2022-2023學年湖南省多校聯(lián)考高二下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學精品試卷PAGEPAGE1湖南省多校聯(lián)考2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應的〖答案〗標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．2．若復數(shù)為方程（m，）的一個根，則該方程的另一個根是（）A． B． C． D．3．將A，B，C，D，E五個字母排成一排，且A，E均不排在兩端，則不同的排法共有（）A．108種 B．72種 C．36種 D．18種4．已知方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖，沿著網(wǎng)格線，先從點A到點B，然后經(jīng)過點C，到達點D的最短的路徑的條數(shù)為（）A．720 B．480 C．360 D．2407．在三棱錐中，面ABC，，，且，若G為△PAB的重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．甲盒中有2個紅球和1個黃球，乙盒中有1個紅球和2個黃球，丙盒中有1個紅球和1個黃球．從甲盒中隨機抽取一個球放入乙盒中，攪拌均勻，然后從乙盒中隨機抽取一個球放入丙盒中，攪拌均勻后，再從丙盒中抽取一個球，則從丙盒中抽到的是紅球的概率為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知雙曲線C：，則雙曲線的（）A．焦點坐標為，B．離心率為C．漸近線方程為和D．虛軸長為110．已知隨機事件A，B滿足，，則（）A．若事件A，B互斥，則B．若，則事件A，B互斥C．若事件A，B相互獨立，則D．若，則事件A，B相互獨立11．如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC的三條中線，G為△ABC的重心，設P為△ABC所在平面上任意一點，則（）A． B．C． D．12．如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，H為正方形（包括邊界）上的動點，則（）A．存在點H，使得E，F(xiàn)，G，H四點共面B．存在點H，使得面HEFC．若，則H的軌跡長度為D．四面體EFGH的體積為定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知為第二象限角，，則的值為________．14．從編號為1~5號的球中隨機抽取一個球，記編號為i，再從剩下的球中取出一個球，記編號為j，在的條件下，的概率為________．15．已知O為坐標原點，直線：與：交于點P，則的值為________．16．已知函數(shù)存在兩個極值點，，且，則a的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）設（，）．（1）當，時，記的展開式中的系數(shù)為（，1，2，3，4，5，6，8），求的值；（2）若的展開式中的系數(shù)為20，求的最小值．18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點，，，．（1）證明：平面ACQ；（2）求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．

19．（本小題滿分12分）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．20．（本小題滿分12分）已知F為拋物線的焦點，O為坐標原點，過點的直線與拋物線交于A，B兩點，且滿足．（1）求p的值；（2）若，求直線AB的方程．

21．（本小題滿分12分）目前，我國近視患者人數(shù)多達6億，青少年近視率居世界第一，從宏觀出發(fā)，為了民族的未來，從微現(xiàn)出發(fā)，為了青少年的健康，青少年的近視問題已經(jīng)提升到國家戰(zhàn)略層面．根據(jù)衛(wèi)健委要求，某中學抽查了60名學生的視力情況，按，，，，，分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）為了作進一步的調(diào)查，從視力在內(nèi)的學生中隨機抽取6人，若已知其中有兩人的視力落在內(nèi)，求另外四人視力均落在內(nèi)的概率；（2）用樣本頻率估計總體，從全校學生中隨機抽取兩名學生，記視力落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為X，落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為Y，試求的值．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若在上恒成立，求k的取值范圍；（2）設為圖象上一點，為圖象上一點，O為坐標原點，若∠AOB為銳角，證明：．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁一、單項選擇題1．D〖解析〗全集為U，集合，，圖中陰影部分表示的集合是．故選D．2．B〖解析〗根據(jù)實系數(shù)方程的虛根成共軛復數(shù)可知，另一個復數(shù)根為，故選B．3．C〖解析〗將A，B，C，D，E五個字母排成一排，且A，E均不排在兩端，首先將A，E排在中間3個位置，有種排法，再將剩下的3個人全排列有種排法，所以一共有種排法．故選C．4．C〖解析〗因為方程表示橢圓，所以有解得或．5．A〖解析〗當時，，即，即，又，即，故，即，當時，由，無解，綜上，實數(shù)a的取值范圍是．故選A．6．C〖解析〗從A點到B點需要向右走3段，向上走3段，共有種，從B點到C點，向下走1段，向右走2段，共種，從C點到D點，向右走2段，向上走2段，共種，因此，從A點到D點的最短路徑的走法有種．故選C．7．D〖解析〗因為G為重心，故，從而，．即．，則．注意到平面ABC的法向量即，因此CG與平面ABC所成角的正弦值即為．故選D．8．A〖解析〗甲盒抽到黃球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到黃球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為，因此丙盒中抽到的紅球的概率為．故選A．二、多選題9．CD〖解析〗由，，．10．ACD〖解析〗對于A選項，，故A正確；對于B選項，，并不一定有A，B互斥；B錯誤對于C選項，因為事件A，B相互獨立，故，故C正確；對于D選項，因為，故事件A，B相互獨立，故D正確．11．ACD〖解析〗對于A選項，注意到，因此，從而，故A正確；對于B選項，由可得，即，故B錯誤；對于C選項，，，，相加即得，故C正確；對于D選項，，同理，，三式相加即得，故D正確．12．AC〖解析〗對于A選項，當H為時，E，F(xiàn)，G，H共面，故A正確；對于B選項，HG在面上的投影不可能與EF垂直，因此HG不垂直于EF，從而B錯誤；對于C選項，取，的中點M，N，當H在MN上時，F(xiàn)H在面上的投影為NH，而，且，因此，即H的軌跡即為MN，且其長度為，故C正確；對于D選項，由于面EFG與面不平行，因此體積不為定值．故D錯誤．三、填空題13．〖解析〗由為第二象限角可知在第一、三象限，而，則在第一象限，故，因此14．〖解析〗設事件A：，事件B：，則事件AB：，則，，從而．15．2〖解析〗直線過定點，過定點，當時，兩直線的斜率分別為，，，故，從而；當時，易求得，此時，綜上可知，．16．〖解析〗依題意有兩個零點，即方程有兩個解，，且滿足，設，則直線和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，且滿足，因為，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得最大值，最大值為，故，所以作直線和函數(shù)的圖象如下：由圖象知：，因此①當時，，不符合題意；②當時，要，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，解得，所以．綜合①②得．又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以a的取值范圍是．四、解答題17．解：（1）由題意．的展開式的通項為，的展開式的通項為，……2分故，，因此；……5分（2），即，……6分則，……7分由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．注意到n取值為整數(shù)，因此的最小值為．……9分因此的最小值為，……10分18．（1）證明：如圖，連接BD與AC相交于點M，連接MQ，∵，，∴，……2分∵，∴……4分∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；……6分（2）解：由AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，各點坐標如下：，，，．……8分設平面ACQ的法向量為，由，，有令，，，可得，……10分由，有，，．故直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為．……12分19．（1）解：依題意，當時，由，可得，……2分則，兩式相減可得，即，即，因為為正項數(shù)列，因此，……5分則是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，則；……6分（2）證明：由，而，……9分，即．……12分20．解：（1）設，，直線AB：，聯(lián)立拋物線方程得，得，，……3分則．由可得，可得，得，……5分（2）由（1）可知拋物線方程為，，此時AB；，，．，……7分．……9分由，解得，……11分因此直線AB的方程為，即．……12分21．解：（1）視力落在內(nèi)的人數(shù)為3，視力落在內(nèi)的人數(shù)為6．設事件A：抽取的6人中有兩人的視力落在內(nèi)，事件B：剩下的四人視力落在內(nèi)．則，，……2分從而；……4分（2）視力落在區(qū)間內(nèi)的概率為，故．視力落在區(qū)間內(nèi)的概率為，故．∴，……6分令，則Z的可能取值為0，1，2，3，4，若抽取的學生視力落在，內(nèi)，則Z的值，若落在內(nèi)，則Z的值，視力落在內(nèi)的概率為，落在內(nèi)的概率為，則；；；；．∴，……11分故．……12分22．（1）解：先證明，構造函數(shù)，則，故單調(diào)遞增，從而，即，因此，……2分當時，，符合題意；……3分當時，構造函數(shù)，則，單調(diào)遞增，且，，故存在，使得，且時，，即單調(diào)遞減，則當時，，與題意矛盾．綜上所述，；……5分（2）證明：依題意可知，，則，即，即．……6分因為，，則不等式為，設，則不等式為，……7分設，則，設，則，因此，即，即單調(diào)遞減，因此，可得，即．……9分首先證明：，設，則，由（1）可知，∴，從而，故，單調(diào)遞增，因此，從而，因而，故．……12分湖南省多校聯(lián)考2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應的〖答案〗標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．2．若復數(shù)為方程（m，）的一個根，則該方程的另一個根是（）A． B． C． D．3．將A，B，C，D，E五個字母排成一排，且A，E均不排在兩端，則不同的排法共有（）A．108種 B．72種 C．36種 D．18種4．已知方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖，沿著網(wǎng)格線，先從點A到點B，然后經(jīng)過點C，到達點D的最短的路徑的條數(shù)為（）A．720 B．480 C．360 D．2407．在三棱錐中，面ABC，，，且，若G為△PAB的重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．甲盒中有2個紅球和1個黃球，乙盒中有1個紅球和2個黃球，丙盒中有1個紅球和1個黃球．從甲盒中隨機抽取一個球放入乙盒中，攪拌均勻，然后從乙盒中隨機抽取一個球放入丙盒中，攪拌均勻后，再從丙盒中抽取一個球，則從丙盒中抽到的是紅球的概率為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知雙曲線C：，則雙曲線的（）A．焦點坐標為，B．離心率為C．漸近線方程為和D．虛軸長為110．已知隨機事件A，B滿足，，則（）A．若事件A，B互斥，則B．若，則事件A，B互斥C．若事件A，B相互獨立，則D．若，則事件A，B相互獨立11．如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC的三條中線，G為△ABC的重心，設P為△ABC所在平面上任意一點，則（）A． B．C． D．12．如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，H為正方形（包括邊界）上的動點，則（）A．存在點H，使得E，F(xiàn)，G，H四點共面B．存在點H，使得面HEFC．若，則H的軌跡長度為D．四面體EFGH的體積為定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知為第二象限角，，則的值為________．14．從編號為1~5號的球中隨機抽取一個球，記編號為i，再從剩下的球中取出一個球，記編號為j，在的條件下，的概率為________．15．已知O為坐標原點，直線：與：交于點P，則的值為________．16．已知函數(shù)存在兩個極值點，，且，則a的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）設（，）．（1）當，時，記的展開式中的系數(shù)為（，1，2，3，4，5，6，8），求的值；（2）若的展開式中的系數(shù)為20，求的最小值．18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點，，，．（1）證明：平面ACQ；（2）求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．

19．（本小題滿分12分）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．20．（本小題滿分12分）已知F為拋物線的焦點，O為坐標原點，過點的直線與拋物線交于A，B兩點，且滿足．（1）求p的值；（2）若，求直線AB的方程．

21．（本小題滿分12分）目前，我國近視患者人數(shù)多達6億，青少年近視率居世界第一，從宏觀出發(fā)，為了民族的未來，從微現(xiàn)出發(fā)，為了青少年的健康，青少年的近視問題已經(jīng)提升到國家戰(zhàn)略層面．根據(jù)衛(wèi)健委要求，某中學抽查了60名學生的視力情況，按，，，，，分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）為了作進一步的調(diào)查，從視力在內(nèi)的學生中隨機抽取6人，若已知其中有兩人的視力落在內(nèi)，求另外四人視力均落在內(nèi)的概率；（2）用樣本頻率估計總體，從全校學生中隨機抽取兩名學生，記視力落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為X，落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為Y，試求的值．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若在上恒成立，求k的取值范圍；（2）設為圖象上一點，為圖象上一點，O為坐標原點，若∠AOB為銳角，證明：．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁一、單項選擇題1．D〖解析〗全集為U，集合，，圖中陰影部分表示的集合是．故選D．2．B〖解析〗根據(jù)實系數(shù)方程的虛根成共軛復數(shù)可知，另一個復數(shù)根為，故選B．3．C〖解析〗將A，B，C，D，E五個字母排成一排，且A，E均不排在兩端，首先將A，E排在中間3個位置，有種排法，再將剩下的3個人全排列有種排法，所以一共有種排法．故選C．4．C〖解析〗因為方程表示橢圓，所以有解得或．5．A〖解析〗當時，，即，即，又，即，故，即，當時，由，無解，綜上，實數(shù)a的取值范圍是．故選A．6．C〖解析〗從A點到B點需要向右走3段，向上走3段，共有種，從B點到C點，向下走1段，向右走2段，共種，從C點到D點，向右走2段，向上走2段，共種，因此，從A點到D點的最短路徑的走法有種．故選C．7．D〖解析〗因為G為重心，故，從而，．即．，則．注意到平面ABC的法向量即，因此CG與平面ABC所成角的正弦值即為．故選D．8．A〖解析〗甲盒抽到黃球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到黃球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為，因此丙盒中抽到的紅球的概率為．故選A．二、多選題9．CD〖解析〗由，，．10．ACD〖解析〗對于A選項，，故A正確；對于B選項，，并不一定有A，B互斥；B錯誤對于C選項，因為事件A，B相互獨立，故，故C正確；對于D選項，因為，故事件A，B相互獨立，故D正確．11．ACD〖解析〗對于A選項，注意到，因此，從而，故A正確；對于B選項，由可得，即，故B錯誤；對于C選項，，，，相加即得，故C正確；對于D選項，，同理，，三式相加即得，故D正確．12．AC〖解析〗對于A選項，當H為時，E，F(xiàn)，G，H共面，故A正確；對于B選項，HG在面上的投影不可能與EF垂直，因此HG不垂直于EF，從而B錯誤；對于C選項，取，的中點M，N，當H在MN上時，F(xiàn)H在面上的投影為NH，而，且，因此，即H的軌跡即為MN，且其長度為，故C正確；對于D選項，由于面EFG與面不平行，因此體積不為定值．故D錯誤．三、填空題13．〖解析〗由為第二象限角可知在第一、三象限，而，則在第一象限，故，因此14．〖解析〗設事件A：，事件B：，則事件AB：，則，，從而．15．2〖解析〗直線過定點，過定點，當時，兩直線的斜率分別為，，，故，從而；當時，易求得，此時，綜上可知，．16．〖解析〗依題意有兩個零點，即方程有兩個解，，且滿足，設，則直線和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，且滿足，因為，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得最大值，最大值為，故，所以作直線和函數(shù)的圖象如下：由圖象知：，因此①當時，，不符合題意；②當時，要，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，解得，所以．綜合①②得．又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以a的取值范圍是．四、解答題17．解：（1）由題意．的展開式的通項為，的展開式的通項為，……2分故，，因此；……5分（2），即，……6分則，……7分由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．注意到n取值為整數(shù)