天津四十二中2023-2024學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

天津四十二中2023-2024學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度2．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．3．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．4．集合，，則（）A． B． C． D．5．做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為（）A．13 B．16．若，，，點(diǎn)C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．7．已知集合，則等于（）A． B． C． D．8．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．39．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．10．已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．812．已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則______，含項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.14．設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程有4個(gè)不相等的實(shí)根，且這4個(gè)根的平方和存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，設(shè)的最大值與最小值分別為，則_____．16．如圖是一個(gè)算法偽代碼，則輸出的的值為_(kāi)______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，滿足（1）求內(nèi)角的大小（2）已知，設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn)，且，求平面四邊形面積的最大值.18．（12分）隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（單位：名）使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫(kù)”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.（1）求頻數(shù)分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機(jī)選取2人，假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?，求的分布列及?shù)學(xué)期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢(qián)存入某理財(cái)產(chǎn)品，一年可以獲得3元利息.19．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).21．（12分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．22．（10分）車(chē)工劉師傅利用數(shù)控車(chē)床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以只需將的圖象向右平移個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.3、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.4、A【解析】

計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.5、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．7、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問(wèn)題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.9、A【解析】

用排除法，通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.10、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬(wàn)元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；月收益最低，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；月總收益萬(wàn)元，月總收益萬(wàn)元，所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬(wàn)元，所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)，先確定出的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得到的值，即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，，，項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.14、【解析】

先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時(shí)有4個(gè)不相等的實(shí)根，再將這四個(gè)根的平方和表示出來(lái)，利用函數(shù)思想來(lái)判斷當(dāng)a為何值時(shí)這4個(gè)根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，方程最多2個(gè)不相等的實(shí)根，舍；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個(gè)不相等的實(shí)根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時(shí)有最小值，則對(duì)稱軸，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識(shí)，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.15、【解析】

畫(huà)出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值7；過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值2，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫(huà)出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫(huà)出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.16、5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本關(guān)系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理可得：，則，得到，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；【詳解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理得：，，，所以當(dāng)時(shí)有最大值【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.18、（1）；（2）680元.【解析】

（1）根據(jù)題意，列方程，然后求解即可（2）根據(jù)題意，計(jì)算出10000元使用“余額寶”的利息為（元）和10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元），得到所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），然后根據(jù)所有可能的取值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，并列出的分布列表，然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】（1）據(jù)題意，得，所以.（2）據(jù)，得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財(cái)富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為（元）.10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元）.所有可能的取值為560（元），700（元），840（元）.，，.的分布列為560700840所以（元）.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題19、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，令，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證；當(dāng)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，存在使得，即．所以，?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當(dāng)，即時(shí)，為的增函數(shù)，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，即，若時(shí)，為減函數(shù)，（*）若時(shí)，為增函數(shù)，所以的最小值為．注意到時(shí)，，且此時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以，所以由（*）知時(shí)，為