2023屆陜西省高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(二)數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）（二）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1陜西省2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(二)數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，因此它的子集個(gè)數(shù)為4．故選：D．2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（）A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1〖答案〗B〖解析〗由，解得，故選：B.3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，則平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若，，則相交或平行；對于C，若，，，則平行或異面或相交，故C錯(cuò)誤；對于D，若，，則，又，則，故D正確.故選：D.4.某興趣小組有名男生和名女生，現(xiàn)從中任選名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中名女生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記名男生分別為、，記名女生分別為、、，從中任選名學(xué)生去參加活動(dòng)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“恰好選中名女生”所包含的基本事件有：、、，共種，故所求概率為.故選：C.5.短道速滑隊(duì)6名隊(duì)員(含賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊(duì)員在內(nèi))進(jìn)行冬奧會(huì)選拔，記“甲得第一名”為p，“乙得第二名”為q，“丙得第三名”為r，若是真命題，是假命題，是真命題，則選拔賽的結(jié)果為()A.甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B.甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C.甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D.甲得第一名，乙沒得第二名，丙得第三名〖答案〗D〖解析〗若是真命題，是假命題，則p和q一真一假；若是真命題，則q是假命題，r是真命題；綜上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名”.故選：D.6.已知向量，，若∥，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得，，∵∥，∴，解得，故選：.7.我國明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個(gè)求解算法，則輸出的的值為（）A.25 B.45 C.55 D.75〖答案〗D〖解析〗執(zhí)行程序框圖：，，，，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，退出循環(huán)，輸出.故選：D.8.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，．則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.圖象的對稱軸方程為（）C.的單調(diào)遞減區(qū)間為（）D.的解集為（）〖答案〗D〖解析〗對A：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，令（）得（），即的圖象的對稱軸方程為（），故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：令（）得（），即單調(diào)遞減區(qū)間為（），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對D：令，得，所以（），解得（），所以的解集為（），故選項(xiàng)D正確．故選：D．9.已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（）A.3 B. C. D.6〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，所以有，由為偶函數(shù)可得：，故有即，，故，所以周期，故故選：A10.已知三棱錐中，，，D是的中點(diǎn)，平面ABC，點(diǎn)P，A，B，C在球心為O的球面上，若三棱錐的體積是，則球O的半徑為（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗三棱錐的體積,則，則的外接圓的圓心為的中點(diǎn),又平面ABC，所以三棱錐的外接球的球心在直線上，如圖，三棱錐的外接球的半徑為，連接,則,在直角三角形中，，即，解得故選：D.11.如圖，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于是面積為的正三角形，過點(diǎn)作軸于，則為的中點(diǎn)，所以，，所以，解得，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，即，解得，，，，故選：B．12.已知集合，．若存在，，使，則稱函數(shù)與互為“度零點(diǎn)函數(shù)”．若函數(shù)與函數(shù)互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得，設(shè)其解為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，所以，解得，由，得，時(shí)有解，令，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，有，又由已知，得，所以.故〖答案〗為：.14.已知曲線在處的切線方程為，則_________，_________．〖答案〗〖解析〗易知由題意可得當(dāng)時(shí)，，所以故〖答案〗為：1；15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由正弦定理，得．，，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)樗运裕矗驗(yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．故〖答案〗為：16.如圖，兩個(gè)橢圓、內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線是曲線上的任意一點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：①到、、、四點(diǎn)的距離之和為定值；②曲線關(guān)于直線均對稱；③曲線所圍區(qū)域面積必小于36．④曲線總長度不大于6π．上述判斷中正確命題的序號(hào)為________________．〖答案〗②③〖解析〗對于①，考慮點(diǎn)不是交點(diǎn)的情況，若點(diǎn)在橢圓上，到、兩點(diǎn)的距離之和為定值10、到、兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故錯(cuò)；對于②，兩個(gè)橢圓關(guān)于直線均對稱，曲線關(guān)于直線均對稱，故正確；對于③，因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的短半軸長均為3，故曲線所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故正確；對于④，因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的短半軸長均為3，故曲線所圍區(qū)域在半徑為3的圓外部，所以曲線的總長度大于圓的周長：6π，故錯(cuò)誤；綜上可得：上述判斷中正確命題的序號(hào)為②③．故〖答案〗為：②③．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.請?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答.（1）解：根據(jù)題意，因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，即得，設(shè)公差為，則有，，，又因?yàn)?，，?gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以，即，解之可得，或（舍去），所以，即得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故可得，且由題可得，，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得，（2）解：若選①，則，則①，在上式兩邊同時(shí)乘以2可得，②，①②可得，，即得；若選②，則，則；若選③，則，則所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由上可得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上可得，．18.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，∠BCD=，AD=CD=2，過點(diǎn)A作AE⊥AB，交BC于E（如圖）．現(xiàn)沿AE將△ABE折起，使得BC⊥DE，得四棱錐B-AECD（如圖）．（1）求證：平面BDE⊥平面ABC；（2）若側(cè)棱BC上的點(diǎn)F滿足FC=2BF，求三棱錐B-DEF的體積．（1）證明：在△ABE中，∵AB⊥AE，∠ABC=，∴∠BEA=，又∠BCD=，∴AE∥CD，又AD∥CE，AD=CD，∴四邊形ADCE是菱形，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）解：由（1）知DE⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴DE⊥AB，又AB⊥AE，AE∩DE=E，∴AB⊥平面ADCE，∵AE=CD=2，∠ABC=，∠BAE=，∴AB=2，又S△CDE==，∴VB-CDE=S△CDE?AB==2．∵FC=2BF，∴VB-DEF=VB-CDE=．19.對一批產(chǎn)品的長度（單位：mm）進(jìn)行抽樣檢測，檢測結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間上的為一等品，在區(qū)間和區(qū)間上的為二等品，在區(qū)間和上的為三等品．（1）用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求其為二等品的概率；（2）已知檢測結(jié)果為一等品的有6件，現(xiàn)隨機(jī)從三等品中有放回地連續(xù)取兩次，每次取1件，求取出的2件產(chǎn)品中恰有1件的長度在區(qū)間上的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可得：檢測結(jié)果在區(qū)間上的頻率/組距為：，所以檢測結(jié)果在區(qū)間和區(qū)間上的頻率為：，用頻率估計(jì)概率，故二等品的概率為：0.45；（2）由頻率分布直方圖可得：檢測一等品的概率為，而抽檢件數(shù)為6，故抽檢總數(shù)為.故檢測長度在區(qū)間和上的數(shù)量分別為：，，所以取出的2件產(chǎn)品中恰有1件的長度在區(qū)間上的概率.20.已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)P，M，N為橢圓C上三點(diǎn)，若四邊形OPMN為平行四邊形，證明四邊形OPMN的面積S為定值，并求該定值．解：（1）因?yàn)闄E圓()的離心率為，所以，得，①，又點(diǎn)在橢圓上，所以，②，聯(lián)立①、②得，且，所以橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為或，從而有，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為()，，；將的方程代入整理得，所以，，.由，得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，又點(diǎn)到直線的距離為，，，綜上可知，平行四邊形的面積為定值.21.已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明：．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榱?，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，得；（2）證明：因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，則在定義域內(nèi)不單調(diào)；由當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上有，在上有，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設(shè)令則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增所以，故，因?yàn)樗裕?，則，又在上單調(diào)遞減，所以，則．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，曲線與相交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，求的值．解：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），整理得，轉(zhuǎn)換為普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為；（2）把直線轉(zhuǎn)換為（為參數(shù)），代入，得到：，所以，，所以．不等式選講23.已知函數(shù)的最小值為m.（1）畫出函數(shù)的圖象，利用圖象寫出函數(shù)最小值m；（2）若，且，求證：.解：（１）,圖象如圖所示：由圖可知當(dāng)時(shí)取得最小值.（2）由題意得.,,三式相加并整理得：,兩邊同時(shí)加：，并配方得，成立.陜西省2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(二)數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，因此它的子集個(gè)數(shù)為4．故選：D．2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（）A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1〖答案〗B〖解析〗由，解得，故選：B.3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，則平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若，，則相交或平行；對于C，若，，，則平行或異面或相交，故C錯(cuò)誤；對于D，若，，則，又，則，故D正確.故選：D.4.某興趣小組有名男生和名女生，現(xiàn)從中任選名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中名女生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記名男生分別為、，記名女生分別為、、，從中任選名學(xué)生去參加活動(dòng)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“恰好選中名女生”所包含的基本事件有：、、，共種，故所求概率為.故選：C.5.短道速滑隊(duì)6名隊(duì)員(含賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊(duì)員在內(nèi))進(jìn)行冬奧會(huì)選拔，記“甲得第一名”為p，“乙得第二名”為q，“丙得第三名”為r，若是真命題，是假命題，是真命題，則選拔賽的結(jié)果為()A.甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B.甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C.甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D.甲得第一名，乙沒得第二名，丙得第三名〖答案〗D〖解析〗若是真命題，是假命題，則p和q一真一假；若是真命題，則q是假命題，r是真命題；綜上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名”.故選：D.6.已知向量，，若∥，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得，，∵∥，∴，解得，故選：.7.我國明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個(gè)求解算法，則輸出的的值為（）A.25 B.45 C.55 D.75〖答案〗D〖解析〗執(zhí)行程序框圖：，，，，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，退出循環(huán)，輸出.故選：D.8.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，．則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.圖象的對稱軸方程為（）C.的單調(diào)遞減區(qū)間為（）D.的解集為（）〖答案〗D〖解析〗對A：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，令（）得（），即的圖象的對稱軸方程為（），故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：令（）得（），即單調(diào)遞減區(qū)間為（），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對D：令，得，所以（），解得（），所以的解集為（），故選項(xiàng)D正確．故選：D．9.已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（）A.3 B. C. D.6〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，所以有，由為偶函數(shù)可得：，故有即，，故，所以周期，故故選：A10.已知三棱錐中，，，D是的中點(diǎn)，平面ABC，點(diǎn)P，A，B，C在球心為O的球面上，若三棱錐的體積是，則球O的半徑為（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗三棱錐的體積,則，則的外接圓的圓心為的中點(diǎn),又平面ABC，所以三棱錐的外接球的球心在直線上，如圖，三棱錐的外接球的半徑為，連接,則,在直角三角形中，，即，解得故選：D.11.如圖，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于是面積為的正三角形，過點(diǎn)作軸于，則為的中點(diǎn)，所以，，所以，解得，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，即，解得，，，，故選：B．12.已知集合，．若存在，，使，則稱函數(shù)與互為“度零點(diǎn)函數(shù)”．若函數(shù)與函數(shù)互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得，設(shè)其解為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，所以，解得，由，得，時(shí)有解，令，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，有，又由已知，得，所以.故〖答案〗為：.14.已知曲線在處的切線方程為，則_________，_________．〖答案〗〖解析〗易知由題意可得當(dāng)時(shí)，，所以故〖答案〗為：1；15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由正弦定理，得．，，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)樗运裕矗驗(yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．故〖答案〗為：16.如圖，兩個(gè)橢圓、內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線是曲線上的任意一點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：①到、、、四點(diǎn)的距離之和為定值；②曲線關(guān)于直線均對稱；③曲線所圍區(qū)域面積必小于36．④曲線總長度不大于6π．上述判斷中正確命題的序號(hào)為________________．〖答案〗②③〖解析〗對于①，考慮點(diǎn)不是交點(diǎn)的情況，若點(diǎn)在橢圓上，到、兩點(diǎn)的距離之和為定值10、到、兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故錯(cuò)；對于②，兩個(gè)橢圓關(guān)于直線均對稱，曲線關(guān)于直線均對稱，故正確；對于③，因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的短半軸長均為3，故曲線所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故正確；對于④，因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的短半軸長均為3，故曲線所圍區(qū)域在半徑為3的圓外部，所以曲線的總長度大于圓的周長：6π，故錯(cuò)誤；綜上可得：上述判斷中正確命題的序號(hào)為②③．故〖答案〗為：②③．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.請?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答.（1）解：根據(jù)題意，因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，即得，設(shè)公差為，則有，，，又因?yàn)?，，?gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以，即，解之可得，或（舍去），所以，即得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故可得，且由題可得，，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得，（2）解：若選①，則，則①，在上式兩邊同時(shí)乘以2可得，②，①②可得，，即得；若選②，則，則；若選③，則，則所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由上可得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上可得，．18.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，∠BCD=，AD=CD=2，過點(diǎn)A作AE⊥AB，交BC于E（如圖）．現(xiàn)沿AE將△ABE折起，使得BC⊥DE，得四棱錐B-AECD（如圖）．（1）求證：平面BDE⊥平面ABC；（2）若側(cè)棱BC上的點(diǎn)F滿足FC=2BF，求三棱錐B-DEF的體積．（1）證明：在△ABE中，∵AB⊥AE，∠ABC=，∴∠BEA=，又∠BCD=，∴AE∥CD，又AD∥CE，AD=CD，∴四邊形ADCE是菱形，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）解：由（1）知DE⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴DE⊥AB，又AB⊥AE，AE∩DE=E，∴AB⊥平面ADCE，∵AE=CD=2，∠ABC=，∠BAE=，∴AB=2，又S△CDE==，∴VB-CDE=S△CDE?AB==2．∵FC=2BF，∴VB-DEF=VB-CDE=．19.對一批產(chǎn)品的長度（單位：mm）進(jìn)行抽樣檢測，檢測結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間上的為一等品，在區(qū)間和區(qū)間上的為二等品，在區(qū)間和上的為三等品．（1）用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求其為二等品的概率；（2）已知檢測結(jié)果為一等品的有6件，現(xiàn)隨機(jī)從三等品中有放回地連續(xù)取兩次，每次取1件，求取出的2件產(chǎn)品中恰有1件的長度在區(qū)間上的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可得：檢測結(jié)果在區(qū)間上的頻率/組距為：，所以檢測結(jié)果在區(qū)間和區(qū)間上的頻率為：，用頻率估計(jì)概率，故二等品的概率為