2023屆甘肅省張掖市高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1甘肅省張掖市2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，解得，即，則，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故，則，即，由，得，結(jié)合，解得，則，故.故選：C.3.某市質(zhì)量檢測部門從轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個(gè)地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機(jī)抽取9家企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標(biāo)對抽到的企業(yè)進(jìn)行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉圖．由莖葉圖所給信息，可判斷以下結(jié)論中正確是（）A.若，則甲地區(qū)考核得分的極差大于乙地區(qū)考核得分的極差B.若，則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)C.若，則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差D.若，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)〖答案〗C〖解析〗對于A：甲地區(qū)考核得分的極差為，乙地區(qū)考核得分的極差為，即甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差，故A錯(cuò)誤；對于B：甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為，即甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：甲地區(qū)考核得分從小到大排列為：75，78，81，84，85，88，92，93，94乙地區(qū)考核得分從小到大排列為：74，77，80，83，84，87，91，95，99由以上數(shù)據(jù)可知，乙地區(qū)考核得分的波動程度比甲地區(qū)考核得分的波動程度大，即甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差，故C正確；對于D：由莖葉圖可知，甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C4.已知向量，滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，，所以，，則為銳角，得，則.故選：D5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是〖答案〗C〖解析〗由得，∴數(shù)列為遞減等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，∴有最大值，最大值.故選：C.6.圖形是信息傳播?互通的重要的視覺語言《畫法幾何》是法國著名數(shù)學(xué)家蒙日的數(shù)學(xué)巨著，該書在投影的基礎(chǔ)上，用“三視圖”來表示三維空間中立體圖形.其體來說.做一個(gè)幾何的“三視圖”，需要觀測者分別從幾何體正面?左面?上面三個(gè)不同角度觀察，從正投影的角度作圖.下圖中粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，且網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖知幾何體為一側(cè)棱垂直底面，底面為直角三角的三棱錐，且由網(wǎng)格紙知同一頂點(diǎn)互相垂直的三條棱的長為4，如圖，所以三棱錐的外接球即為三棱錐所在的棱長為4的正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則,所以外接球的表面積，故選：C7.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，，，滿足循環(huán)條件，，……，，不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.平面平面 B.C. D.平面〖答案〗C〖解析〗對于A選項(xiàng)，由分別為所在棱的中點(diǎn)得，由正方體的性質(zhì)易知，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，為下底面的中心，故為的中點(diǎn)，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，由B選項(xiàng)知，則有，令一方面，由正方體的性質(zhì)知為直角三角形，，所以，不滿足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，由正方體的性質(zhì)易知，所以，平面，平面，所以平面，故D選項(xiàng)正確.故選：C9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．橢圓在第一象限存在點(diǎn)，使得，直線與軸交于點(diǎn)，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，又由橢圓定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即（負(fù)值已舍）．故選：B．10.已知函數(shù)的最小正周期為π，則下列說法不正確的是（）A.B.的單調(diào)遞增區(qū)間為，（）C.將的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于y軸對稱D.〖答案〗B〖解析〗對于A：因?yàn)椋?，故A正確；對于B：，令，，解得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，故B錯(cuò)誤；對于C：將圖像向左平移個(gè)單位得到，關(guān)于y軸對稱，故C正確；對于D：，所以D正確；故選：B．11.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以直線的斜率的最大值為.故選：A12.已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（）A.21 B.22 C. D.〖答案〗C〖解析〗∵為偶函數(shù)且，則，故關(guān)于點(diǎn)對稱，又∵，則，則是以周期為4的周期函數(shù)，故關(guān)于點(diǎn)對稱，∴，則，又∵，則，故.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______________.〖答案〗4〖解析〗由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示，則，，，設(shè)點(diǎn)，，其中P在可行域內(nèi)，∴，由圖可知，當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí)，直線PD斜率最大，∴.故〖答案〗為：4.14.已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有______________條.〖答案〗7〖解析〗圓：的圓心為，半徑，直線的方程化為，則直線過定點(diǎn)，有，即點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓恒相交，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最短為，當(dāng)過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長為10，因此直線被圓所截弦長的取值范圍為，因?yàn)橄议L為整數(shù)，則弦長的取值為7，8，9，10，由圖的對稱性知，弦長為7，8，9的弦各有兩條，所以滿足弦長為整數(shù)的直線有7條.故〖答案〗為：715.若從區(qū)間內(nèi)，任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于45°的概率為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于45°，則或，解得或.由幾何概型可知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于45°的概率為.故〖答案〗為：.16.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，令，則______．〖答案〗31〖解析〗已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，則，故，，所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，0.5為公差的等差數(shù)列，則.故〖答案〗為：31.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，求c的取值范圍．解：（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線.（1）證明：直線平面.（2）若在直線上且為銳角，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.（1）證明：分別是的中點(diǎn)，,平面,平面平面平面，平面平面.平面平面，平面平面，平面平面.平面（2）解：是的中位線，又，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)楣蚀藭r(shí)以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，令平面的法向量為則令則令平面的法向量為則令則因?yàn)?，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.19.某國家網(wǎng)球隊(duì)為了預(yù)選2024年奧運(yùn)會的參賽選手，預(yù)計(jì)在國家隊(duì)選拔一批隊(duì)員做特訓(xùn)．選拔過程中，記錄了某隊(duì)員的40局接球成績，每局發(fā)100個(gè)球，該隊(duì)員每接球成功得1分，否則得0分，且每局結(jié)果相互獨(dú)立，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）結(jié)合直方圖，估算該隊(duì)員40局接球成績的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若該隊(duì)員的接球訓(xùn)練成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求的值；（3）為了營造競技氛圍，隊(duì)員間相互比賽．一局比賽中發(fā)球方連續(xù)發(fā)100個(gè)球，若接球方得分達(dá)到80分，則接球方獲勝，否則發(fā)球方獲勝．若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束，記比賽的局?jǐn)?shù)為Y．以頻率分布直方圖中該隊(duì)員獲勝的頻率作為概率，求均值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，．解：（1）由頻率分布直方圖可得隊(duì)員甲的平均分．（2）由題意可知，，則，，所以．（3）由頻率分布直方圖可知，在一局中，某隊(duì)員得分達(dá)到80分的概率為，由題意可知，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為3，4，5，，，，所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y345P因此，．20.已知雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線C的方程；（2）若A，B為雙曲線左、右頂點(diǎn)，，若MA與C的另一交點(diǎn)為P，MB與C的另一交點(diǎn)為Q（P與A，Q與B均不重合）求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．（1）解：由題意可知，解得,故雙曲線C的方程為．（2）證明：①A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，又當(dāng)時(shí)，可得，，，又點(diǎn)P在雙曲線上，∴，∴．設(shè)，，：，與雙曲線C的方程聯(lián)立得，，，，，解得，此時(shí)滿足，∴直線PQ恒過點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，P與B重合，Q與A重合，此時(shí)直線PQ的方程為．綜上，直線PQ恒過點(diǎn)．21.已知函數(shù).（1）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)和有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，令，得（舍負(fù)）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.根據(jù)題意的取值范圍為.（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線，則，，代入得.問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，.問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.由知，故.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，的最小值等價(jià)于.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）說明是什么曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，是否存在實(shí)數(shù)b，使與的公共點(diǎn)都在上，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由消去參數(shù)t得到的普通方程為，因此曲線是以為圓心，b為半徑的圓；將代入的普通方程中，得的極坐標(biāo)方程為，所以曲線是以為圓心，b為半徑的圓，其極坐標(biāo)方程為.（2）曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組，消去整理得，把代入的方程中，得，把代入，得，而，解得，所以存在實(shí)數(shù)，使與的公共點(diǎn)都在上．選修4－5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：因?yàn)?，則，由可得.①當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí).綜上所述，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：要證，即證.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，，，因?yàn)?，其中為銳角，且，所以，，所以，恒成立，故.甘肅省張掖市2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，解得，即，則，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故，則，即，由，得，結(jié)合，解得，則，故.故選：C.3.某市質(zhì)量檢測部門從轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個(gè)地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機(jī)抽取9家企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標(biāo)對抽到的企業(yè)進(jìn)行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉圖．由莖葉圖所給信息，可判斷以下結(jié)論中正確是（）A.若，則甲地區(qū)考核得分的極差大于乙地區(qū)考核得分的極差B.若，則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)C.若，則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差D.若，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)〖答案〗C〖解析〗對于A：甲地區(qū)考核得分的極差為，乙地區(qū)考核得分的極差為，即甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差，故A錯(cuò)誤；對于B：甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為，即甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：甲地區(qū)考核得分從小到大排列為：75，78，81，84，85，88，92，93，94乙地區(qū)考核得分從小到大排列為：74，77，80，83，84，87，91，95，99由以上數(shù)據(jù)可知，乙地區(qū)考核得分的波動程度比甲地區(qū)考核得分的波動程度大，即甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差，故C正確；對于D：由莖葉圖可知，甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C4.已知向量，滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，，所以，，則為銳角，得，則.故選：D5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是〖答案〗C〖解析〗由得，∴數(shù)列為遞減等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，∴有最大值，最大值.故選：C.6.圖形是信息傳播?互通的重要的視覺語言《畫法幾何》是法國著名數(shù)學(xué)家蒙日的數(shù)學(xué)巨著，該書在投影的基礎(chǔ)上，用“三視圖”來表示三維空間中立體圖形.其體來說.做一個(gè)幾何的“三視圖”，需要觀測者分別從幾何體正面?左面?上面三個(gè)不同角度觀察，從正投影的角度作圖.下圖中粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，且網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖知幾何體為一側(cè)棱垂直底面，底面為直角三角的三棱錐，且由網(wǎng)格紙知同一頂點(diǎn)互相垂直的三條棱的長為4，如圖，所以三棱錐的外接球即為三棱錐所在的棱長為4的正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則,所以外接球的表面積，故選：C7.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，，，滿足循環(huán)條件，，……，，不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.平面平面 B.C. D.平面〖答案〗C〖解析〗對于A選項(xiàng)，由分別為所在棱的中點(diǎn)得，由正方體的性質(zhì)易知，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，為下底面的中心，故為的中點(diǎn)，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，由B選項(xiàng)知，則有，令一方面，由正方體的性質(zhì)知為直角三角形，，所以，不滿足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，由正方體的性質(zhì)易知，所以，平面，平面，所以平面，故D選項(xiàng)正確.故選：C9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．橢圓在第一象限存在點(diǎn)，使得，直線與軸交于點(diǎn)，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，又由橢圓定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即（負(fù)值已舍）．故選：B．10.已知函數(shù)的最小正周期為π，則下列說法不正確的是（）A.B.的單調(diào)遞增區(qū)間為，（）C.將的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于y軸對稱D.〖答案〗B〖解析〗對于A：因?yàn)?，∴，故A正確；對于B：，令，，解得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，故B錯(cuò)誤；對于C：將圖像向左平移個(gè)單位得到，關(guān)于y軸對稱，故C正確；對于D：，所以D正確；故選：B．11.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以直線的斜率的最大值為.故選：A12.已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（）A.21 B.22 C. D.〖答案〗C〖解析〗∵為偶函數(shù)且，則，故關(guān)于點(diǎn)對稱，又∵，則，則是以周期為4的周期函數(shù)，故關(guān)于點(diǎn)對稱，∴，則，又∵，則，故.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______________.〖答案〗4〖解析〗由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示，則，，，設(shè)點(diǎn)，，其中P在可行域內(nèi)，∴，由圖可知，當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí)，直線PD斜率最大，∴.故〖答案〗為：4.14.已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有______________條.〖答案〗7〖解析〗圓：的圓心為，半徑，直線的方程化為，則直線過定點(diǎn)，有，即點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓恒相交，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最短為，當(dāng)過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長為10，因此直線被圓所截弦長的取值范圍為，因?yàn)橄议L為整數(shù)，則弦長的取值為7，8，9，10，由圖的對稱性知，弦長為7，8，9的弦各有兩條，所以滿足弦長為整數(shù)的直線有7條.故〖答案〗為：715.若從區(qū)間內(nèi)，任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于45°的概率為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于45°，則或，解得或.由幾何概型可知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于45°的概率為.故〖答案〗為：.16.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，令，則______．〖答案〗31〖解析〗已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，則，故，，所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，0.5為公差的等差數(shù)列，則.故〖答案〗為：31.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大??；（2）若，求c的取值范圍．解：（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線.（1）證明：直線平面.（2）若在直線上且為銳角，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.（1）證明：分別是的中點(diǎn)，,平面,平面平面平面，平面平面.平面平面，平面平面，平面平面.平面（2）解：是的中位線，又，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)楣蚀藭r(shí)以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，令平面的法向量為則令則令平面的法向量為則令則因?yàn)?，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.19.某國家網(wǎng)球隊(duì)為了預(yù)選2024年奧運(yùn)會的參賽選手，預(yù)計(jì)在國家隊(duì)選拔一批隊(duì)員做特訓(xùn)．選拔過程中，記錄了某隊(duì)員的40局接球成績，每局發(fā)100個(gè)球，該隊(duì)員每接球成功得1分，否則得0分，且每局結(jié)果相互獨(dú)立，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）結(jié)合直方圖，估算該隊(duì)員40局接球成績的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若該隊(duì)員的接球訓(xùn)練成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求的值；（3）為了營造競技氛圍，隊(duì)員間相互比賽．一局比賽中發(fā)球方連續(xù)發(fā)100個(gè)球，若接球方得分達(dá)到80分，則接球方獲勝，否則發(fā)球方獲勝．若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束，記比賽的局?jǐn)?shù)為Y．以頻率分布直方圖中該隊(duì)員獲勝的頻率作為概率，求均值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，．解：（1）由頻率分布直方圖可得隊(duì)員甲的平均分．（2）由題意可知，，則，，所以．（3）由頻率分布直方圖可知，在一局中，某隊(duì)員得分達(dá)到80分的概率為，由題意可知，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為3，4，5，，，，所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y345P因此，．20.已知雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．（1）