不僅要會(huì)算，還要算得巧、算得快。在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，為了又快又準(zhǔn)確，除了要熟練地掌握計(jì)算法那么外，還需要掌握一些巧算方法。我們常用“湊整〞的方法來進(jìn)行加、減法的巧算，就是將算式中的數(shù)分成假設(shè)干組，使每組的運(yùn)算結(jié)果都是整十、整百、整千……的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和。這種“化零為整〞的思想是加減法巧算的根底。例1：計(jì)算：24＋62＋17＋46＋83=？[解題招術(shù)]先把加在一起為整十、整百、整千……的加數(shù)加起來，然后再與其它的數(shù)相加。也就是：24＋62＋17＋46＋83=〔24＋46〕＋〔17＋83〕＋62=70＋100＋62=232例2：計(jì)算：4847-2635＋235-172-28=？[解題招術(shù)]利用分組湊整的方法：4847－2635＋235－172－28=4847－〔2635－235〕－〔172＋28〕=4847－2400－200=447[小試身手]〔1〕506－397〔2〕323－189〔3〕42＋73＋35＋27＋58〔4〕598＋764＋158〔5〕2993+6996+4994＋135〔6〕4267＋1387－267〔7〕536－63－37－36〔8〕4253－(253－158)[挑戰(zhàn)自我]〔9〕8＋98＋998＋9998＋99998〔10〕求下面10個(gè)數(shù)的總和：163，156，168，171，148，158，179，161，154，149?！?1〕從10到30這30個(gè)數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？〔12〕農(nóng)業(yè)科研小組測(cè)定麥苗的生長情況，量出10株麥苗的高度分別為〔單位：厘米〕：26，25，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度?！?3〕某車間有9個(gè)工人加工零件，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個(gè)零件？訓(xùn)練一得：對(duì)于加、減法的計(jì)算。首先，我們要熟練地掌握加減根本計(jì)算法那么，其次，我們還要根據(jù)題目的特點(diǎn)，選用適宜的運(yùn)算定律、性質(zhì)及巧算方法。附答案〔三〕[小試身手]〔1〕506－397〔2〕323－189=506－400＋3=323－190＋1=109=134〔3〕42＋73＋35＋27＋58〔4〕598＋764＋158=〔42＋58〕＋〔73＋27〕＋35=598＋2＋158＋2＋760=100×2＋35=600＋160＋760=235=1520〔5〕2993+6996+4994＋135〔6〕4267＋1387－267=3000＋7000＋5000＋135－7－4－6=4267－267＋1387=15135－17=4000＋1387=15118=5387〔7〕536－63－37－36〔8〕4253－(253－158)=536－36－〔63＋37〕=4253－253＋158=500－100=4000＋158=400=4158[挑戰(zhàn)自我]〔9〕8＋98＋998＋9998＋99998=10＋100＋1000＋10000＋100000－2×5=111110－10=111100〔10〕解：163＋156＋168＋171＋148＋158＋179＋161＋154＋149=160×10＋3－4＋8＋11－12－2＋19＋1－6－11=1600＋7=1607〔11〕解：〔11－10〕＋〔13－12〕＋……〔29－28〕＋30=〔29－9〕÷2×1＋30=10＋30=40答：所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是40?！?2〕解：依題意得：〔26＋26＋27＋30＋26＋24＋29＋28＋27＋25〕÷10=〔30×10－4－4－3－4－6－1－2－3－5〕÷10=〔300－40〕÷10=26答：這批麥苗的平均高度是26厘米〔13〕解：68＋91＋84＋75＋78＋81＋83＋72＋79=70＋90＋80＋80＋80＋80＋80＋70＋80－2＋1＋4－5－2＋4＋3＋2－1=70×2＋90＋80×6＋4=714答：他們共加工了714個(gè)零件。思維訓(xùn)練專題(四)和差問題怎么解？和差問題，就是兩個(gè)數(shù)的和與差，反過來求這兩個(gè)數(shù)。在解答時(shí)，通常可以選擇大數(shù)或小數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。如果選擇小數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，那么大數(shù)要減去相差的數(shù)，變成和小數(shù)同樣多，然后除以2，就得小數(shù)；如果選擇大數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，那么小數(shù)要加上相差的數(shù)，變成和大數(shù)同樣多，然后除以2，就得到大數(shù)，可別忘了學(xué)會(huì)畫線段圖是解決此類問題的好方法。大家快來試試吧！例1：我校三年級(jí)一班共有學(xué)生45人，男生人數(shù)比女生多3人，男、女生各有多少人？

[解題招術(shù)]根據(jù)題意，可畫圖如下：男生是較大數(shù)，女生是較小數(shù)，3人是他們的差。如果男生減少3人，就和女生人數(shù)同樣多，總?cè)藬?shù)也就相應(yīng)減少3人，即〔45-3〕人，正好是女生人數(shù)的2倍。通過線段圖我們可以發(fā)現(xiàn)，用“〔和＋差〕÷2”可以得到兩個(gè)數(shù)中大的數(shù)字。用“〔和－差〕÷2”可以得到兩個(gè)數(shù)中小的數(shù)字。女生：〔45-3〕÷2=21〔人〕

男生：21+3=24〔人〕或45-21=24〔人〕

也可以這樣想：假設(shè)女生增加3人，就和男生人數(shù)一樣多，總?cè)藬?shù)就是〔45+3〕人，正好是男生人數(shù)的2倍。

男生：〔45+3〕÷2=24〔人〕

女生：24-3=21〔人〕或45-24=21〔人〕

檢驗(yàn)：24+21=45〔人〕24-21=3〔人〕

答：男生有24人，女生有21人。例2：甲、乙兩筐蘋果共有114個(gè)，從甲筐取出15個(gè)，從乙筐取出9個(gè)后，這時(shí)兩筐蘋果剩下的個(gè)數(shù)相等。兩筐原來各有蘋果多少個(gè)？[解題招術(shù)]根據(jù)“從甲筐取出15個(gè)，從乙筐取出9個(gè)后，這時(shí)兩筐蘋果剩下的個(gè)數(shù)相等〞可以畫圖：說明原來甲筐比乙筐多〔15－9〕個(gè)，即6個(gè)。

〔114－6〕÷2=54〔個(gè)〕

114－54=60〔個(gè)〕

答：甲筐原有60個(gè)，乙筐原有54個(gè)。[小試身手]〔1〕學(xué)校舉行圍棋比賽和象棋比賽，共有86人參加，參加圍棋比參加象棋比賽的少10人。參加兩種棋比賽的各有多少人？〔每個(gè)人只許參加一種棋比賽〕〔2〕兩個(gè)小孩重量之和為69千克。其中一個(gè)比另一個(gè)重15千克，兩個(gè)孩子各有多重？〔3〕學(xué)校買來50套桌椅共付5500元，每把椅子比每張桌子廉價(jià)20元。每張桌子、每把椅子各多少元？〔4〕一批貨共有80噸，用大卡車和小卡車各10輛一次運(yùn)完，每輛大卡車比小卡車多裝2噸，每輛大卡車一次運(yùn)多少噸？〔5〕小星在期末考試中，語文和數(shù)學(xué)的平均分是98分，數(shù)學(xué)比語文多4分，語文和數(shù)學(xué)各得了多少分？〔6〕兩個(gè)連續(xù)雙數(shù)的和是106，求這兩個(gè)雙數(shù)各是多少？〔7〕兩根繩子共長65米，第一根剪下13米，第二根加長6米后，兩根繩子一樣長。原來兩根繩子各長多少米？〔8〕如果把被減數(shù)、減數(shù)、差相加，和為40，那么被減數(shù)是多少？[挑戰(zhàn)自我]〔9〕父、子的年齡之和，現(xiàn)在是42歲，10年以后父親比兒子大20歲，問現(xiàn)在父、子年齡各是多少歲？〔10〕有兩桶油共重86千克，假設(shè)從甲桶油倒入乙桶4千克，那么兩桶油的重量相同。這兩桶油各有多少千克？〔11〕紡織廠第一車間和第二車間共有工人48人，如果從第一車間調(diào)出8人到第二車間，第一車間的人數(shù)比第二車間還多2人，兩個(gè)車間原來各有多少人？〔12〕兩塊花布共有24米，第一塊用去3米，第二塊用去2米，這時(shí)第一塊比第二塊還多3米，問兩塊布原來各有多少米？〔13〕一級(jí)茶和二級(jí)茶共有80千克，二級(jí)茶和三級(jí)茶共有70千克，一級(jí)茶和三級(jí)茶共有50千克，問一、二、三級(jí)茶各有多少千克？訓(xùn)練一得：和差問題經(jīng)常見，選擇標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵。和差相加除以2，標(biāo)準(zhǔn)大數(shù)便可見。和差相減除以2，標(biāo)準(zhǔn)小數(shù)又露面。靈活巧妙變思維，解法簡潔更簡單。附答案〔四〕：[小試身手]〔1〕參加圍棋：〔86－10〕÷2=42〔人〕參加象棋：38+10=48〔人〕答：參加象棋比賽的有48人，參加圍棋比賽的有38人?！?〕重小孩：〔69+15〕÷2=42〔千克〕輕小孩：42－15=27〔千克〕答：較重的小孩有42千克，較輕的小孩有27千克?！?〕5500÷50=110〔元〕椅子：〔110－20〕÷2=45〔元〕桌子：110－45=65〔元〕答：每張桌子65元，每把椅子45元?！?〕80÷10=8〔噸〕

小卡車：〔8－2〕÷2=3〔噸〕大卡車：8－3=5〔噸〕答：每輛大卡車一次運(yùn)5噸。

〔5〕數(shù)學(xué)：〔98×2+4〕÷2=100〔分〕語文：100－4=96〔分〕答：語文得了96分，數(shù)學(xué)得了100分?！?〕較大的雙數(shù)：〔106+2〕÷2=54較小的雙數(shù)：54－2=52答：這兩個(gè)連續(xù)的雙數(shù)是52、54?！?〕13+6=19〔米〕第二根長：〔65－19〕÷2=23〔米〕第一根長：23+19=42〔米〕答：第一根長42米，第二根長23米。〔8〕被減數(shù)=減數(shù)+差，所以被減數(shù)+減數(shù)+差=被減數(shù)×2=40被減數(shù)=40÷2=20答：被減數(shù)是20。[挑戰(zhàn)自我]〔9〕父的年齡：〔42+20〕÷2=31〔歲〕兒的年齡：42－31=11〔歲〕答：父親現(xiàn)在的年齡是31歲，兒子現(xiàn)在的年齡是11歲。〔10〕乙桶：〔86－8〕÷2=39〔千克〕甲桶：86－39=47〔千克〕答：甲桶有油47千克，乙桶有油39千克?！?1〕第一車間的人數(shù)比第二車間的人數(shù)多：8×2+2=18〔人〕，第二車間：〔48－18〕÷2=15〔人〕第一車間：48－15=33〔人〕答：第一車間原來有33人，第二車間原來有15人?！?2〕原來第一塊比第二塊多3－2+3=4〔米〕原來第二塊布的長度〔24－4〕÷2=10〔米〕原來第一塊布的長度24—10=14〔米〕答：第一塊布原有14米，第二塊布原有10米?！?3〕80－70=10〔千克〕一級(jí)茶有〔50+10〕÷2=30〔千克〕二級(jí)茶有70－20=50〔千克〕三級(jí)茶有50－30=20〔千克〕答：一級(jí)茶有30千克，二級(jí)茶有50千克，三級(jí)茶有20千克。思維訓(xùn)練專題(五)周期問題怎么解？小朋友，在日常生活和科學(xué)研究中，周期現(xiàn)象非常普遍。通常都是用有余數(shù)除法計(jì)算來解決。但關(guān)鍵是分析題意，弄清四個(gè)問題：①周期〔也就是除法算式中的除數(shù)〕是幾？②總數(shù)量〔也就是除法算式中的被除數(shù)〕是多少？③在周期中排在第一位的是誰？④周期中各個(gè)元素是按什么順序排列的？在此根底上列除法算式計(jì)算求出余數(shù)，根據(jù)余數(shù)和周期排列順序找出題目的答案。一起來試試吧！例1：有紅珠、白珠、黑珠共2004個(gè)，按5紅、3白、2黑的順序排列，白珠有幾個(gè)？第100個(gè)珠子是什么顏色？最后一個(gè)珠子是什么顏色？[解題招術(shù)]先算出循環(huán)的周期：5+3+2=10〔個(gè)〕，即這些珠子每10個(gè)一組循環(huán)出現(xiàn)。這題有3個(gè)問題，第1個(gè)問題必須在解答了第3個(gè)問題的根底上解答，因此我們要先解答后兩個(gè)問題，再解決第1個(gè)問題：①100÷10=10〔組〕所以第100個(gè)珠子排在第10組的最后一顆是黑色；②2004÷10=200〔組〕……4〔個(gè)〕所以第2004個(gè)珠子排在第201組的第4顆是紅色；③由②得，2004個(gè)珠子，每10個(gè)一組，可以排成200組，還余4個(gè)紅珠子〔前五顆都是紅柱子〕，每組有3個(gè)白珠子，共有白珠子：200×3=600〔個(gè)〕。例2：假設(shè)所有自然數(shù)按下列圖的方法排列起了，39在哪個(gè)字母下面？[解題招術(shù)]仔細(xì)觀察上圖，第一個(gè)數(shù)字是1在A的下面，到第九個(gè)數(shù)字9又重復(fù)出現(xiàn)在A的下面，每8個(gè)數(shù)字一組依次循環(huán)，因此循環(huán)周期是8。8個(gè)數(shù)字的排列順序是：①A、②B、③C、④D、⑤E、⑥D(zhuǎn)、⑦C、⑧B。39÷8=4〔組〕……7〔個(gè)〕，所以，39在字母C的下面。[小試身手]〔1〕找出下面圖形排列的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律算出第160個(gè)圖形是什么？①◆

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②☆⊙⊙△☆⊙⊙△☆⊙⊙△☆⊙⊙△……()

〔2〕李老師有1～54號(hào)卡片，依次發(fā)給小紅、王林、張華、陳麗、馬強(qiáng)5個(gè)人，第45號(hào)卡片應(yīng)發(fā)給誰？最后一張應(yīng)發(fā)給誰？〔3〕有一列數(shù)：1、3、5；1、3、5；1、3、5；┅┅，那么第63個(gè)數(shù)是()，這63個(gè)數(shù)的和是()。4〕“從小愛數(shù)學(xué)從小愛數(shù)學(xué)從小愛數(shù)學(xué)……〞依次排列，第68個(gè)字是什么？〔5〕按下面的方法擺64個(gè)三角形，有多少白色的？△▲▲△▲△△▲▲△▲△△……〔6〕把自然數(shù)按下列圖的順序排列，請(qǐng)問：“42〞排在哪個(gè)字母下面？ABCD123487659101112〔7〕紅紅在桌子上擺了一排硬幣，按一枚5分，兩枚2分和一枚1分的順序排列，共29枚硬幣。問：①最后一枚硬幣是幾分的？②3種硬幣各有幾枚？③29枚硬幣共有多少錢？〔8〕甲、乙、丙、丁4人按順序發(fā)撲克牌，當(dāng)丙拿到第8張牌時(shí)，已經(jīng)發(fā)出了幾張牌？[挑戰(zhàn)自我]〔9〕今天是星期二，從今天起，第100天是星期幾？〔10〕看下表，每列上下兩個(gè)漢字和字母組成一組。如：第一組是〔我A〕,第二組是〔們B〕。我們愛廈門我們愛廈門…ABCDEFGHAB問第82組是什么？〔11〕2×2×2×2……×2，積的個(gè)位數(shù)字是幾？100個(gè)2100個(gè)2〔12〕一列數(shù)1，2，4，7，11，16，22，29……，這列數(shù)組成的規(guī)律是第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)多1；第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)多2；第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)多3；依次類推。那么這列數(shù)左起第1992個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是〔〕?！?3〕伸出你的右手，從大拇指開始數(shù)，數(shù)到2005時(shí)，你數(shù)到哪個(gè)手指上？訓(xùn)練一得：對(duì)于周期問題，我們?cè)诮鉀Q時(shí)可以通過簡單的除法計(jì)算，在觀察中尋找周期，這樣的問題就十分具體、直觀了。附答案〔四〕：[小試身手]〔1〕①◆

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┅┅第160個(gè)是(◆)

②☆⊙⊙△☆⊙⊙△☆⊙⊙△☆⊙⊙△┅┅第160個(gè)是(△)

〔2〕45÷5=9，54÷5=10……4答：第45號(hào)卡片應(yīng)發(fā)給馬強(qiáng)，最后一張應(yīng)發(fā)給陳麗。〔3〕第63個(gè)數(shù)是(5)，這63個(gè)數(shù)的和是(189)63÷3=21〔組〕1+3+5=9，9×21=189〔4〕“從小愛數(shù)學(xué)〞是5個(gè)字循環(huán)，所以有68÷5=13……3答：第68個(gè)字是愛?！?〕64÷6=10……4；3×10+2=32〔個(gè)〕答：共有32個(gè)白色的?！?〕42÷8=5……2答：42排在字母B下面?！?〕①周期1+2+1=4，29÷4=7……1②29÷4=7……1，5分的硬幣：1×7+1=8〔枚〕2分的硬幣：2×7=14〔枚〕，1分的硬幣：1×7=7〔枚〕③5×8=40〔分〕，2×14=28〔分〕，1×7=7〔分〕40+28+7=75〔分〕答：①最后一枚硬幣是5分的。②5分硬幣有8枚，2分硬幣有14枚，1分硬幣有7枚。③29枚硬幣共有75分錢?！?〕4×7+3=31〔張〕答：當(dāng)丙拿到第8張牌時(shí)，已經(jīng)發(fā)出了31張牌。[挑戰(zhàn)自我]〔9〕99÷7=14……1答：從今天算起第100天是星期三?！?0〕82÷5=16……2，82÷8=10……2答：第82組是〔們B〕?！?1〕解：2；2×2=4；2×2×2=8；2×2×2×2=16；2×2×2×2×2=32；2×2×2×2×2×2=64……100÷4=25〔個(gè)〕答：積的個(gè)位數(shù)字是6?！?2〕1992÷5=398……2，也就是可以分成398組，還余2個(gè)數(shù)，1992個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)除以5所得的余數(shù)相同，即余數(shù)為2?！?3〕我們可以把大拇指看作A，后面的手指依次看作B、C、D、E，每數(shù)完8個(gè)數(shù)字又回到大拇指上：2005÷8=250〔組〕……5〔個(gè)〕所以數(shù)到2005是數(shù)到小指上。思維訓(xùn)練專題(五)如何巧妙求周長？我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了求長方形、正方形這些標(biāo)準(zhǔn)圖形的周長，那么怎樣運(yùn)用計(jì)算公式，巧妙地求一些復(fù)雜圖形的周長呢？要能正確解決這些問題，必須靈活運(yùn)用變換圖的一些常用方法：割、補(bǔ)、平移等技巧，把不規(guī)那么的比擬復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為根本的幾何圖形。小朋友們，一起來試一試吧！例1：下列圖是一個(gè)樓梯的側(cè)面圖，求此圖形的周長。[解題招術(shù)]如果把每層臺(tái)階的寬度向上移到和最上層臺(tái)階同樣高的地方，把每層臺(tái)階的高度向右移到和最下層的臺(tái)階長度一致的地方〔如下列圖〕，這樣樓梯側(cè)面圖就轉(zhuǎn)化為一個(gè)長方形，然后我們利用長方形周長計(jì)算公式求出此圖形的周長：〔2＋3〕×2=10米。例2：兩個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長方形后，周長比原來兩個(gè)正方形周長的和減少了6厘米[解題招術(shù)]根據(jù)題意，畫出下列圖。當(dāng)兩個(gè)正方形拼成一個(gè)長方形時(shí)，組成兩個(gè)正方形的8條邊就減少了2條，而兩條邊的和是6厘米，那么一條邊長就是6÷2=3厘米。所以，原來正方形的周長是：3×4=12厘米[小試身手]〔1〕一個(gè)正方形，邊長是5厘米，將9個(gè)這樣的正方形如下列圖一樣拼成一個(gè)大正方形，問：拼成的大正方形的周長是多少？〔2〕如下列圖所示，小明和小玲同時(shí)從學(xué)校到少兒書店，小明沿A路線行走，小玲沿B路線行走。如果兩人速度一樣，誰先到少兒書店？為什么？〔3〕下列圖是一個(gè)“凹〞字形的花園，求花園的周長。〔單位：米〕〔4〕下列圖是由6個(gè)邊長2厘米〔5〕一個(gè)正方形被分割成3個(gè)大小、形狀完全一樣的長方形，每個(gè)小長方形的周長都是24厘米，求這個(gè)正方形的周長?！?〕一個(gè)長方形和一個(gè)正方形，周長相等。正方形的邊長是40厘米，長方形的長是60厘米，這個(gè)長方形的寬是多少厘米？〔7〕用4個(gè)周長為17厘米的長方形拼成一個(gè)大長方形，求大長方形的周長?！?〕陰影局部是正方形，那么最大長方形的周長是多少厘米？6厘米6厘米10厘米[挑戰(zhàn)自我]〔9〕把一塊長20厘米,寬12厘米的長方形紙按右下列圖所示方法一層、二層、三層的擺下去，共要擺十層，擺好后圖形周長是()厘米?！?0〕下列圖是一個(gè)零件的平面圖,圖中每一條最短線段均長5厘米.零件長35厘米，高30厘米,這個(gè)零件周長是多少厘米?35厘米30厘米35厘米30厘米〔11〕將一張邊長為36厘米的正方形紙，剪成4個(gè)完全一樣的小正方形紙片，這4個(gè)小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？〔12〕下列圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計(jì)者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長度(單位：米)。請(qǐng)你算出它的周長?！?3〕小長方形的寬是長的一半。用四個(gè)這樣的小長方形拼成如下列圖。中間陰影局部是周長為16厘米的正方形。求拼成的大正方形的周長。訓(xùn)練一得：根本圖形的周長可以通過公式直接求出它們的周長。當(dāng)我們把幾個(gè)長方形或正方形拼成一個(gè)組合時(shí)，其周長會(huì)發(fā)生的變化。解決這類問題，一是要重視操作，即擺一擺、畫一畫；二是要善于觀察。計(jì)算一些組合圖形的周長時(shí)，我們要善于發(fā)現(xiàn)圖中的規(guī)律，分析復(fù)雜圖形中各段邊長之間的關(guān)系，從而巧妙地求出周長。附答案〔五〕：[小試身手]〔1〕大正方形的邊長：5×3=15〔厘米〕，大正方形的周長：15×4=60〔厘米〕?！?〕如果兩人速度一樣，他們同時(shí)到，因?yàn)槁烦滔嗤??！?〕〔60+30〕×2+12×2=204〔米〕〔4〕通過平移，可以得到一個(gè)長方形，長方形的長是2×3=6〔厘米〕，寬是2×2=4〔厘米〕。長方形的周長是〔6+4〕×2=20〔厘米〕答：長方形的周長是20厘米?！?〕這個(gè)正方形的邊長為：24×3÷8=9〔厘米〕正方形的周長為：9×4=36〔厘米〕答：這個(gè)正方形的周長是36厘米。〔6〕長方形長與寬的和160÷2=80〔厘米〕長方形的寬：80－60=20〔厘米〕答：這個(gè)長方形的寬是20厘米?！?〕17×2=34〔厘米〕答：大長方形的周長是34厘米。〔8〕最大長方形的長與寬的和是：10+6=16〔厘米〕最大長方形的周長：16×2=32〔厘米〕答：最大長方形的周長是32厘米。[挑戰(zhàn)自我]〔9〕觀察此圖，第一層有一個(gè)長方形，第二層有兩個(gè)長方形，第三層有三個(gè)長方形……第十層應(yīng)有十個(gè)長方形，利用平移線的方法，它可移成一個(gè)長為2010=200厘米、寬為1210=120厘米的規(guī)那么長方形，周長也不難求得了。(2010+1210)2=(200+120)2=3202=640(厘米)答:這個(gè)圖形的周長為640厘米?！?0〕把圖形按下列圖所示方向移動(dòng)，而對(duì)于零件下方的“十〞字,那么可把“十〞字上面的橫線移下來，使圖形成為一個(gè)大長方形，再看長方形里有小線段10條,而每條都長5厘米，所以題目得解。35厘米35厘米30厘米(35+30)2+510=652+50=130+50=180(厘米)答:這個(gè)圖形的周長是180厘米。〔11〕將邊長36厘米的正方形，沿豎直方向剪一刀，周長的和就比原來大正方形周長增加2個(gè)邊長；再沿水平方向剪一刀，又增加2個(gè)邊長，一共增加2×2個(gè)邊長。所以這4個(gè)小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了36×4=144厘米。〔12〕〔28＋16＋50〕×2=188(米)答：它的周長是188米?！?3〕[〔4×2〕+4]×4=48〔厘米〕答：拼成的大正方形的周長是48厘米。思維訓(xùn)練專題(七)算式也存在“謎〞嗎？小朋友，在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有一類很有趣的競(jìng)賽題，它的特點(diǎn)是在算式中，有一些數(shù)字或運(yùn)算符號(hào)“殘缺〞，要我們用聰明的頭腦根據(jù)運(yùn)算法那么，進(jìn)行判斷推理，從而把“迷〞解開。例1：下面的算式中，只有5個(gè)數(shù)字寫出，補(bǔ)上其他的數(shù)字?！?1+□7□□91□[解題招術(shù)]先觀察兩個(gè)加數(shù)與和的位數(shù)；各個(gè)數(shù)位上的數(shù)與未知數(shù)；分析哪些數(shù)位有進(jìn)位的情形。選擇這道題目的突破口：通過觀察，由十位上的3、7、1可以知道，個(gè)位向十位進(jìn)1，十位向百位進(jìn)1，選擇個(gè)位個(gè)位為突破口：個(gè)位上1+□=1□。只有1+9=10。逐次填空：百位上，□+□+1=9的可能性有幾種，7+1+1，6+2+1，……而由和是四位訴，可知應(yīng)是□+□+1=19，和的千位上是1，百位上是9+9+1=19。填數(shù)步驟：①個(gè)位②千位③百位，最后進(jìn)行檢驗(yàn)。例2：在下面式子的適當(dāng)?shù)胤教砩希?、－、×，使等式成立?2345678＝1[解題招術(shù)]這題等號(hào)左邊的數(shù)字較多，而等號(hào)右邊的得數(shù)是最小的自然數(shù)1。可以考慮在等號(hào)左邊最后一個(gè)數(shù)字8前面添“一〞號(hào)，這時(shí)等1234567－8＝1；再考慮式應(yīng)為1234567＝9；可考慮在7前面添＋號(hào)，等式應(yīng)為123456＋7＝9；用前面的方法，只要讓123456＝2，考慮12345－6＝2；這時(shí)讓12345＝8就行了，考慮1235＋5＝8。那么只需1234＝3即可，1＋2×3－4＝3。解1＋2×3－4＋5－6＋7－8＝1[小試身手]〔1〕請(qǐng)你猜一猜,每個(gè)算式中的漢字各表示幾?數(shù)學(xué)數(shù)=〔〕+學(xué)學(xué)學(xué)=〔〕100〔2〕每個(gè)算式中的漢字各表示幾?數(shù)0數(shù)=〔〕－2學(xué)學(xué)=〔〕5學(xué)好=〔〕+好176〔3〕求字母所代表的數(shù)字之和?！?〕求□所代表的數(shù)字之和。BA□□□+DC+□□□1951995〔5〕在下面算式適當(dāng)?shù)牡胤教砩霞犹?hào)，使等式成立。88888888＝1000〔6〕在兩個(gè)數(shù)之間添上適宜的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：9812=0825=37〔7〕在下面4個(gè)4中間，添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)＋、－、×、÷和〔〕，組成3個(gè)不同的算式，使得數(shù)都是2。4444＝24444＝24444＝2〔8〕豎式中的字母分別代表幾：E52A×6DCB8[挑戰(zhàn)自我]〔9〕確定式中各漢字代表的數(shù)字，使算式成立：〔10〕在批改作業(yè)時(shí)，老師發(fā)現(xiàn)小明抄題時(shí)丟了括號(hào)，但結(jié)果是正確的。請(qǐng)你給小明的算式添上括號(hào)：4＋28÷4－2×3－1＝4〔11〕在下面的數(shù)字之間添上運(yùn)算符號(hào)，使等式成立。123456789＝60〔12〕下面的算式中每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)算式成立?！?3〕下面的加法算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，求這個(gè)算式。訓(xùn)練一得：解這類問題的方法是：〔1〕要仔細(xì)審題。〔2〕找到突破口?！?〕試驗(yàn)求解。這就要求我們能靈活運(yùn)用各種計(jì)算法那么、性質(zhì)，仔細(xì)觀察算式的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題和分析問題。附答案〔七〕：[小試身手]〔1〕根據(jù)加法之間的關(guān)系，先看個(gè)位，要想等于0，可能有兩種情況:0＋0=0,5＋5=10。如果“學(xué)〞是0,十位0＋()=10呢?我們發(fā)現(xiàn)不可能得到10。那么如果“學(xué)〞是5,因?yàn)橛羞M(jìn)位,所以十位5＋()=9就可以了,可以推算出5＋4=9,再加上進(jìn)位正好是10.因此“學(xué)〞是5,“數(shù)〞是4。這個(gè)加法算式是:45＋55=100?！?〕先從加法算式想起，個(gè)位上學(xué)＋1=6,推算出“學(xué)〞表示5；十位上，5＋“好〞=7，推算出“好〞表示2，再看減法算式，減數(shù)個(gè)位上的“學(xué)〞表示5，被減數(shù)的個(gè)位是0，不夠減。這是一道退位減法題，這樣，被減數(shù)的十位上只能是8，8退1是7，7－2=5，推算出“數(shù)〞表示8。所以，數(shù)=8，學(xué)=5，好=2。〔3〕求字母所代表的數(shù)字之和。〔4〕求□所代表的數(shù)字之和。BA□□□+DC+□□□195199519+5=2419+9+5=33〔5〕解：88888＋888＝1000，余下的5個(gè)8可以拿出2個(gè)8組成88，得到888＋88＋888＝1000。因?yàn)?000－〔88＋888〕＝24，剩下的888只要再相加就行了，答案是：8＋8＋8＋88＋888＝1000?！?〕在兩個(gè)數(shù)之間添上適宜的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：9－8＋1－2=08×2+5=3×7〔7〕解：如果在第1個(gè)4后面添＋號(hào)，后3個(gè)4不能得到2；如果第1個(gè)4后面是一號(hào)，4－2＝2，很容易想到：〔4＋4〕÷4＝2。所以4－〔4＋4〕÷4＝2。如果第1個(gè)4后面是×號(hào)，4×4＝16，由于16÷8＝2。容易想到：4×4÷〔4＋4〕＝2。如果第1個(gè)4后面是÷號(hào)，4÷4＝1，由于1＋1＝2，容易得到：4÷4＋4÷4＝2?！?〕首先選擇數(shù)字a為突破口，a乘6的積的個(gè)位數(shù)字為8，a可能是3或8。當(dāng)a=3時(shí)，可得b=3、c=1、e=1、d=9;當(dāng)a=8時(shí)，可得b=6、c=1、e=1、d=9。所以[自我挑戰(zhàn)]〔9〕由于4與“克〞的積為一位數(shù)“奧〞，可推斷：奧=8，克=2。式子中又有：4×林=克奧=28，可知林=7。式子中匹×4=4，得出匹=1，克=2。〔10〕解：從左往右看，在4＋28兩側(cè)試添括號(hào)，計(jì)算得32，再除以4得8。小明的算式就變?yōu)?－2×3－1＝4。如果把括號(hào)加在8－2的兩側(cè)，計(jì)算結(jié)果大于4，只能把括號(hào)加在3－1的兩側(cè)。很容易得到：8－2×〔3－1〕＝4。正確的算式應(yīng)為：〔4＋28〕÷4－2×〔3－1〕＝4〔11〕解：把7□8□9分成一組，在它們之間添加號(hào)和減號(hào)，可得7＋8－9＝6。剩下的1□2□3□4□5□6為一組，添上運(yùn)算符號(hào)，結(jié)果要得10。再看較大的數(shù)4□5□6，可得4＋5－6＝3。于是得到1＋2×3＋4＋5－6＝10。所以正確算式為〔11＋2×3＋4×5－6〕×〔7＋8－9〕＝60?！?2〕由于被減數(shù)的千位是“祝〞，而減數(shù)與差的千位是0，所以“祝=1〞至少是“祝你好〞的10倍，所以“好啊好〞至少是“祝你好〞的9倍，于是，“好〞=9。再從個(gè)位數(shù)字看出“啊〞=8，從十位數(shù)字看出“你〞=0。〔13〕此字母間的特點(diǎn)有：1、由個(gè)位Y＋0＝Y(jié)，那么N+N＝0或10。2、由十位T＋0＝T，那么E+E+進(jìn)位＝10或0，進(jìn)位為0或1。3、由千位O、I不同百位要向千位進(jìn)位。4、由萬位F、S不同千位要向萬位進(jìn)位。因?yàn)樘攸c(diǎn)2，所以個(gè)位沒有進(jìn)位，那么N＝0，而E、N不同，所以E＝5。由特點(diǎn)3，4，且百位最多進(jìn)2，I最小為1，所以O(shè)＝9，I＝1。由特點(diǎn)4，F(xiàn)＋1＝S，F(xiàn)、S可能是2，3；3，4；6，7；7，8這四組。由結(jié)論2R+T+T+1(進(jìn)位)≥22→試：T=6R≥9失敗〔O=9〕；T=7R=8X=3失敗〔F、S無法取值〕；T=8R=7X=4那么F=2S=3得解。Y只能為6，因其他數(shù)字已被使用。結(jié)果思維訓(xùn)練專題(八)什么是“植樹問題〞？小朋友，植樹問題是在一定的線路上，根據(jù)總路程、間隔長和棵數(shù)進(jìn)行植樹的問題。為使其更直觀，用圖示法來說明。樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)〞與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。線段上的植樹問題可分為以下三種情況：〔1〕如果植樹路線的兩端都要植樹，呢們植樹的棵數(shù)應(yīng)比段數(shù)多1，即：棵數(shù)=段數(shù)+1〔2〕如果一端植樹，另一端不植樹，那么棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)〔3〕如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)應(yīng)比段數(shù)少1，即：棵數(shù)=段數(shù)－12、在封閉的路線上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)例1：筆直的馬路的一邊每隔9米栽有一顆柳樹。張軍乘汽車分鐘空看到501棵數(shù)，問汽車每小時(shí)行多少千米？[解題招術(shù)]：先看這個(gè)題屬于植樹問題的類型，然后想根本圖形。顯然是不封閉路線兩端都植樹的類型。全長=棵距×〔棵數(shù)-1〕解：9×〔501-1〕=4500〔米〕

〔五分鐘汽車走了4500米〕

4500÷5=900(米)例2：有一個(gè)正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四角各有樹一棵，問共有多少棵數(shù)？[解題招術(shù)]：對(duì)于這類正方形封閉問題我們可以有幾種方法來解，主要就是要注意四角都有樹。方法一：拆段法

將正四邊形拆成四個(gè)邊長且棵數(shù)相等的四段，那么每段的棵數(shù)是17-1=16〔棵〕，因此，就有16×4=64〔棵〕方法二：直接應(yīng)用公式法

這里就需要注意的是題目中給出每邊的棵數(shù)由于有重合，所以不能直接乘四，也就是說棵數(shù)是不老實(shí)的，那么由于公式是：棵數(shù)=段數(shù)，段數(shù)不會(huì)有重合，所以我們直接看每段的段數(shù)是多少就可以了：段數(shù)=棵數(shù)-1=17-1=16，所以每邊是16段，16×4=64，即總共有64棵。方法三：去角樹法我們可以將四角的樹都去掉最后再加上，那么每段的棵數(shù)是17-2=15〔棵〕

15×4=60

60+4=64〔棵〕[小試身手]〔1〕一個(gè)圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹，問：共需樹苗多少株？〔2〕一個(gè)小朋友以相同的速度在路上行走，從第一棵樹走到第十七棵樹需要16分鐘。如果這個(gè)小朋友走了30分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？〔3〕一座樓房每上1層要走16級(jí)臺(tái)階，到小英家要走64級(jí)臺(tái)階，小英家住在幾樓？〔4〕有一個(gè)等邊三角形的花壇，邊長20米。每個(gè)頂點(diǎn)都要栽一棵月季花，每相隔2米再栽一棵月季花，花壇一周能栽多少棵月季花？〔5〕在一段公路的一邊栽95棵樹，兩頭都栽，每兩棵樹之間相距5米，這段公路全長多少米？〔6〕從1樓走到4樓共要走48級(jí)臺(tái)階，如果每上一層樓的臺(tái)階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級(jí)臺(tái)階？〔7〕有320盆菊花，排成8行，每行中相鄰兩盆菊花之間相距1米，每行菊花長多少米？〔8〕有一條2000米的公路，在路兩邊每相隔50米埋設(shè)一根路燈桿，從頭到尾需要埋設(shè)路燈桿多少根？[挑戰(zhàn)自我]：〔9〕某大學(xué)從校門口的門柱到教學(xué)樓墻根，有一條1000米的甬路，每邊相隔8米栽一棵白楊，可以栽白楊多少棵？〔10〕掛鐘6點(diǎn)鐘敲6下，10秒敲完，那么9點(diǎn)鐘敲9下，幾秒敲完?〔11〕在一條長250米的路兩旁栽樹，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽了102棵，每兩棵相鄰的樹之間的距離都相等，你知道是多少米嗎？〔12〕張大伯在承包的正方形池塘四周種上樹，池塘邊長為60米，每隔5米種一棵，四個(gè)角上各種一棵，張大伯買了50棵樹苗夠嗎？〔13〕有一個(gè)正方形水池，外沿邊長40米。沿著外沿圍一圈鐵欄桿，每個(gè)角上都要埋一根豎鐵管，每相隔2米再埋一根豎鐵管，可埋豎鐵管多少根？(請(qǐng)用不同的方法解答)訓(xùn)練一得：解答植樹問題的關(guān)鍵是要弄清總距離、間隔長和棵數(shù)之間的關(guān)系。要先考慮植樹的方式，一般在不封閉的路線上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長。生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解決。這時(shí)解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件和問題與植樹問題中的“總距離〞、“間隔長〞和“棵數(shù)〞對(duì)應(yīng)起來。附答案〔八〕：[小試身手]：〔1〕由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù)，150÷3=50〔棵〕。〔2〕31?！?〕解：到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：64÷16=4〔層〕，小英家住在：4＋1=5〔樓〕

答：小英家住在樓的第5層?！?〕30棵。20×3÷2=30〔棵〕〔5〕〔95-1〕×5=470米〔6〕解：每一層樓梯的臺(tái)階數(shù)為：48÷〔4-1〕=16〔級(jí)〕，從1樓到6樓共走：6-1=5〔個(gè)〕樓梯，從1樓到6樓共走：16×5=80〔級(jí)〕臺(tái)階?！?〕320÷8÷1－1=39米〔8〕41根。2000÷50＋1=41〔根〕[挑戰(zhàn)自我]：〔9〕248棵?！?000÷8-1〕×2=124×2=248〔棵〕〔10〕解：每個(gè)間隔需要：6÷〔3-1〕=3〔秒〕，12點(diǎn)鐘敲12下，需要3×〔12-1〕=33〔秒〕

答：33秒鐘敲完?！?1〕250÷〔102÷2-1〕=5米〔12〕60÷5×4=48，夠〔13〕80根。解法1：40×4÷2=160÷2=80〔根〕解法2：〔40÷2+1〕×2+〔40÷2-1〕×2=21×2＋19×2=42＋38=80〔根〕解法3：〔40×2÷2＋1〕+〔40×2÷2-1〕=41＋39=80〔根〕思維訓(xùn)練專題(九)簡單枚舉小朋友，枚舉是一種常見的分析問題、解決問題的方法。一般地，要根據(jù)問題要求，一一列舉問題解答。運(yùn)用枚舉法解應(yīng)用題時(shí)，必須注意無重復(fù)、無遺漏，因此必須有次序、有規(guī)律地進(jìn)行枚舉。例1：從小華家到學(xué)校有3條路可走，從學(xué)校到文峰公園有4條路可走。從小華家到文峰公園，有幾種不同的走法？[解題招術(shù)]：我們把小華的不同走法一一列舉如下：根據(jù)列舉可知，從小明家經(jīng)學(xué)校到文峰公園，走①路有4種不同走法，走②路有4種不同走法，走③路也有4種不同走法，共有4×3=12種不同走法。例2：一個(gè)長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數(shù)，那么這個(gè)長方形的面積有多少種可能？[解題招術(shù)]：由于長方形的周長是22米，可知它的長與寬之和為11米。下面列舉出符合這個(gè)條件的各種長方形：[小試身手]〔1〕從甲地到乙地，有3條公路直達(dá)，從乙地到丙地有2條鐵路直達(dá)。從甲地到丙地有多少種不同走法？〔2〕用數(shù)字1、2、3，可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分別是哪幾個(gè)數(shù)？〔3〕一個(gè)長方形的周長是30厘米，如果它的長和寬都是整厘米數(shù)，那么這個(gè)長方形的面積有多少種可能值？〔4〕6個(gè)小隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每兩隊(duì)比賽一場(chǎng)，共要進(jìn)行多少次比賽？〔5〕上海、北京、天津三個(gè)城市分別設(shè)有一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，它們之間通航一共需要多少種不同的機(jī)票？〔6〕一條公路上，共有8個(gè)站點(diǎn)。如果每個(gè)起點(diǎn)到終點(diǎn)只用一種車票〔中間至少相隔3個(gè)車站〕，那么共有多少種不同的車票？〔7〕明明有2件不同的上衣，3條不同的褲子，4雙不同的鞋子。最多可搭配成多少種不同的裝束？〔8〕有4位小朋友，寒假中互相通一次，他們一共打了多少次？[挑戰(zhàn)自我]〔9〕用2、3、5、7四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？〔10〕把15個(gè)玻璃球分成數(shù)量不同的4堆，共有多少種不同的分法？〔11〕3個(gè)自然數(shù)的乘積是18，問由這樣的3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)組有多少個(gè)？如〔1，2，9〕就是其中的一個(gè)，而且數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作同一數(shù)組，如〔1，2，9〕和〔2，9，1〕是同一數(shù)組。〔12〕小芳出席由19人參加的聯(lián)歡會(huì)，散會(huì)后，每兩人都要握一次手，他們一共握了多少次手？〔13〕在長江的某一航線上共有6個(gè)碼頭，如果每個(gè)起點(diǎn)終點(diǎn)只許用一種船票〔中間至少要相隔2個(gè)碼頭〕，那么這樣的船票共有多少種？訓(xùn)練一得：運(yùn)用枚舉法解題的關(guān)鍵是要正確分類，要注意以下兩點(diǎn)：一是分類要全，不能造成遺漏；二是枚舉要清，要將每一個(gè)符合條件的對(duì)象都列舉出來。附答案(九)：[小試身手](1)3×2=6(種)(2)6個(gè)。分別是：123、132、213、231、312、321?！?〕30÷2=15〔厘米〕……長+寬

15=1+14=2+13=3+12=4+11=5+10=6+9=7+8

組成的面積分別是：14、26、36、44、50、54、56，共7種?！?〕將6個(gè)小隊(duì)分別編號(hào)為：①、②、③、④、⑤、⑥。

可以比賽的場(chǎng)次：

①②、①③、①④、①⑤、①⑥，有5場(chǎng)；

②③、②④、②⑤、②⑥，有4場(chǎng)；

③④、③⑤、③⑥；有3場(chǎng)；

④⑤、④⑥，有2場(chǎng)；

⑤⑥，有1場(chǎng)；

共計(jì)有：5+4+3+2+1=15〔場(chǎng)〕?！?〕機(jī)票種類：上?！本?、上海——天津、北京——天津、天津——上海、天津——北京、北京——上海，共6種?！?〕按要求可以有票的種類是：

①⑤、①⑥、①⑦、①⑧、②⑥、②⑦、②⑧、③⑦、③⑧、④⑧；

⑧④、⑧③、⑧②、⑧①、⑦③、⑦②、⑦①、⑥②、⑥①、⑤①。

〔4+3+2+1〕×2=20〔種〕〔7〕2×3×4=24〔種〕答：最多可搭配成24種不同的裝束?！?〕把4個(gè)小朋友分別編號(hào)：A、B、C、D，A與其他小朋友打，應(yīng)該打3次，同樣B小朋友也應(yīng)打3次，同樣C、D應(yīng)該各打3次。4個(gè)小朋友，共打了3×4=12次。但題目要求兩個(gè)小朋友之間只要通一次，那么A打給B時(shí)，A、B兩人已經(jīng)通過話了，所以B沒有必要再打給A，照這樣計(jì)算，12次中，有一半是重復(fù)計(jì)算的，所以實(shí)際打的次數(shù)是3×4÷2=6次。[挑戰(zhàn)自我]〔9〕24〔種〕分別是：2357、2375、2537、2573、2735、2753；

3257、1275、3527、3572、3725、3752；

5237、5273、5327、5372、5723、5732；

7235、7253、7325、7352、7523、7532?！?0〕15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6。共有5種不同的分法。〔11〕18=1×2×3×3。1、2、3、3這四個(gè)數(shù)可以組成的數(shù)有：1、2、3、6、9、18.。

按要求可以組成的數(shù)組有：〔1，1，18〕、〔1，2，9〕、〔1，3，6〕、〔2，3，3〕〔12〕18+17+16+……+3+2+1=〔18+1〕×18÷2171〔次〕答：他們一共握了171次手?！?3〕按照要求可以有：

①④、①⑤、①⑥、②⑤、②⑥、③⑥；

⑥③、⑥②、⑥①、⑤②、⑤①、④①。

〔3+2+1〕×2=12〔種〕思維訓(xùn)練專題(十)綜合練習(xí)一、算一算：1、想一想，該怎樣計(jì)算方便？①21＋22＋23＋24＋…＋50②72＋75＋78＋81＋84③9995＋9996＋9997＋9998＋