初中數(shù)學(xué)北師大九年級上冊特殊平行四邊形九年級上冊數(shù)學(xué)教案

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)菱形的性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解菱形的概念，掌握菱形的性質(zhì).

2.培養(yǎng)學(xué)生主動探究的習(xí)慣、嚴(yán)密的思維意識和審美意識.

3.經(jīng)歷探索菱形的性質(zhì)和基本概念的過程，在操作、觀察、分析過程中發(fā)展學(xué)生思維意識，體會幾何說理的基

本方法.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

理解并掌握菱形的性質(zhì).

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

形成推理的能力.

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.平行四邊形的一組對邊平行且相等.

2.平行四邊形的對角相等.

3.平行四邊形的對角線互相平分.

二、自學(xué)互研生成能力

先閱讀教材P2—3頁的內(nèi)容，然后完成下面的問題：

1.菱形的定義是什么？

答：菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2.菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)嗎？

答：菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).

1.教師拿出平行四邊形木框（可活動的），操作給學(xué)生看，讓學(xué)生體會到：平移平行四邊形的一條邊，使它與相

鄰的一條邊相等，可以得到一個(gè)菱形，說明菱形也是特殊的平行四邊形，因此，菱形也具有平行四邊形的所有性

質(zhì).

2.如圖：將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，再打開.

思考：⑴這是一個(gè)什么樣的圖形呢？

⑵有兒條對稱軸？

⑶對稱軸之間有什么位置關(guān)系？

⑷菱形中有哪些相等的線段？

師生結(jié)論：（1）菱形；（2）菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱形對角線所在的直線；（3）兩條對稱軸互相垂直；

⑷菱形的四條邊相等.

3.歸納結(jié)論：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，另外，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直.

解答下列各題：

1.已知菱形ABCD的邊長為3cm,則該菱形的周長為_12_cm.

2.如圖，已知菱形ABCD的周長為20cm,/A=60°,則對角線BD=_5_cm.

典例講解：

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,ZBAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的

長.

解：：四邊形ABCD是菱形，；.AB=AD（菱形的四條邊都相等），AC_LBD（菱形的對角線互相垂直），OB=OD=BD

=X6=3（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABC中，???NBAD=60°,...△ABD是等邊三角形，，AB=BD

=6.在Rt/XAOB中，由勾股定理得OA2+OB2=AB2,；.0A=3,AC=2OA=6.

對應(yīng)練習(xí)：

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)。.已知AB=5cm,A0=4cm.求BD的長.

解：：四邊形ABCD是菱形，（菱形的對角線互相垂直）.在RtZ\AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=

AB2,；.B0=3.；四邊形ABCD是菱形，.?.BD=2BO=2><3=6（菱形的對角線互相平分）.

三、交流展示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)“生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小組的小黑板上.并

將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生成新知”.

知識模塊一探索菱形的性質(zhì)

知識模塊二菱形性質(zhì)的應(yīng)用

四、檢測反饋達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

L收獲：

2.存在困惑：______________________________________________

第2課時(shí)菱形的判定

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解并掌握菱形的定義及兩種判定方法.

2.會用這些判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

3.經(jīng)歷探索菱形判定條件的過程，領(lǐng)會菱形的概念以及判定方法，發(fā)展學(xué)生主動探究的思想

并了解說理的基本方法.

4.培養(yǎng)良好的探究意識以及推理能力，感悟其應(yīng)用價(jià)值；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、動手能力及

邏輯思維能力.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

菱形的兩個(gè)判定方法.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

判定方法的證明及運(yùn)用.

一、情景尋入生成問題

1.菱形的定義：有一組鄰邊祖篁的平行四邊形叫做菱形.

2.菱形的性質(zhì)：

性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等;

性質(zhì)2：菱形的對角線互相垂直.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索菱形的判定方法

先閱讀教材P5-6頁內(nèi)容，然后完成下面的問題。

運(yùn)用菱形的定義進(jìn)行菱形的判定，應(yīng)具備幾個(gè)條件？

答：2個(gè)條件：（1）該四邊形是平行四邊形；（2）該平行四邊形有一組鄰邊相等.

1.活動1:探下列步驟畫出一個(gè)平行四邊形：

（1）畫一條線段長AC=6CTM；

（2）取AC的中點(diǎn)0,再以點(diǎn)0為中點(diǎn)畫另一條線段BD=8cm,且使BD_LAC；

（3）順次連接A、B、C、D四點(diǎn)，得到平行四邊形ABCD.

猜猜你畫的是什么四邊形？

歸納結(jié)論：菱形的判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）該四邊形是一個(gè)平行四邊形；（2）該四邊形的兩條對角線互相垂

直.

2.證明菱形的判定方法1

已知：如圖，在。ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)0,AC1BD.

求證：口ABCD是菱形.

證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，...OAnOC.又???ACLBD,，BD是線段AC的垂直平

分線..?.BA=BC".四邊形ABCD是菱形（菱形定義）.

3.活動2：畫一畫，作一條線段AC,分別以A、C為圓心，以大于AC的一半為半徑畫弧,

兩弧分別交于B、D兩點(diǎn)，依次連接A、B、C、D.

思考：四邊形ABCD是什么四邊形？你能證明嗎？

歸納結(jié)論：菱形的判定方法2:四條邊相等的四邊形是菱形.

4.證明菱形的判定方法2

已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA.

求證：四邊形ABCD是菱形.

證明：：AB=CD,AD=BC....四邊形ABCD是平行四邊形.又?；AB=BC,...四邊形ABCD

是菱形（菱形定義）.

知識模塊二菱形判定定理的應(yīng)用

解答下列各題：

1.邊長等于2cm的兩個(gè)等邊三角形拼成的四邊形一定是一個(gè)形.

2.已知四邊形ABCD滿足條件AB=BC=CD,AB〃CD,則四邊形ABCD的形狀一定是菱

整

典例講解：

己知：如圖，在口ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD、AC、BC相交于點(diǎn)E、0、

F.

求證：四邊形AECF是菱形.

證明：???四形邊ABCD是平行四邊形，，AD〃BC,，N1=N2,?；EF是AC的垂直平分線,

fZl=Z2,

/.0A=0C,在AAOE和aCOF中，10A=0C,AAOE^ACOF^^）,，AE=CF,

LZAOE=ZCOF,

???AE〃CF,.?.四邊形AECF是平行四邊形，又：AC_LEF,."AECF是菱形（對角線垂直的平行四

邊形是菱形）.

對應(yīng)練習(xí)：

如圖，^ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)0,CE〃AB交MN于點(diǎn)

E,連接AE、CD.

求證：四邊形ADCE是菱形.

證明：：MN是AC的垂直平分線.，DA=DC,OA=OC,ZAOD=ZEOC=90°,VCE/7AB,

，NDAO=NECO,.'.△ADO絲△CEO(/SN),，AD=CE....四邊形ADCE是平行四邊形.XVDA

=DC,.?.□ADCE是菱形.

三、支流展示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)”生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索菱形的判定方法

知識模塊二菱形判定定理的應(yīng)用

四、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

L收獲：_________________________________________________

2.存在困惑：_________________________________________

1.2矩形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)矩形的性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān)性質(zhì).

2.經(jīng)歷探索矩形的概念和性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生合情推理意識；掌握幾何思維方法.

3.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰σ约白灾骱献骶瘢惑w會邏輯推理的思維價(jià)值.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

掌握矩形的性質(zhì)，并學(xué)會應(yīng)用.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

理解矩形的特殊性質(zhì).

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.菱形的定義是什么？

答：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2.菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相垂直.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索矩形的性質(zhì)

先閱讀教材PUT2頁的內(nèi)容，然后完成下列的問題。

1.矩形的定義是什么？

答：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫長方形）.

2.矩形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)嗎？

答：因?yàn)榫匦问翘厥獾钠叫兴倪呅?，所以矩形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).

1.拿一個(gè)可以活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個(gè)點(diǎn)并觀察，它還是一個(gè)平行四邊形嗎？

為什么？（演示拉動過程如圖）

2.再次演示平行四邊形的移動過程，當(dāng)移動到一個(gè)角是直角時(shí)停止，讓學(xué)生觀察這是什么圖

形.

歸納結(jié)論：矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫長方形）.

3.學(xué)生觀察教師的教具，研究其變化情況后，可以發(fā)現(xiàn)：矩形是平行四邊形的特例，屬于平

行四邊形，因此它具有平行四邊形所有性質(zhì).

思考：矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？為什么？

歸納結(jié)論：矩形性質(zhì)1:矩形的四個(gè)角都是直角；矩形性質(zhì)2:矩形的對角線相等.

4.矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？

答：矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.

5.如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)0,探究A0與BD的數(shù)量關(guān)系.

歸納結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

知識模塊二矩形性質(zhì)的應(yīng)用

解答下列各題：

1.平行四邊形、矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（B）

A.對角線相等B.對角線互相平行

C.對角線平分一組對角D.對角線互相垂直

2.如圖，在放AABC中，NACB=90。，AB=10,CD是AB邊上的中線，則CD的長是（C）

A.20B.10C.5￡).|

典例講解:

己知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,ZAOB=60°,AB=4cm,求矩形對角線

的長.

解：???四邊形ABCD是矩形....AC與BD相等且互相平分....OAnOB.又NAOB=60。,

/.△OAB是等邊三角形....矩形的對角線長AC=BD=2OA=2X4=8cm.

對應(yīng)練習(xí)：

已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DF_LAE于F,若AE=BC.求證：CE=EF.

證明：?.?四邊形ABCD是矩形，，NB=90。，且AD〃BC.，N1=N2.；DF，AE,AZAFD

=90。..,.NB=NAFD.又AD=AE,/.AABE^ADFA(^S).AF=BE./.EF=EC.

三、交流便示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)”生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索矩形的性質(zhì)

知識模塊二矩形性質(zhì)的應(yīng)用

四、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)矮

1.收獲：_____________________________________________________

2.存在困惑：_____________________________________

第2課時(shí)矩形的判定

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會證明矩形的判定定理.

2.能運(yùn)用矩形的判定定理進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明.

3.能運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行比較簡單的綜合推理與證明.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

理解并掌握矩形的判定方法及證明，掌握判定的應(yīng)用.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

定理的證明方法及運(yùn)用.

一、情景尋入生成問題

1.矩形的四個(gè)角都是直魚，矩形的對角線相等.

2.菱形的判定方法有哪些？

答：定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

判定定理：（1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（2）四邊相等的四邊形是菱形.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索矩形的判定方法

先閱讀教材丹4“做一做”，完成下面的問題：

1,運(yùn)用矩形的定義進(jìn)行矩形的判定，應(yīng)具備幾個(gè)條件？

答：2個(gè)條件：（1）該四邊形是平行四邊形；（2）該平行四邊形有一個(gè)角是直角.

2.“做一做”中隨著Na的變化，兩條對角線的長度會發(fā)生怎樣的變化？

答：隨著Na的增大，較長的對角線會變短，較短的對角線會變長.

1.動手操作，拿一個(gè)可以活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個(gè)點(diǎn).

思考：（1）隨著Na的變化，兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？

（2）當(dāng)兩條對角線的長度相等時(shí)，平行四邊形有什么特征？你能證明嗎?

歸納結(jié)論：對角線相等的平行四邊形是矩形.

已知：如圖，在口ABCD中，AC>DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：口ABCD是矩形.

證明：?四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=DC,AB〃DC.又；BC=CB,AC=DB,

AABC^ADCB.ZABC=ZDCB.VAB〃DC,ZABC+ZDCB=180°.ZABC=ZDCB

=1x180°=90°./.°ABCD是矩形（矩形的定義）.

2.矩形的四個(gè)角都是直角，反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形才是矩

形呢？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流.

歸納結(jié)論：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

知識模塊二矩形判定定理的應(yīng)用

解答下列各題：

1.對角線相篁的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

2.下列說法錯(cuò)誤的是（C）

A.有一組對角互補(bǔ)的平行四邊形一定是矩形

B.兩條對角線相等的平行四邊形一定是矩形

C.對角線互相平分的四邊形一定是矩形

D.有三個(gè)角是直角的四邊形一定是矩形

典例講解：

已知：如圖，QABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.求證：四邊形EFGH是

矩形.

證明：?.,四邊形ABCD是平行四邊形，

BG平分NABC,/.ZEAB+ZABG=1x180。=90。.,ZAFB=90°,ZEFG=NAFB=90。.同理

可證NAED=NBGC=NEFG=90。....四邊形EFGH是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形).

對應(yīng)練習(xí)：

如圖，在DABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,AABO是等邊三角形，AB=4,求口ABCD

的面積.

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，，人0=夕式：，80=38?.；人0=80,.?.口ABCD是矩形(對

角線相等的平行四邊形是矩形).在RtZSABC中，AB=4cm,AC=2AO=8cm,/.BC=^82-42=

44(cm).；.S.ABCD=AB-BC=4X44=16小(cn?).

三、支流展示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)”生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索矩形的判定方法

知識模塊二矩形判定定理的應(yīng)用

8、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

1.收獲：

2.存在困惑:

1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)正方形的性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系.

2.掌握正方形的性質(zhì)，能正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

探索正方形的性質(zhì)定理.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

掌握正方形的性質(zhì)的應(yīng)用方法.

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.菱形的四條邊都相等,菱形的對角線互相垂直.

2.矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線相等.

3.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫型；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做更娶.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索正方形的性質(zhì)

閱讀教材尸20“議一議”及其上面的內(nèi)容，然后完成下面的問題：

1.正方形的定義是什么？

答：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

2.正方形是矩形嗎？是菱形嗎？

答：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形.

1.在我們的生活中除了矩形、菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？

2.展示正方形圖片，讓學(xué)生觀察它們有什么共同特征.

歸納結(jié)論：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

3.做一做：用一張長方形的紙片折出一個(gè)正方形.

4.觀察：這個(gè)正方形具有哪些性質(zhì)？

歸納結(jié)論：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等且互相垂直平分.

5.議一議：平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個(gè)圖直觀地說明嗎？

答：如圖:

知識模塊二正方形性質(zhì)的應(yīng)用

解答下列各題：

1.正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是(B)

A.四個(gè)角都是直角B.一條對角線平分一組對角

C.對角線相等D.對邊互相平行

2.下列性質(zhì)，正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是維⑦(填序號)①四邊相等；②對角線互相

平分；③對角線相等；④對角線互相垂直；⑤四個(gè)角都是直角；⑥每一條對角線平分一組對角；⑦

有4條對稱軸.

典例講解：

如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG±EF,垂足為G,且AG=AB,求

NEAF的度數(shù).

分析：根據(jù)直角三角形全等的判定定理，可得出△ABFgZ\AGF,故有NBAF=NGAF,再證

明△AGE^^ADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45°.

解：在A/AABF與/??AAGF中，VAB=AG,AF=AF,NB=NAGF=90。，

.'.△ABF之△AGF(/ZL),/.ZBAF=ZGAF,同理易得：△AGE^^ADE,有NGAE=NDAE；

即ZEAF=ZEAG+ZFAG=1(ZDAG+ZBAG)=|zDAB=45°,故NEAF=45°.

對應(yīng)練習(xí)：

四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE=BF,連接AE、

AF、EF.

(1)求證：AADE^AABF；

(2)填空：4ABF可以由4ADE繞旋轉(zhuǎn)中心區(qū)點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)處度得到;

(3)若BC=8,DE=6,求4AEF的面積.

解：(1)由S/S證明AADE絲AABF；(3)由勾股定理得AE=10,由(1)得AE=AF,ZDAE=

ZBAF,進(jìn)而證NEAF=90。，，4AEF的面積100=50.

三、支流展示生成新知

L將閱讀教材時(shí)”生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索正方形的性質(zhì)

知識模塊二正方形性質(zhì)的應(yīng)用

8、檢測反饋達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

1.收獲：______________________________________________

2.存在困惑：__________________________________________

第2課時(shí)正方形的判定

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握正方形的判定方法；會運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

2.理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成辨證看問題的觀點(diǎn).

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

掌握正方形的判定條件.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

合理恰當(dāng)?shù)乩锰厥馄叫兴倪呅蔚呐卸ㄟM(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.正方形的四個(gè)角都是直色，四條邊相等.

2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.

3.正方形的一條對角線長為4,則這個(gè)正方形的面積是（A）

A.8B.4啦C.8啦D.16

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索正方形的判定方法

先閱讀教材。22“議一議”，然后完成下面的問題：

1.運(yùn)用正方形的定義進(jìn)行正方形的判定，應(yīng)具備幾個(gè)條件？

答：應(yīng)具備3個(gè)條件：（1）是平行四邊形；（2）有一組鄰邊相等；（3）有一個(gè)角是直角.

2.一組鄰邊相等的矩形是正方形嗎？

答：一組鄰邊相等的矩形是正方形.

1.活動內(nèi)容：問題：將一長方形紙對折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開，怎樣剪才能剪出一個(gè)

正方形？（學(xué)生動手折疊、思考、剪切）

答：剪下一個(gè)等腰直角三角形.

2.思考：由矩形變?yōu)檎叫芜€需要哪些條件？由菱形變?yōu)檎叫芜€需要哪些條件？

歸納結(jié)論：正方形的判定定理：（1）對角線相等的菱形是正方形；（2）對角線垂直的矩形是正方

形；（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

3.教師可以課件展示下面的框架圖，復(fù)習(xí)鞏固平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系.

知識模塊二正方形判定定理的應(yīng)用

解答下列各題：

1.將一張矩形紙片對折兩次（兩條折痕互相垂直），然后剪下一個(gè)角后，打開這個(gè)角，如果要

剪出一個(gè)正方形，那么剪口線與折痕成（C）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

2.下列說法不正確的是（C）

A.對角線互相垂直的矩形是正方形

B.對角線相等的菱形是正方形

C.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

D.一組鄰邊相等的矩形是正方形

典例講解：

教材尸23—例2.

對應(yīng)練習(xí)：

已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE±AC,DF1AB,垂足分別是E、F.且BF=

CE.

（1）求證：AABC是等腰三角形；

（2）當(dāng)NA=90。時(shí)，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論.

解：（1）VDE±AC,DF±AB,/.ZBFD=ZCED=90°,又VBD=CD,BF=CE,

...□△BDF段及ACDE,，NB=NC.故4ABC是等腰三角形；（2）四邊形AFDE是正方形；證明:

VZA=90°,DE±AC,DF，AB,.?.四邊形AFDE是矩形，XV7?zABDF^/?rACDE,/.DF=DE,

二矩形AFDE是正方形.

三、交流展示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)”生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索正方形的判定方法

知識模塊二正方形判定定理的應(yīng)用

田、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

1.收獲：_______________________________________________

2.存在困惑：___________________________________________

2.1認(rèn)識一元二次方程

第1課時(shí)一元二次方程

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.探索一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠辨別各項(xiàng)系數(shù)，能夠從實(shí)際問題中抽象出方程知識.

2.在探索問題的過程中使學(xué)生感受到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)模型，體會方程與實(shí)際生活

的聯(lián)系.

3.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

一元二次方程的概念.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程.

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

2.含有未知數(shù)的等式叫做方程.

3.計(jì)算：(x+2)2=x2+4x+4；3-3)2=X2-6X+9.

4.計(jì)算：(5~~2x)(8—~2x)=4x2—26x+40.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索一元二次方程

先閱讀教材Bi“議一議”前面的內(nèi)容，然后完成下面問題：

1.在第一個(gè)問題中，地毯的長可以表示為(8—2x)m,寬可以表示為(5—2x)m,由矩形的面積

公式可以列出方程為(8—2x)(5—2x)=18.

2.在第二個(gè)問題中，如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中間的一個(gè)數(shù)為x,你又能列出怎樣的方程呢？

答：設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中間的一個(gè)數(shù)為X,由題意可列方程，得(X—2)2+(X—1)2+X2=(X+1)2+

(x+2)2

1.問題1：有一塊矩形鐵皮，長100。加，寬50cm.在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)面積相同的正方

形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積是

3600c/,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？

2.問題2：一個(gè)長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯

子的頂端下滑1米，那么梯子的底端滑動多少米？

你能設(shè)出未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程嗎？

答：問題1由題意可列方程：(100—2x)(50—2x)=3600；問題2由題意可列出方程：(x+6產(chǎn)

+72=102.

3.你能通過觀察下列方程得到它們的共同特點(diǎn)嗎？

(l)(100-2x)(50-2x)=3600

(2)(X+6)2+72=102

歸納結(jié)論：方程的等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫

做一元二次方程.

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a^b、c為常數(shù)，aWO)

這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，

b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

知識模塊二一元二次方程有關(guān)概念的應(yīng)用

解答下列各題：

1.下列方程中，是一元二次方程的是(C)

A.x2+2y—1=0B.x+2y2=5C.2x2=2x—1D.x2+~—2=0

2.將方程(x+3P=8x化成一般形式為x2—2x+9=0,其二次項(xiàng)系數(shù)為」一次項(xiàng)系數(shù)是

-2,常數(shù)項(xiàng)是2.

典例講解：關(guān)于x的方程mx2—3x=x2—mx+2是一元二次方程，m應(yīng)滿足什么條件？

分析：先把這個(gè)方程化為一般形式，只要二次項(xiàng)的系數(shù)不為0即可.

解：由mx?-3x=x?—mx+2得到(m—l)x2+(m-3)x—2=0,所以m—IWO,即mWl.所以關(guān)

于x的方程mx2-3x=x2—mx+2是一元二次方程，m應(yīng)滿足mW1.

對應(yīng)練習(xí)：

1.關(guān)于x的方程(a—1)X2+3X=0是一元二次方程，則a的取值范圍是aWl.

2.已知方程(m+2)x2+(m+l)x—m=0,當(dāng)m滿足m=-2時(shí),它是一元一次方程；當(dāng)m滿

足mW-2時(shí),它是一元二次方程.

3.(易錯(cuò)題)已知關(guān)于x的方程(111-2求呵+3*—4=0是一元二次方程，那么m的值是(C)

A.2B.±2C.—2D.1

三、交流展示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)”生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索一元二次方程

知識模塊二一元二次方程有關(guān)概念的應(yīng)用

田、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)矮

1.收獲：_______________________________________________

2.存在困惑：___________________________________________

第2課時(shí)一元二次方程的解及其估算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會進(jìn)行簡單的一元二次方程的試解.

2.根據(jù)題意判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及利用試解方法解決一些具體問題.

3.理解方程的解的概念，培養(yǎng)有條理的思考與表達(dá)的能力.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

會在簡單的實(shí)際問題中估算方程的解，理解方程解的實(shí)際意義.

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

2.一元二次方程(x+Ip—x=3(x2—2)化成一般形式是2x?—x—7=0.

3.近似數(shù)236心組(精確到十分位).

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索一元二次方程的近似解

1.先閱讀教材尸33“做一做”前面的內(nèi)容，并完成所設(shè)計(jì)的四個(gè)小問題.

答：(l)x的值不能小于0,不能大于4,不能大于2.5,因?yàn)閤表示四周未鋪地毯部分的寬度,

所以x的值不能為負(fù)，又因?yàn)?8—2x)和(5—2x)分別表示地毯的長和寬，所以有8-2x>0,5-2x

>0,即x<2.5.

(2)x的取值范圍是0VxV2.5.

(3)表格中的對應(yīng)值分別為:28、18、10、4.

(4)所求寬度為x=lw.

2.學(xué)生活動：請同學(xué)獨(dú)立完成下列問題.

問題1：如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,那么

梯子的底端距墻多少米？

設(shè)梯子底端距墻為xm,那么，

根據(jù)題意，可得方程為x?+82=102.

整理，得X2—36=0.

列表：

X012345678

X2-36一36-35-32-27-20-1101328

問題2：一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m,苗圃的長和寬各是多少？

設(shè)苗圃的寬為xm,則長為(x+2)m.根據(jù)題意,得x(x+2)=120.整理，得x?+2x—120=0.

列表:

X567891011

X2+2X

-85-72-57-40-21023

-120

提問：(D問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開實(shí)際問題，問題1中還有其他解嗎？問題2呢？

教師點(diǎn)評：(1)問題1中x=6是x2—36=0的解；問題2中，x=10是x2+2x—120=0的解.

(2)如果拋開實(shí)際問題，問題1中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解.

為了與以前所學(xué)的一元一次方程只有一個(gè)解的情況區(qū)別，我們也稱一元二次方程的解叫做一元

二次方程的根.

回過頭來看：x2—36=0有兩個(gè)根，一個(gè)是6,另一個(gè)是一6,但一6不滿足題意；同理，問題

2中的x=-12的根也不滿足題意.

知識模塊二一元二次方程根的判定及應(yīng)用

解答下列各題：

1.已知關(guān)于x的方程x2—kx—6=0的一個(gè)根為x=3,則實(shí)數(shù)k的值為(A)

A.1B.-1C.2D.-2

2.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？

—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4.

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有一2和一3滿足該等式方程，所以x=—2或x=—3是一元

二次方程2x2+10x+12=0的兩根.

典例講解：若x=l是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=l(aW0)的一個(gè)根，求代數(shù)式2023(a

+b+c)的值.

分析：如果一個(gè)數(shù)是方程的根，那么把該數(shù)代入方程，一定能使左右兩邊相等，這一點(diǎn)同學(xué)們

要深刻理解.

解:將x=l代入得a+b+c=l,故2023(a+b+c)=2023.

對應(yīng)練習(xí)：

1.若x=l是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，則a+b+c=Q；若x=—1是一元二次

方程ax2+bx+c=0的解，則a~b+c=0.

2.若x=-1是一元二次方程ax?+bx—2=0的根，則a—b=2.

3.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一個(gè)根，求(a—by+4ab的值.

解：由已知，得a+b=—3,原式=(a+b)2=(—3)2=9

三、交流展.示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)“生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索一元二次方程的近似解

知識模塊二一元二次方程根的判定及應(yīng)用

8、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

1.收獲：______________________________________________________

2.存在困惑：_________________________________________________

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時(shí)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會用開平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法——配方法.

3.會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟.

一、情景導(dǎo)入生成問題

1.如果一個(gè)數(shù)的平方等于4,則這個(gè)數(shù)是母.

2.已知X2=9,則x=±3.

3.填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立.

(1)X2+12X+36=(X+6)2；X2—6x+9=(x—3)2.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的方法

先閱讀教材尸36“議一議”的內(nèi)容.然后完成下列問題：

1.一元二次方程x2=5的解是Xl=X2=一、氏

2.?-元二次方程2x2+3=5的解是xi=l,X2=—1.

3.一元二次方程X2+2X+1=5,左邊配方后得(x+港=5,此方程兩邊開平方，得x+l=±\氏

方程的兩個(gè)根為Xl=-]+小，X2=_I-

用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟是：(以解方程X2—2X—3=0為例)

1.移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得：x2-2x=3；

2.配方：兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得：X?—2X+/=3+12,再將左邊化為完

全平方形式，得：(x一方=4；

3.開平方：當(dāng)方程右邊為正數(shù)時(shí)，兩邊開平方,得：x-l=±2(注意：當(dāng)方程右邊為負(fù)數(shù)時(shí)，

則原方程無解)；

4.化為一元一次方程：將原方程化為兩個(gè)一元一次方程，得：x—l=2或x—1=-2；

5.解一元一次方程，寫出原方程的解：X尸3，X2=」.

歸納結(jié)論：通過配成完全平方式的方法，將一元二次方程轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n(n20)的形式，進(jìn)

而得到一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法.

知識模塊二應(yīng)用配方法求解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程

解答下列各題：

1.填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立.

(1)X2+4X+4=(X+2)2；(2)x2—10x+25=(x-5)2.

2.用配方法解方程:X2+2X-1=0.

解：①移項(xiàng)，得X2+2X=1；

②配方，得X2+2X+1=1+1,即(X+1)2=2；

③開平方，得x+』=A^,即x+1=也或x+L=二啦；

④所以xi=-1+、歷;X2=~l~\/2.

典例講解：解方程：x2+8x-9=0.

解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得：x?+8x=9.兩邊都加42(一次項(xiàng)系數(shù)8的一半的平方)，

得：即X?+8X+42=9+42,即(X+4)2=25.兩邊開平方，得：x+4=±5,即x+4=5,或x+4=一

5.所以xi=l,X2=-9.

對應(yīng)練習(xí)：

1.解下列方程：

(1)X2-10X+25=7；(2)X2-14X=8；

(3)x2+3x=l;(4)X2+2X+2=8X+4.

2.用配方法解方程x2—2x—1=0時(shí)，配方后得的方程為(D)

A.(x+l)2=0B.(x-l)2=0C.(x+l)2=2D.(x-l)2=2

3.方程(x—2)2=9的解是(A)

A.xi=5,X2=-1B.xi=-5,X2=1

C.xi=ll,X2=_7D.xi=—11,X2=7

三、交流展示生成新知

1.將閱讀教材時(shí)“生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小

組的小黑板上.并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑.

2.各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生

成新知”.

知識模塊一探索用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的方法

知識模塊二應(yīng)用配方法求解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程

田、檢測反債達(dá)成目標(biāo)

見《名師測控》學(xué)生用書.

五、課后反思查漏補(bǔ)缺

1.收獲：_______________________________________

2.存在困惑：___________________________________

第2課時(shí)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解配方法的意義，會用配方法解一般一元二次方程.

2.通過探索配方法的過程，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

3.學(xué)生在獨(dú)立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

興趣.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

用配方法解一般一元二次方程.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

用配方法解一元二次方程的一般步驟.

一、情景尋入生成問題

1.用配方法解一元二次方程X2—3X=5,應(yīng)把方程兩邊同時(shí)(B)

A.加上搭B.加上.C.減去|D.減去日

2.解方程（x—3）2=8,得方程的根是（D）

A.x=3+2吸B.x=3-2啦C.x=-3±2啦D.x=3±2啦

3.方程x2—3x—4=0的兩個(gè)根是xi=4,X2=-1.

二、自學(xué)互研生成能力

知識模塊一探索用配方法解一般一元二次方程的方法

先閱讀教材尸38例2,然后完成下面的填空：

用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程的一般步驟是：（以解方程2x2—6x+1=0為例）

①系數(shù)化1：把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得X2—3X+,=0；②移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得X2—3X

--------k--

2

=-1；③配方：兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方,得：x-3x+（iy=-1+=.再將左邊化

為完全平方形式，得：（2L二④開平方：當(dāng)方程右邊為正數(shù)時(shí)，兩邊開平方，得：x一±=±乎

（注意：當(dāng)方程右邊為負(fù)數(shù)時(shí)，則原方程無解）；⑤解一次方程：得X=,士乎，.?.Xl=,+乎，X2=|

_亞

—2,

用配方法求解一般一元二次方程的步驟是什么？

師生共同歸納結(jié)論：（1）把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；（2）移項(xiàng)，使

方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）配方，方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

把方程化為a+11）2=1＜的形式；（4）用直接開平方法解變形后的方程.

知識模塊二應(yīng)用配方法解一般一元二次方程

解答下列各題：

3

1.用配方法解方程3x2—9X—尹0,先把方程化為x2+bx+c=0的形式，則下列變形正確的

是（D）

33

A.X2—9x-2=0B.X2—3x-2=0

,1,1

C.x2—9x—2=0D.x2—3x—2=0

2.方程2x2—4x—6=0的兩個(gè)根是xi=3,