8-4 圓錐曲線的綜合問題 題型4 定點問題講義-2024屆高三數(shù)學二輪專題復習

考點8.4圓錐曲線的綜合問題題型4定點問題聯(lián)想：聯(lián)想：兩個點的坐標聯(lián)想：聯(lián)想：直角三角形面積公式已知橢圓的上頂點為，右頂點為，解讀：a,c的關(guān)系其中的面積為1（為原點），橢圓離心率為解讀：a,c的關(guān)系(1)求橢圓的方程；(2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，且，推理：數(shù)量積為推理：數(shù)量積為0或者兩條直線的斜率乘積為-1拆題（1）面積為1面積為1橢圓的方程為，橢圓的方程為，，,,（2）解法一：聯(lián)立由已知，直線聯(lián)立由已知，直線的斜率存在時設(shè)的方程為設(shè)，，設(shè)，，直線過定點．直線過定點．的方程為橢圓的方程為橢圓的方程為變形得：平移軸，建立以變形得：平移軸，建立以為原點的直角坐標系設(shè)直線設(shè)直線方程為由由設(shè)設(shè)，，原坐標系下直線過定點原坐標系下直線過定點.直線過定點【解析】（1）由已知得：，，又，解得：，，故橢圓的方程為.（2）證明：當直線的斜率不存在時，不滿足的條件．當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去整理得：，，得①設(shè)，，則，②由，得，又，，所以③由②③得，化簡得，解得（舍），滿足①此時的方程為，故直線過定點．（2）平移軸，建立以為原點的直角坐標系，如圖3所示在直角坐標系下：已知，設(shè)設(shè)直線方程為易知橢圓的方程為變形得：由聯(lián)立得：化簡變形得：，即，，即直線過定點故在原坐標系下直線過定點.方法總結(jié)：平移齊次解決定點問題一、平移齊次法概念在圓錐曲線的綜合問題中,如果一條直線l與曲線交于A,B兩點﹐點是曲線上一點，且或為定值,則直線l必過定點.在求該定點.如圖﹐需要將坐標原點平移至點P處,在新坐標系下求解,這種先平移坐標系﹐再構(gòu)建齊次關(guān)系,最后用韋達定理表示斜率關(guān)系的方法,叫做平移齊次法.二、平移齊次解決定點問題的步驟如下.(1)將坐標系平移到以點為原點處;(2)在新坐標系下寫出曲線與直線的方程:曲線，直線；(3)將曲線方程作齊次化處理,并寫成關(guān)于的二次方程的形式:;(4)設(shè)，，用韋達定理表示斜率和或斜率積:;(5)得到直線在新坐標系中過的定點；(6)將定點轉(zhuǎn)化為原坐標系中的點.子題變式1．（難度★★）已知橢圓的上頂點為為橢圓上異于A的兩點，且，則直線過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的方程為，，則由整理得，所以，，因為，，，所以解得或，當時，直線的方程為，直線過點.而，而不在同一直線上，不合題意；當時，直線的方程為，直線過，符合題意.有直線的點斜式方程：可以得出直線恒過點.故轉(zhuǎn)化為，故直線恒過.故選D.2．（創(chuàng)新題）（難度★★）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應用.直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，設(shè)直線交拋物線于，兩點，若，恰好是的“勾”“股”（為坐標原點），則此直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的方程為，，，由得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，若，恰好是的“勾”“股”（為坐標原點），可得，所以，即，所以，，所以，即，解得或（舍）由已知直線不會過原點，故.所以直線的方程為，恒過點，故選D.3．（難度★★★）點，是曲線C：的左右焦點，過作互相垂直的兩條直線分別與曲線交于A，B和C，D；線段AB，CD的中點分別為M，N，直線與x軸垂直且點G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點，則圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當直線斜率均存在時，令且，則當直線斜率均存在故，有因為兩條直線分別與曲線交于A，B和C，D；，故兩條直線不能與漸近線平行，所以.，聯(lián)立與曲線C并整理得：，且，則，所以，故，聯(lián)立與曲線C并整理得：，同理，，，可得，直線，故過定點，當直線中一條的斜率不存在時，令，則，所以，，故過，而，要使以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點，且圓面積最小，若圓的半徑為，只需恒成立，故圓最小面積為.故選B.4．（挑戰(zhàn)題）（難度★★）（多選題）（2023·浙江·校聯(lián)考三模）設(shè)橢圓，，為橢圓上一點，，點關(guān)于軸對稱，直線分別與軸交于兩點，則（

）A．的最大值為B．直線的斜率乘積為定值C．若軸上存在點，使得，則的坐標為或D．直線過定點【答案】BCD【解析】對于A，在橢圓上，，，，由題意知：，的對稱軸為，若，即時，，一元二次函數(shù)的最值公式.；當，即時，；綜上所述：A錯誤；對于B，關(guān)于軸對稱，，，，，B正確；對于C，假設(shè)存在點，;lzbnm,使得，，則∽，；qwd，直線，，，，即或，C正確；對于D，，，，直線，即，直線過定點，D正確.故選BCD．5．（挑戰(zhàn)題）（難度★★）（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知、為拋物線上兩點，以，為切點的拋物線的兩條切線交于點，設(shè)以，為切點的拋物線的切線斜率為，，過，的直線斜率為，則以下結(jié)論正確的有（

）A．，，成等差數(shù)列；B．若點的橫坐標為，則；C．若點在拋物線的準線上，則不是直角三角形；D．若點在直線上，則直線恒過定點；【答案】AD【解析】設(shè)，，由，得，故，，所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，設(shè)點坐標為，所以，，從而為方程的兩根，故，，，故，，成等差數(shù)列，A正確；等差數(shù)列的等差中項定義：，所以故，，成等差數(shù)列.若，則，B不正確；若點在拋物線的準線上，則，，故兩切線垂直，則為直角三角形，C不正確；若點在直線上，則，直線的方程為，即，由于，故直線的方程為，即，從而過定點，故D正確.故選AD.將直線化為，故直線恒過定點.6.（難度★★）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.【解析】（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得，由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x