【數(shù)學(xué)】四川省南充市2024屆高三一模試題（文）（解析版）

成就未來(lái)，新教育伴你成長(zhǎng)聯(lián)系電話：400-186-9786四川省南充市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（文）一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.2.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：.4.已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】根據(jù)線面平行的判定定理知,若,則,故充分性成立；若,則直線m,n有可能平行或者異面,故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知全集，集合，，則能表示A，B，U關(guān)系的圖是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，即，由，得，即，則，又，，故選項(xiàng)C正確.故選：C.6.某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對(duì)2023年1月到5月該商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表．發(fā)現(xiàn)銷售量y（萬(wàn)件）與時(shí)間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）時(shí)間x（月）12345銷售量y（萬(wàn)件）11.62.0a3A.由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬(wàn)件B.表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為C.D.由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)【答案】A【解析】依題意，，而y與x的回歸直線方程為：，則，解得，，表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，BC正確；由，得y和x成正相關(guān)，D正確；2024年1月份，即，由回歸直線方程，得，因此2024年1月份該地區(qū)的銷售量約為6.8萬(wàn)件，A錯(cuò)誤.故選：A.7.滿足約束條件的平面區(qū)域的面積為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】作出該約束條件的可行域，如圖所示：由得，由得，由得，以為底，到的距離為高計(jì)算面積，，，所以面積.故選：.8.已知為第二象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由二倍角公式得，即，因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，，故，因?yàn)?，所以，解得（正值舍去?故選：A.9.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C.9 D.18【答案】B【解析】由題知連接，，，如圖所示因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.10.如圖1是函數(shù)的部分圖象，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭坪蜕炜s變換后，得到圖2中的部分圖象，則（）圖1圖2A. B.的解集為，C. D.方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解【答案】B【解析】由圖知，的圖象可看作將的圖象先向右平移一個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到的，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，要使，則，解得，故B正確；對(duì)于C，的最小正周期為，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在單調(diào)遞減，且的圖象過(guò)點(diǎn)和，函數(shù)與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：B.11.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，若，則（）A. B. C.14 D.15【答案】C【解析】依題意，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，則，在中，，即有，解得，則，即是等腰三角形，.故選：C.12.已知函數(shù)（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），下列關(guān)于，的說(shuō)法正確的有（）個(gè).①②③A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，即，是方程的兩個(gè)不同的根，令，，易知，，在單調(diào)遞增，時(shí)，，時(shí)，，，，，，對(duì)于①，兩式作差得，，整理得，，，即，故①正確；對(duì)于②，，且，，，即，，故②正確；對(duì)于③，，，兩式相加得，，整理得，，即，，即，令，則，整理得，即，時(shí)，，時(shí)，，，即，故③正確.故選：D.二、填空題13.等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則________．【答案】9【解析】設(shè)公差為，由題意得，因?yàn)?，所以，?故答案為：9.14.已知函數(shù)為上奇函數(shù)，且，則________．【答案】【解析】由題意，在中，，∵為上的奇函數(shù)，∴，故答案為：.15.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為和，若存在一個(gè)球同時(shí)與該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，則該圓臺(tái)的體積為________．附：圓臺(tái)體積公式為：【答案】【解析】圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球與母線切于點(diǎn)，則，所以，過(guò)點(diǎn)作于，則，所以，所以圓臺(tái)的體積為，故答案為：.16.如圖，在中，，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，且，，則________．【答案】【解析】設(shè)，為內(nèi)的一點(diǎn)，，，，，，，在中，，即，整理得，，，，，兩邊同時(shí)除以得，，即，，即.故答案為：.三、解答題（一）必考題：17.已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比，且是和的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前2023項(xiàng)和．解：（1）數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，是和的等差中項(xiàng)，，即，，，，解得或（舍），；（2），，的前2023項(xiàng)和.18.2023年秋季，支原體肺炎在我國(guó)各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人，某市醫(yī)院傳染病科在該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人的情況，并將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計(jì)未感染支原體肺炎6080140感染支原體肺炎402060合計(jì)100100200（1）是否有99.5%的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān)？（2）現(xiàn)從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽出2人作為醫(yī)學(xué)研究對(duì)象并免費(fèi)治療，求2個(gè)人中恰有1個(gè)人患有慢性疾病的概率．附表：50.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：（其中）解：（1）根據(jù)題意得：.有的把握認(rèn)為該地區(qū)70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).（2）從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，沒有慢性疾病有2人，設(shè)有慢性疾病的4人編號(hào)為，沒有慢性疾病的2人編號(hào)為，從中任取2人有：共15種情況，2個(gè)人中恰有1個(gè)人患有慢性疾病的有共8種情況，由古典概型的概率公式可得：2個(gè)人中恰有1個(gè)人患有慢性疾病的概率為.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，且直線與所成角為，求點(diǎn)E到平面的距離．（1）證明：取BD中點(diǎn)為F，連接AF，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平?（2）解：因?yàn)?，且直線與所成角為，，所以，中，，，以C為原點(diǎn)，分別為x，y軸的正方向，過(guò)點(diǎn)C作垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，，平面，所以平面，則，得，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取得，所以點(diǎn)E到平面的距離.20.設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且．（1）解：，，故，故在處的切線方程為，令得，，令得，，故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.（2）證明：的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，，令，則，故當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在性定理可得，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可得，存在使得，即在有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為，又，，由零點(diǎn)存在性定理可得，存在使得，故函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為，綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且，由于，故，則，故，則，故也是的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合只有兩個(gè)零點(diǎn)，故，即.21.如圖，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．（1）求四邊形的內(nèi)切圓的方程；（2）設(shè)，連結(jié)，并延長(zhǎng)分別交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為．則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）連接,則四邊形為邊長(zhǎng)為菱形，由對(duì)稱性可知，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，則與四邊形的各個(gè)邊相切，且圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由于，則由等面積法可得，故，故圓的方程為：.（2）設(shè),則，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即，將代入上式可得，化簡(jiǎn)得，所以，所以，，故，同理可得,所以由于直線方程為，所以，故，故存在，使得（二）選考題22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），把繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系．（1）寫出，的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線的極坐標(biāo)方程為，且與交于點(diǎn)A，與交于點(diǎn)B（A，B與點(diǎn)O不重合），求面積的最大值．解：（1）直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），故，則，即；故的極坐標(biāo)方程為：.把繞坐標(biāo)原