四川省成都市外國語學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題含解析

四川省成都市外國語學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交2．設(shè)，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則()A．12 B．10 C．8 D．4．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．95．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上，則直線被截得的弦長為（）A． B． C． D．6．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：（其中），且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系（用不等號(hào)連接）為（）A． B．C． D．7．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．28．已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．9．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．8410．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．11．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．12．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為________.14．為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個(gè)班進(jìn)行班級(jí)間的拔河比賽．每兩班之間只比賽1場(chǎng)，目前（—）班已賽了4場(chǎng)，（二）班已賽了3場(chǎng)，（三）班已賽了2場(chǎng)，（四）班已賽了1場(chǎng)．則目前（五）班已經(jīng)參加比賽的場(chǎng)次為__________．15．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.16．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：.組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，18．（12分）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等比數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.20．（12分）已知橢圓，點(diǎn)，點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).且與圓相切.的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.21．（12分）已知數(shù)列和滿足，，，，.（Ⅰ）求與；（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)，恒成立，求正整數(shù)的值.22．（10分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.2、C【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，故目標(biāo)函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論．【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4、D【解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當(dāng)時(shí)，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個(gè)，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．5、B【解析】

由焦點(diǎn)得拋物線方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線方程，聯(lián)立拋物線求交點(diǎn)，計(jì)算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，則，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，屬于中檔題.6、A【解析】因?yàn)?，所以，即周期為４，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]示意圖，如圖在（０，１）單調(diào)遞增，因?yàn)椋虼?，選Ａ．點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱性代數(shù)表示（1）函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，（3）函數(shù)周期為T,則7、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項(xiàng)等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點(diǎn)，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求，，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，解可得，，，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.11、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確；當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有，，故②錯(cuò)誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因?yàn)?，所以，從而，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由可得，利用數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

根據(jù)比賽場(chǎng)次，分析，畫出圖象，計(jì)算結(jié)果.【詳解】畫圖所示，可知目前（五）班已經(jīng)賽了2場(chǎng)．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查推理，計(jì)數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又?所以，即，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.16、80211【解析】

由，利用二項(xiàng)式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析【解析】

由題意，根據(jù)平均數(shù)公式求得，再根據(jù)，參照數(shù)據(jù)求解.由題意得，獲贈(zèng)話費(fèi)的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上，由題意得，獲贈(zèng)話費(fèi)的可能取值為，，的分布列為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：即可證明.（2）既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，，則對(duì)于任意都成立，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為，驗(yàn)證得答案.【詳解】（1）證明：由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列是“數(shù)列”.（2）證明：既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，（）（），（）可得：對(duì)于任意都成立，即成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，（）數(shù)列是“數(shù)列”時(shí)，由（）可得：時(shí)，由（）可得：，可得，同理可證成等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）化簡得到，分類解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，故或或解得或，故不等式的解集?（2）畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知的最大值.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是3.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20、（1）（2）是，【解析】

（1）設(shè),根據(jù)條件可求出的坐標(biāo)，再利用在橢圓上，代入橢圓方程求出即可;（2）設(shè)運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)滿足橢圓方程，求出，,再利用焦半徑公式表示出,進(jìn)而求出周長為定值．【詳解】(1)設(shè),因?yàn)?即則,即,因?yàn)榫谏?代入得,解得,所以橢圓的方程為;(2)由(1)得,作出示意圖,設(shè)切點(diǎn)為,則,同理即,所以,又,則的周長,所以周長為定值.【點(diǎn)睛】標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,橢圓中的定值問題,考查焦半徑公式的運(yùn)用,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,難度較難.21、（Ⅰ）,；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）易得為等比數(shù)列,再利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解的通項(xiàng)公式即可.（Ⅱ）由題可知要求的最小值,再分析的正負(fù)即可得隨的增大而增大再判定可知即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?故是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故.又當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),…①…②①-②有,即.當(dāng)時(shí)也滿足.故為常數(shù)列,所以.即.故,（Ⅱ）因?yàn)閷?duì),恒成立.故只需求的最小值即可.設(shè),則,又,又當(dāng)時(shí),時(shí).當(dāng)時(shí),因?yàn)?故.綜上可知.故隨著