sinx的3次方的積分

sinx的3次方的積分為了簡化敘述，以下統(tǒng)一使用代號sy、cy、ty、st、ct、tt，分別表示sin(x)、cos(x)、tan(x)、sec(x)、csc(x)、cot(x)。

我們將開始討論sin(x)的三次方的積分。

首先，我們可以使用換元法求解這個(gè)積分。令u=1-sy，則du=-cydx。通過這個(gè)轉(zhuǎn)換，我們可以將積分從sin(x)轉(zhuǎn)換為u。接下來，我們需要將sin(x)轉(zhuǎn)換為u。

利用sin^2(x)+cos^2(x)=1的關(guān)系，可以得到cos^2(x)=1-sin^2(x)。我們可以進(jìn)一步將這個(gè)等式改寫為cos^2(x)=cy^2，然后再除以cy^2，得到cy^2=1/cy^2-1。因此，我們可以將cos^2(x)表示為1/cy^2-1。接下來，我們可以將sin(x)表示為：

sy=sqrt(1-cos^2(x))

=sqrt(1-(1/cy^2-1))

=sqrt(1-1/cy^2)

=sqrt((cy^2-1)/cy^2)

=sqrt((1-sy^2)/cy^2)

=st/ct

現(xiàn)在，我們可以使用換元法將sin(x)的三次方的積分轉(zhuǎn)換為u的積分。注意到，du=-cydx，我們可以得到dx=-du/cy，并將sin(x)^3表達(dá)式用u和t替代，得到：

∫sy^3dx=∫(sy^2*sy)dx

=∫((1-cos^2(x))*sy)dx

=∫((1-1/cy^2)*st/ct)(-du/cy)

=-∫(st/ct)du/cy^3

現(xiàn)在，我們需要考慮如何處理∫(st/ct)du/cy^3這個(gè)積分。我們可以將其中的st和ct轉(zhuǎn)換為u的形式。通過tan(x)的定義可以得到st=sy/cy，以及ct=1/ty，代入后我們得：

∫st/(-cy*ct)du/cy^3

=∫(sy/cy)/(-cy*(1/ty))du/cy^3

=-∫sy/(cy^2*ty)du/cy^3

現(xiàn)在，我們需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)換ty的形式。通過ty=1/cy，我們可以得到ty=1/(sqrt(1-sy^2))，代入后有：

-∫sy/(cy^2*(1/(sqrt(1-sy^2))))du/cy^3

=-∫sy/((1/(sqrt(1-sy^2)))*cy^2)du/cy^3

=-∫sy*(sqrt(1-sy^2)/cy^2)du/cy^3

接下來，我們需要考慮如何簡化積分表達(dá)式中的sy和cy。通過sy=st/ct和cy=1/ty，我們可以將它們表達(dá)為：

sy=st/ct=(sy/cy)/(1/ty)

cy=1/ty=(1/(sqrt(1-sy^2)))

代入后有：

-∫st/ct*(sqrt(1-(st/ct)^2))*(1/cy^2)du/cy^3

=-∫(st/ct)*(sqrt(1-(st/ct)^2))*(cy^2/cy^3)du

=-∫(st/ct)*(sqrt(1-(st/ct)^2))/cydu

現(xiàn)在，我們可以觀察出一個(gè)新的換元公式，令v=(st/ct)，則du=dv/(1+v^2)，我們可以將積分的表達(dá)式進(jìn)一步簡化為：

-∫(v*sqrt(1-v^2))/cydu

最后，我們需要重新考慮換元中的u和v的關(guān)系。根據(jù)我們之前的設(shè)定，u=1-sy，即u=1-(st/ct)。

綜上所述，sin(x)的三次方的積分表達(dá)式為：

-∫(v*sqrt(1-v^2))/cydu

其中v=(st/ct)=(sin(x)/cos(x))，u=1-