廣東省茂名市2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)（2a+i）（l+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù)2為（）

11

A.-2B.2C.——D.-

22

2.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數(shù)為（）.

A.432B.576C.696D.960

3.在三棱錐尸—ABC中，ABLBP,ACA.PC,ABA.AC,PB=PC=2^，點P到底面ABC的距離為2,

則三棱錐ABC外接球的表面積為（）

A

A.3兀B.上工C.12萬D.244

4.已知定義在R上的函數(shù)“X）滿足〃％）=/（-力，且在（0,+8）上是增函數(shù)，不等式/（or+2）W/（—1）對于

xe[l,2]恒成立，則”的取值范圍是

D.[0,1]

5.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（

MS

10

T

6.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩

個小球時，記取出的紅球數(shù)為。；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為多，則()

A.監(jiān)〈砥，。。<"2B.碣=%,D&>”2

C.七。=砥，D&<D2D./>%,

7.若i為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)二，則表示復(fù)數(shù)口的點是()

A.EB.FC.GD.H

8.定義域為8的偶函數(shù)人力滿足任意尤eR,有/(x+2)=/(x)—/⑴，且當xe[2,3]時，/(x)=-2x2+12x-18.

若函數(shù))=/(x)-1。8〃*+1)至少有三個零點，則"的取值范圍是()

9.一小商販準備用50元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價4元，乙每件進價7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

TT3

10.在直角中，NC=5，AB=4,AC=2,若AD=jAB,則麗?麗=()

A.-18B.-673C.18D.673

x+y—2?0

v—2

11.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x—2y-2W0,則目標函數(shù)z=2一的最小值為

.x+1

2_5

A.——B.

3~4

41

C.——D.—

32

12.一輛郵車從A地往8地運送郵件，沿途共有〃地，依次記為A，4,…4(A為A地，A“為B地).從A地出

發(fā)時，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各

地的郵件各1件，記該郵車到達吊，…A”各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為4(攵=1,2,則4的表達式為

().

A.k｛n-k+\)B.k(n-Zr-1)C.n(n-k)D.k(n-k)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知正方體二二二二一二，二,二,二,棱長為2,點二是上底面二，二，二，二.內(nèi)一動點，若三棱錐二一二二二的外接球表面積

恰為，一，則此時點-構(gòu)成的圖形面積為.

14.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、8原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，

要求每天消耗46原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的

最大利潤是__________元.

__rr

15.已知向量a=(cos5°,sin5°),b=(cos65°,sin65°),貝!|2a+b=.

lnx,x>1

16.已知函數(shù)/(x)=…，，若則"的取值范圍是—

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)若數(shù)列｛%｝前“項和為｛S“｝,且滿足5“=」-(勺一2)(f為常數(shù)，且

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式：

⑵設(shè)d=l-s“，且數(shù)列也｝為等比數(shù)列，令%=凡|咋.也|,.求證：C1+c2+...+cn<-.

1e

18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=----,其中aGR,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).

xe

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)證明：當x>l時，g(x)>0；

(HI)確定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立.

19.(12分)為增強學(xué)生的法治觀念，營造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”

活動，并組織全校學(xué)生進行法律知識競賽.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名

學(xué)生的競賽成績均在［50,100］內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51515123

（1）將競賽成績在DO,100］內(nèi)定義為“合格”，競賽成績在［50,70）內(nèi)定義為“不合格”.請將下面的2x2列聯(lián)表補充完

整，并判斷是否有95%的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？

合格不合格合計

高一新生12

非高一新生6

合計

（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨

機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率.

匕2：n(ad-bc)2

參考公式及數(shù)據(jù):其中“=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.001

攵02.7063.8416.63510.828

20.（12分）已知三棱錐A-BCD中側(cè)面液與底面BCD都是邊長為2的等邊三角形，且面ABD，面BCD,M.N

分別為線段AZ＞、A5的中點.P為線段BC上的點，且MNLNP.

（1）證明：P為線段BC的中點；

（2）求二面角A—八爐一加的余弦值.

21.（12分）如圖，在四棱柱中，底面A8CD是正方形，平面_L平面ABC。，AD=\,

的=夜.過頂點。，用的平面與棱BC,4。分別交于M，N兩點.

（I）求證：AD±DB］；

（n）求證：四邊形DMB、N是平行四邊形；

（ni）若4。，co,試判斷二面角。一加4一c的大小能否為45。？說明理由.

v-J3COSOL

22.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為（儀為參數(shù)），以原點。為極點，以工軸正

y=sina

7T

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為夕sin（e+/）=2.

6

（1）求曲線G的普通方程與曲線c?的直角坐標方程；

7T

（2）設(shè)A,8為曲線G上位于第一,二象限的兩個動點，且NAOB=萬，射線。8交曲線C2分別于D,C,求MOB

面積的最小值，并求此時四邊形A8C。的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0求得。值.

【詳解】

解：?.?（2a+i）（l+i）=（2a-l）+（2a+l）i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，

.-,2a-1=0,即a」

2

故選D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二

者之一相鄰.

【詳解】

首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有A；種不同排列方式，甲、丁排在一起共有否種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有得種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；

根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數(shù)為A；A；（A；+）=576種.

故選：B.

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.

3.C

【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=Q4=O6=OC,由此可知。為三棱錐外接球的球心，在△EAB中，可以算出AP的

一個表達式，在AQ4G中，可以計算出A0的一個表達式，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進而求出球的表面積.

【詳解】

取AP中點0,由AB工BP,AC_LPC可知：OP=OA=OB=OC,

:.O為三棱錐P-ABC外接球球心，

過P作叨_L平面ABC,交平面ABC于H,連接AH交8c于G,連接。G,HB,HC,

?：PB=PC,：.HB=HC,：.AB=AC,..G為8c的中點

由球的性質(zhì)可知：ABC,S.OG//PH,且OG=，P〃=1.

2

設(shè)AB=x9

QPB=2>/2?.,.4O=；PA=；&+8,

1J2

?.AG=-BC=Jx，..在AOAG中，AG2+OG2=Ofic?

22

即與x+l=(gjf+8),解得：x=2,

三棱錐尸—ABC的外接球的半徑為：AO=g卜+(2⑸=g,4+(2收了=百，

三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4乃史=12乃.

故選：C.

【點睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心

的位置.

4.A

【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在(y),o)上是減函數(shù)，由此可將不等式化為-1?幺+241；利用分

離變量法可3得-上1，求得-三3的最大值和--的1最小值即可得到結(jié)果.

XXXX

【詳解】

=x).?J(x)為定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于)’軸對稱

又“X)在(0,+8)上是增函數(shù).?./(X)在(-8,0)上是減函數(shù)

?.?/(tzr+2)</(-1).,.麻+2區(qū)1,即-4Wax+2Wl

31

TW辦+2W1對于xe［1,2］恒成立----<a<在［1,2］上怛成立

x--------x

33

,即。的取值范圍為：方一1

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單

調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.

5.B

【解析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖:

1112

直三棱柱的體積為一x2x2x2=4,消去的三棱錐的體積為二x：x2xlx2=4,

2323

210

.??幾何體的體積丫=4—不故選B.

33

點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)

鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

6.B

【解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.

【詳解】

&可能的取值為01,2；乙可能的取值為°」，

P（4=0）=。P（*2）[，P侑=l）=lgU，

./t_2八上_2421i244_4

故_9De,=0nx—F2x—F1x-------=一?

13199999

產(chǎn)（芻=0）=四=!，尸仁

v2）3x23v273x23

U,r'g2^21]2242

故￡■&=_,=0X-+1X-----=一，

-33399

故E。=E&2,D。＞%.故選B.

【點睛】

離散型隨機變量的分布列的計算，應(yīng)先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值

情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.

7.C

【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點Z的坐標為所以z=-l+i,然后將z=-l+i代入劣化簡后可找到其對應(yīng)的點.

Z

【詳解】

由z=-l+i,所以」=-7^=，(一1一，)=1一/，對應(yīng)點G.

z—1+z

故選:C

【點睛】

此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

由題意可得Ax)的周期為2,當xe[2,3]時，/(幻=_2/+12》-18,令g(x)=log“(x+l),則/(x)的圖像和g(x)

的圖像至少有3個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g(2)>/(2),求得”的取值范圍.

【詳解】

/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，滿足任意xeR,

/(x+2)=/(x)-/(I)，令x=-1,/(I)=/(-I)-/(I),

又/(-I)=/(I),二/(D=0,又x+2)=f(x),

???/(x)為周期為2的偶函數(shù)，

當xe[2,3]時，f(x)=-2X2+12X-18=-2(X-3)2,

當xG[0川,x+2w[2,3],f(x)=/(x+2)=-2(x-1)2,

當xe[-1,0],-xe[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+l)2,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示：

函數(shù)V=/(x)-log“(x+1)至少有三個零點，

則/(刈的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

-.-f(x)<0,若4>1,

fM的圖像和g(x)的圖像只有1個交點，不合題意，

所以0<a<1,/(x)的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

則有g(shù)(2)>/(2),即log,,(2+1)>/(2)=-2,.-.log,3>-2,

—->3,4/"<一,0<<2<1,0<61<?

a233

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.

9.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

4%+7y<50,

設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別X,y利潤為z元，由題意—z=x+1.8y,

畫出可行域如圖所示，

【點睛】

本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷“，是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出

可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得ssNC4B=，=一,再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量

AB2

積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值.

【詳解】

TT

在直角AABC中，ZC=-,A8=4,AC=2,,

2

AC1

cos^.CAB-——f

AB2

__3__

若則①?通=（而—記）?（麗一衣）=而?麗—亞?/一前?通+/2

3—23—————2351

=-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故選C.

【點睛】

本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題.

11.B

【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標函數(shù)2=好的幾何意義為動點M（x,y）到定點。（-1,2）的斜率，利用數(shù)形結(jié)

合即可得到z的最小值.

【詳解】

解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:

目標函數(shù)z=m的幾何意義為動點M(x,y)到定點D(-l,2)的斜率，

當M位于囚(1,一!)時，此時OA的斜率最小，此時，_~2~2_5.

故選B.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

12.D

【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第攵站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，該郵車到第攵站時，一共裝上了5-1)+5-2)+……(〃一行=包二號2型件郵件，

需要卸下1+2+3+……(k-l)="x(；-D件郵件,

MU(2n-l-k)xkkx(k-l)

貝！Jak=---------------------------——=%(〃-k),

故選：D.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

【解析】

設(shè)三棱錐二一二二二的外接球為球二，分別取二二、二二;的中點二、二;，先確定球心二在線段二二和二，,二.中點的連線上,

先求出球-的半徑-的值，然后利用勾股定理求出--的值，于是得出-----,再利用勾股定理求出點-在

-------1~~—/——-

上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案.

【詳解】

如圖所示，設(shè)三棱錐二一二二二的外接球為球二，

分別取二二、二二;的中點二、二;，則點二在線段二二,上，

由于正方體-----,的棱長為2,

————一;一;1;一;

貝！I,一一一的外接圓的半徑為--_、了,

設(shè)球-的半徑為-，則，，解得

--_，-一;_=--_，

"TjLJ-

44

所以，__________

而點二在上底面二二，二兀，,所形成的軌跡是以二,，為圓心的圓,

因此，點二所構(gòu)成的圖形的面積為二X二，二；=二?

,、I

'小、

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡，屬于中檔題.

14.1元

設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為X桶，）'桶，利潤為z元

x+2y<12

則根據(jù)題意可得<2x+y<l2

x,y>0且x,y&N

目標函數(shù)z=3（）0x+400），，作出可行域，如圖所示

作直線L：3x+4y=0,然后把直線向可行域平移，

由圖象知當直線經(jīng)過A時，目標函數(shù)z=300x+400），的截距最大，此時z最大,

x+2y=12x=4

可得《，即A(4,4)

2x+2y=4

此時z最大z=300x4+400x4=2800,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1.

【點睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識進行求解是

解決本題的關(guān)鍵.

is.V7

【解析】

求出問,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運算計算.

【詳解】

由題意得=cos?5°+sin25°=1，|°|--cos265°+sin265°=1>|耳=L

—?—?..[/—?~--*2

:.a.b=cos50cos650+sin50sin65°=cos60°=—,二.+=4Q+4Q?0+〃=4+4x—+1=7,

囚+q=V7.

故答案為：幣.

【點睛】

本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

的運算.

16.r0,l]u[e,+oo)

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求出?的取值范圍.

【詳解】

當a>l時，ina..1,

a..e,

當%1時，30..1,

所以既必1,

故”的取值范圍是u[e,+8).

故答案為：

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍，還涉及對數(shù)和指數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

tt詳見解析

17.（1）an=2t（2）

【解析】

（D利用怎=S“一可得｛4｝的遞推關(guān)系，從而可求其通項.

（2）由也｝為等比數(shù)列可得年;，從而可得匕｝的通項，利用錯位相減法可得｛%｝的前八項和，利用不等式的性質(zhì)

可-證3

C[+c2+...+c：<—.

【詳解】

（1）由題意，得：5“=」一（?！耙?）（，為常數(shù)，且/工0"01）,

Z—1

當〃=1時，得岳==（4一2）,得％=2/.

S”=看（4-2）

由一,

L

^-I=77（?n-1-2）（?>2）

，一1

故S〃一S,i=4=^--（a-a_）,a-ta_（n>2）,故a”=2〃.

t-Innxnn]

（2）由b,=l—S,=l—六（2/一2）=1—言（，一1）,

由也｝為等比數(shù)列可知：用=姑3,又1=1-2/也=1-2/-2/也=1-2/-2產(chǎn)一2戶,故

（1一2f-2/丫=（1_2，）（1一2/-2/-2/）,化簡得到6-=2『,

所以f=:或/=（）（舍）.

3

所以，"七V）'"=三7，則%=2御嗚（1/Y下2n。

設(shè)匕｝的前〃項和為人則北=|■+1+...+!?

+…+至，相減可得

-3---2--〃-+--3<一3

T“=q+。2+…+。"

22-3"2

【點睛】

S-\

數(shù)列的通項｛4｝與前〃項和s.的關(guān)系式為=<"_n,我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)｛。.｝與s”之間的相互轉(zhuǎn)

。"一>>?_],n>Z

化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列

與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符

號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.

18.(I)當xe(0,-yL)時，/'U)<0,f(x)單調(diào)遞減；當xe(-yL,+8)時，/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；(II)

\j2ayJ2a

詳見解析；(皿)ae[1,+?>).

2

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能

力和計算能力.第(I)問，對/*)求導(dǎo)，再對a進行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第(II)問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單

調(diào)性，從而證明結(jié)論，第(山)問，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)(x>l),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)〃(無)的單調(diào)性，從而

求解a的值.

試題解析：(I)f\x)=2ax--=2aX'-1(x>0).

XX

當aK0時，/'(x)<0,/(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減.

當a>0時,由/'(X)=0有x=—f==.

72a

當XG(0,/=)時,/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當xe(吉,+8)時，f(x)單調(diào)遞增.

(U)令s(x)=eAi-x,則s'(x)=e*T-1.

當x>l時，s'(x)>o,所以e*T>x,從而g(x)=!一一］>0.

xe

cm)由(in,當%>i時，g(x)>o.

當aWO,x>l時，/(x)=a(x2-l)-lnx<0.

故當fM>g(x)在區(qū)間。，+8)內(nèi)恒成立時，必有a〉0.

11

當°<"5時’扃"

由(I)有/(￡)</(i)=o,而g(《)〉o,

72cl\J2a

所以此時A%)>g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)不恒成立.

當時，令/z(x)=,f(x)-g(x)(x>l).

、t,.q/，/、c111-x111d—2x+1—2x+1

當x>l時，h(x)=2,ax---1—z■—e>x----1—；---=-----s--->-----s--->0.

xxxxxxx

因此，奴外在區(qū)間(1，+8)單調(diào)遞增.

又因為/?⑴=0,所以當x>l時，〃。)=/(幻一g(x)>0,即/(x)>g(x)恒成立.

綜上，ae[1,+oo).

【考點】導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題

【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的

能力和計算能力.求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求了'(x),解方程/'(幻=0,再通過了'(x)的正負確定f(x)的單調(diào)性;

要證明不等式f(x)>g(x),一般證明f(x)-g(x)的最小值大于0,為此要研究函數(shù)/?(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)性.本

題中注意由于函數(shù)〃。)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎，學(xué)生不易想到,

有一定的難度.

3

19.(1)見解析；(2)P=—

10

【解析】

(1)補充完整的2x2列聯(lián)表如下:

合格不合格合計

高一新生121426

非高一新生18624

合計302050

則K2的觀測值八國■鬻J等4327>3.841,

所以有95%的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān).

(2)抽取的5名學(xué)生中競賽成績合格的有30x卷=3名學(xué)生，記為a,b,c,

競賽成績不合格的有20x卷=2名學(xué)生，記為機,八，

從這5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生的基本事件有：cib.ac\be,am,an,bm,bn,,nm,共10種，

這2名學(xué)生競賽成績都合格的基本事件有：ab,ac,bc,共3種，

3

所以這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率為P=方.

20.(1)見解析：(2)典

5

【解析】

(1)設(shè)。為BD中點,連結(jié)。4,OC,先證明BD1AC,可證得BD1NP,假設(shè)P不為線段BC的中點，可得BD±

平面ABC,這與N￡IBC=60°矛盾，即得證；

(2)以。為原點，以O(shè)B,OC,分別為％，Vz軸建立空間直角坐標系，分別求解平面ANP,平面MNP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【詳解】

(1)設(shè)。為8。中點，連結(jié)04OC.

AOA±BD,OC±BD,

又。4noe=。

???比）_L平面。AC,

ACu平面。4C,

:.BD1AC.

又M,N分別為ADA8中點,

MNUBD,又MNLNP,

：.BDLNP.

假設(shè)「不為線段BC的中點，

則NP與AC是平面內(nèi)ABC內(nèi)的相交直線，

從而BD_1_平面ABC,

這與ND3C=60°矛盾，所以P為線段BC的中點.

(2)以。為原點，由條件面A3Z)_L面8QD,

：.AOVOC,以QB,OC,Q4分別為X，Vz軸建立空間直角坐標系,

則A(0,0,石),fl演〕

M--,0,92,N-,0,

2J、2

麗Jo,—立,

,麗=(1,0,0).

2

設(shè)平面ANP的法向量為慶=(x,y,z)

1百n

—x----z=0

tn?AN=022

所以__=<

in-PN=0陋邪c

----ydz=0

2-2

取y=i,則z=i,1=百=加=(6,1,1)

同法可求得平面MNP的法向量為n=(0,1,1)

/沅?而2V10

.?"(苑+麗=37T可，

由圖知二面角A—NP—M為銳二面角,

二面角A-NP-M的余弦值為叵.

5

【點睛】

本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

21.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)不能為45°.

【解析】

(1)由平面4。用_L平面ABC。，可得4)，平面耳，從而證明AD_L￡>與；

(2)由平面ABC。與平面ABC。沒有交點，可得DW與N4不相交，又DM與NB1共面,所以DM//NB1,同理

可證。N//MB一得證；(3)作交M用于點E,延長CE交BB】于點F,連接。E,根據(jù)三垂線定理，

確定二面角。-加耳-。的平面角NCE￡>,若NCED=45。,CE=CD=1,由大角對大邊知b<3C=1,兩者矛

盾，故二面角。-的大小不能為45°.

【詳解】

(1)由平面_L平面A3CD,平面4。耳n平面ABCD=CD,

且AD_LC￡),所以4)，平面

又DB?平面AQBI,所以A。，；

(2)依題意。，M,旦，N都在平面。耳上，

因此DM1平面DB],NB[c平面DB],

又。M1平面ABCD,NB、c平面ABCD,

平面4BCD與平面ABCD平行，即兩個平面沒有交點，

則DM與NB]不相交，又DM與Ng共面，

所以。M//NB],同理可證DN/IMB,,

所以四邊形DMB[N是平行四邊形；

(3)不能.如圖，作CE_LM4交Mg于點七，延長CE交8g于點/，連接OE,

由A。LCD,AD±CD,AiDA.AD=D,

所以CD,平面A。。,，則CQ,平面BCC4,又CELMBi，

根據(jù)三垂線定理，得到。ELMA，所以NCED是二面角。-"4-C的平面角，

若NCED=45。，則ACED是等腰直角三角形，CE=CD=1,

又NCFB=NB]EF+ZFB,E=90+ZFB,E>9(),

所以ACEB中，由大角對大邊知CF<3C=1,

所以CE<CF<1,這與上面CE=8=1相