【勾股定理在中學教學中的應(yīng)用探究5400字（論文）】

勾股定理在中學教學中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-1"\h\u355引言 1120871.勾股定理相關(guān)內(nèi)容 21.1勾股定理起源 21.2勾股定理的證明 2103462.勾股定理相關(guān)題型 32.1求線段的長度問題 32.2求圖形的周長問題 42.3求最短距離問題 52.4勾股樹問題 62.5翻折問題 72.6翻折問題 82.7勾股定理的實際應(yīng)用問題 8205533.勾股定理逆定理應(yīng)用 93.1勾股定理逆定理的實際應(yīng)用問題 93.2勾股定理逆定理在判斷圖形上的應(yīng)用 103.3勾股定理及其逆定理在中考真題中的應(yīng)用 103.4勾股定理對教學的影響 1455604.總結(jié) 15引言目前勾股定理在中學數(shù)學課程中的重要地位以及勾股定理相關(guān)內(nèi)容得到了進一步的豐富與發(fā)展。勾股三角定理在我國中學的幾何數(shù)學基礎(chǔ)教育中十分重要,可以為中學生盡快了解和掌握學習新的幾何基礎(chǔ)知識理論打下堅實的理論基礎(chǔ)。更好的幫助學習者在勾股幾何定理時還可以有效激發(fā)中學生對三角幾何相關(guān)知識的綜合學習更感興趣，提高教學效果，還可以進一步拓展學生的思維能力與探索能力。有利于幫助學生進一步了解勾股定理的歷史與來源,讓學生了解到數(shù)學文化在世界人類文明發(fā)展進程中起到的作用,增強學生的學習自信心。在人類文明向前發(fā)展的道路上，"勾股定理"是繞不開的。這就促進了"勾股定理"在中學的教學課堂中得到了進一步的豐富與發(fā)展。勾股定理中學的幾何里面有著非常重要的地位,尤其是在對直角三角形求解時更是非常重要。1勾股定理相關(guān)內(nèi)容1.1勾股定理起源據(jù)說畢達哥拉斯在參加一次富豪的晚宴，富豪家里的地上鋪滿了正方形的地磚。但是由于某些原因食物一直沒有做好，而其他客人有點遲鈍等待不耐煩了起來。這時畢達哥拉斯的眼睛和目光卻仍然沉迷于精美的地磚上,他突然從手里拿起一支筆將這塊白色瓷磚的兩條新正方形對角線重新地繪制了出來,然后以這條新的正方形對角線重新繪制了一個白色的正方形,他赫然地發(fā)現(xiàn)這個新的白色正方形的占地面積正好大約等于兩塊白色瓷磚的總占地面積之數(shù)。接著他又好奇地以兩塊白色瓷磚的兩條相同對角線作為邊,畫出了一個與白色不一樣的正方形,這個新白色瓷磚正方形的面積分別大約等于五塊白色瓷磚的平均面積。因此他做了一個大膽而瘋狂的假設(shè),在一個簡單的直角式三角形中,兩個斜邊的平方之和應(yīng)該等于第三個邊也就是斜邊的平方。1.2勾股定理的證明在中學階段，數(shù)學知識需要具有一定的結(jié)合數(shù)學抽象性和理論性，學生通常認為需要熟練掌握普通中學初級數(shù)據(jù)庫的數(shù)學分析力和計算應(yīng)用能力、空間概念、幾何內(nèi)容以及運算能力等。勾股定理是學習初中數(shù)學幾何知識的基礎(chǔ)。目前有很多種方法可以用來證明勾股定理,但大多數(shù)方法都是將代數(shù)與圖形相結(jié)合來證明,更好的詮釋了數(shù)形結(jié)合在勾股定理內(nèi)容方面的重要性。(1)如下圖所示，有幾個全等的直角三角形，每個直角三角形的三條邊分別為a、b、c，其中a、b為直角邊，c為斜邊，且認定a<b，然后再以a、b、c為邊長做出三個正方形。由圖示可知，左右兩個大正方形的面積相等，而且它們的邊長均為a+b，其中a<b，大正方形的面積=小正方形面積+4x直角三角形面積。由題知：每個直角三角形的面積為，則可以得到以下等式：，經(jīng)整理得：，證畢。2.勾股定理相關(guān)題型2.1求線段的長度問題如圖所示，已知在△ABC中，AC的長度為8，AB長為10，且BC邊上的高AD＝6，邊BC的長為()。DDCBAA. 8+ B.13C.8 D.4分析：因為AD是BC邊上的高，所以△ABD和△ACD都為直角三角形，然后利用勾股定理求出BD和CD的長度。解：由題知，AD垂直于BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°因為AC＝8，AB＝10，AD＝6，所以由勾股定理，得BD＝＝，CD＝＝＝，所以BC＝BD+CD＝8+，故應(yīng)選A。說明：這道題利用勾股定理求解有關(guān)線段的大小是中考中隨時都會遇到的問題，分值在3分~4分左右。2.2求圖形的周長問題在某中心小學有一塊花園，其形狀為直角三角形，經(jīng)測量，測得花園的直角邊邊長分別為，現(xiàn)在需要要求將花園進行拓長，經(jīng)設(shè)計后要將花園設(shè)計為等腰三角形，并以邊長為的邊進行延長，請計算：設(shè)計完等腰三角形花園的周長是多少。解析：由題可知：花園的兩條直角邊長分別為，因此可以勾股定理來求出直角三角形斜邊的長度，然后根據(jù)已知長度，去計算其他未知條件。解：假設(shè)△ABC為原來的直角三角形花園，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，由勾股定理，得AB＝10，假定擴充部分為Rt△ACD，擴充成等腰△ABD應(yīng)分以下三種情況：①如圖1，當AB＝AD＝10時，可求出CB＝CD＝6，則△ABD的周長為32m；②如圖2，當DB＝AB＝10時，可得CD＝4，由勾股定理，得AD＝4，于是，△ABD的周長為(20+4)m；③如圖3，當AB為底邊時，則可以設(shè)BD＝AD＝x，則CD＝x－6，由勾股定理，得x＝，于是，△ABD的周長為m。AADCBADBCADBC圖1圖2圖32.3求最短距離問題BA6cm3cm1cm圖1圖2BA如圖1所示，這個圖形為長方體，長方體下底面的邊長分別為和，高AB長。這時有一只螞蟻從點開始出發(fā)，按圖中所示路徑到達點，那么要想完成這一過程，所走的最短距離是＿＿＿；假設(shè)螞蟻從點開始出發(fā)按圖中所示路徑走圈再到達點，所經(jīng)過的最短路程為＿＿＿。BA6cm3cm1cm圖1圖2BA解析：要想計算出經(jīng)過的最短路程，就要先確定出相應(yīng)的最短路徑圖。這時應(yīng)該將這個長方體的側(cè)面剪開，然后根據(jù)兩點之間線段最短，然后在所構(gòu)成的之間三角形中利用勾股定理，求出最短距離。當螞蟻從點開始出發(fā)按圖中所示路徑走圈再到達點時，這時可以看出這個長方體的側(cè)面展開圖的一邊長為，然后再根據(jù)勾股定理進行求解。解：由圖可知，當螞蟻從點開始出發(fā)按圖中所示路徑走一圈再到達點時，線段即為最短路徑的長度。然后利用勾股定理，得AB＝＝10，即螞蟻由到的最短距離為。當螞蟻從點開始出發(fā)按圖中所示路徑走圈再到達點時，則此時長方體的側(cè)面展開圖的一邊長由變成n(3+1+3+1)，即8n，根據(jù)勾股定理，得＝，即最短距離為cm或cm。.2.4勾股樹問題如下圖所示，這個圖形被稱為“勾股樹”，這個圖形上的所有三角形均為直角三角形，所有的四邊形均為正方形。假定正方形A、B、C、D的邊長分別為3、5、2、3，請計算出四邊形的面積（）。A.10B.22C.47D.45解析：根據(jù)勾股定理，四邊形的面積等于中間圍成的之間三角形兩條直角邊的平方之和。另一方面，兩條直角邊的平方和又可以看做另外兩個正方形的面積之和。因此四邊形的面積等于另外兩個正方形的面積之和。然后根據(jù)已知邊長，求得相關(guān)圖形的面積。題目中交代正方形A、B、C、D的邊長。解:因為正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，所以正方形E的面積＝32+52+22+32＝47。故應(yīng)選C。在這道題中，可以考慮的只有四種情況，而且每一種情況還可以進行繼續(xù)的延伸，就會出現(xiàn)更多的情況，由此可見，勾股定理的魅力也是很大的。2.5翻折問題例題：在下圖中,四邊形為一矩形的紙板,其中點位于為上,且，,現(xiàn)將四邊形沿著向上翻折,此時點B剛好落在位于CD邊上的點G處,求出BE的長度。設(shè)BE=xcm,則EC=(BC-x)cm,

在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=6cm,

DC=AB=10cm,AD=BC=6cm

AE為折痕,

AG=AB=10cm,BE=EG=xcm

Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理得

，

∴GC=10-8=2,

在Rt△ECG中,EG2=GC2+EC2

即x2=22+(6-x)2

解得x=10/3（cm）

∴BE的長為10/3cm2.6旋轉(zhuǎn)問題

例題：如圖所示，△ABC是直角三角形，BC為△ABC的斜邊，若將△ABP繞點A點逆時針旋轉(zhuǎn)之后，其能與△ACP’重合，若PA=3,求PP’的長。

分析：旋轉(zhuǎn)問題中利用勾股定理解析:∵△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后,能與△ACP重合

∴AP’=AP,∠CAP’=∠BAP。

∴∠PAP’=∠PAC+∠CAP’=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°

∴△PAP為等腰直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理，PP’為斜邊

∴PP’=2.7勾股定理的實際應(yīng)用問題勾股定理不僅適用于抽象問題的求解，還被廣泛的應(yīng)用到實際問題當中。例題：重慶市有一座山高800米，這座山的側(cè)面近似為一個直角三角形，在山腳到山頂垂直于地面的交點的距離為600米，由于惡略天氣的原因，部分乘客被困在山頂處，而救援隊伍在山腳處開始向上前進，平均速度為50米/分鐘，試問：救援人員需要多長時間才可以到達山頂救出被困人員？解析：設(shè)山頂處為點A，山腳處為點B，山頂與地面垂線的交點為C點；由題可知：AC=800米，BC=600米。又∵△ABC為直角三角形；∴根據(jù)勾股定理得：米?！嗑仍犖榈竭_山頂?shù)臅r間為：1000/50=20min。3勾股定理逆定理應(yīng)用3.1勾股定理逆定理的實際應(yīng)用問題在中學數(shù)學課堂中也經(jīng)常使用勾股定理逆定理。比較常見也是最簡單的就是通過勾股定理逆定理來判斷三角形的形狀。如果三角形的三邊長分別為a、b、c,滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形。例如，已知a、b均為正整數(shù)，且a＞b，長為2ab、a2-b2、a2+b2的三條邊可以組成一個三角形，那么這個圖形為什么三角形？解：由題知，，則，?！?；∴由勾股定理逆定理可得這個圖形是直角三角形。此外，勾股定理及其逆定理在求解角的度數(shù)以及邊的長度問題上也經(jīng)常出現(xiàn)。3.2勾股定理逆定理在判斷圖形上的應(yīng)用相關(guān)例題：由下圖可知，兩點為別位于正方形的兩條邊上，已知AB=4，CE=1/4BC，F(xiàn)平分邊DC，連接AF，AE，EF，判斷△AEF的形狀，說明理由。解題思路：應(yīng)用勾股定理逆定理的方法來判斷相關(guān)圖形的形狀。若a2+b2＜c2，則三角形為鈍角三角形。若a2+b2＞c2，則三角形為銳角三角形。特別的跟邊長有關(guān)，與表示的字母無關(guān)，m2-n2=p2，為三角形的三條邊，可以看出為直角三角形。解：∵AB=4，∴EC=1，BE=3∵F為CD的中點∴DF=FC=2，∴那么在△AEF中，AE2=EF2+AF2∴△AEF為直角三角形3.3勾股定理及其逆定理在中考真題中的應(yīng)用下圖是由有三個大小不等正方形的頂點與頂點相連所形成的的圖形。阿牛手里有5個完全不相同的正方形紙片，且這五個正方形的面積為：1、2、3、4、5，現(xiàn)要求在這五個正方形中選擇三個正方形(可重復(fù))拼成下圖的圖案，要想使得三個正方形所圍成的直角三角形的面積達到最大，那么這三個正方形紙塊應(yīng)該怎么選（）。1,4,5B.2,3,4C.3,4,5D.2,2,4(1)選擇面積為3、5、2的正方形紙塊時,可以圍成直角三角形,且所構(gòu)成的三角形的面積為：；選擇面積為4，1，5的正方形紙塊時,可以圍成直角三角形,且圍成的三角形的面積為：；當選擇面積為4、3、5的正方形紙塊時,所圍成的圖形不是直角三角形；選擇面積為2、4、2的正方形紙塊時,可以圍成直角三角形,面積為：。因為，所以當選擇面積為3、5、2的正方形紙塊時，所圍成三角形的面積最大，所以B選項是正確的。已知：整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0。嘗試化簡整式A，發(fā)現(xiàn)A=B2，求整式B。分析：由題可知：，當n>1時，如圖所示，直角三角形的三邊長為B、、。直角三角形三邊n2-12nB解：A＝(n2-1)2+(2n)2＝n4-2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝(n2+1)2

∵A＝B2，B＞0

∴B＝n2+1

當2n＝8時，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；

當n2﹣1＝35時，n2+1＝37。

故答案為：15；37。圖1是一種可以進行橫向滑動的裝置，工作示意圖如圖2所示。該裝置的原理是：滑塊Q在滑道l上左右移動時，連桿PQ也會隨之移動，同時也會帶動連桿OP擺動。運動過程中，P點始終在圓O上?，F(xiàn)過點O作OH與滑道l垂直于H，已知：QP=3米，PO=2米，HO=4米。解決問題：(1)QO之間的最短長度是米；OQ之間的最大長度是分米；點Q在滑道l上最左端位置與最右端位置間的長度是米；(2)如圖3所示，阿牛說：“當點Q與H點重合時，PQ垂直于OP”。你認為他說的對嗎？理由是什么？(3)①弟弟阿生發(fā)現(xiàn)：“當P點位于HO上時，點P與滑道l之間的距離最短?！逼鋵嶞cP與滑道l之間還存在著距離最遠的位置，這時點P與滑道l之間的長度是米；②求連桿在擺動時在圓中所形成的的扇形面積最大時，所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是多少。分析:(1)當OQ最小時，Q、H重合，此時OQ=OH=4米；當OQ最大時，O、P、Q三點在同一條直線上，∴OP+PQ=OQ=5米；當P、O、Q三點在一條直線上時，在直角△OQH中，根據(jù)勾股定理：HQ=3米，則Q在滑道l上最大長度為：2QH=2x3=6米。（2）阿牛的說法是不對的。當Q、H重合時，OP長度為2、OH的長度為4、PQ的長度為3，根據(jù)勾股定理：不能構(gòu)成直角三角形，因此這種說法不成立。（3）①點P與滑道l之間的最大距離為QP=3米，這時QP與滑道l垂直；②當滑塊與滑道之間的距離最大時，連桿不能繼續(xù)向下移動，假設(shè)P點只能在以及之間移動，連接，那么所組成的四邊形為矩形，設(shè)與的交點為，那么，則OD=OH﹣DH=1，在Rt△OPD中，OP=2，OD=1，則∠POD=60°，∠POP′=120°。解：(1)4，5，6；(2)不對?！逴P=2，PQ=3，OH=4，∵當Q、H重合時，OQ=OH=4，∵42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，∴QP⊥OP不成立．∴⊙O與PQ相切不成立。(3)①∵PQ=3，而且PQ與l垂直時，點P于直線l之間的距離最大，最大距離為3；②由①知，在圓O上存在一點P，P'到l的距離為3。如下圖所示，在擺動過程中最大的圖形是P’OP’。連接P'P，與OH交于D點?！逷Q，P'Q'均與l垂直，且PQ=