線性代數(shù)第五版答案

第一章行列式1.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式:(1);解=2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2(a-b)(b-c)(c-a).(4).解=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序,求下列各排列的逆序數(shù):(1)1234;解逆序數(shù)為0(2)4132;解逆序數(shù)為4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序數(shù)為5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序數(shù)為3:21,41,43.(5)13×××(2n-1)24×××(2n);解逆序數(shù)為:32(1個(gè))52,54(2個(gè))72,74,76(3個(gè))××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個(gè))(6)13×××(2n-1)(2n)(2n-2)×××2.解逆序數(shù)為n(n-1):32(1個(gè))52,54(2個(gè))××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個(gè))42(1個(gè))62,64(2個(gè))××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1個(gè))3.寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng).解含因子a11a23的項(xiàng)的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列這種排列共有兩個(gè)即24和42所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424.計(jì)算下列各行列式:(1);解.(2);解.(3);解(4).解abcd+ab+cd+ad+1.5.證明:(1)=(a-b)3;證明=(a-b)3.(2);證明.(3);證明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);證明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=2時(shí),,命題成立.假設(shè)對(duì)于(n-1)階行列式命題成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,則Dn按第一列展開有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.因此,對(duì)于n階行列式命題成立.6.設(shè)n階行列式D=det(aij),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn),依次得,,,證明,D3=D.證明因?yàn)镈=det(aij),所以同理可證..7.計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式):(1),其中對(duì)角線上元素都是a,未寫出的元素都是0;解(按第n行展開)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解將第一行乘(-1)分別加到其余各行,得再將各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3);解根據(jù)第6題結(jié)果有此行列式為范德蒙德行列式.(4);解(按第1行展開)再按最后一行展開得遞推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2于是.而所以(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;解aij=|i-j|,(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2×××an10.解8.用克萊姆法則解下列方程組:(1)解因?yàn)樗?,,.(2)解因?yàn)樗?,,,.9.問(wèn)l,m取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解？解系數(shù)行列式為令D=0,得m=0或l=1于是當(dāng)m=0或l=1時(shí)該齊次線性方程組有非零解.10.問(wèn)l取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解？解系數(shù)行列式為=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.令D=0,得l=0,l=2或l=3.于是當(dāng)l=0,l=2或l=3時(shí),該齊次線性方程組有非零解.第二章矩陣及其運(yùn)算1.已知線性變換:求從變量x1x2x3到變量y1y2y3的線性變換.解由已知:故2.已知兩個(gè)線性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換.解由已知所以有3.設(shè),求3AB2A及ATB解4.計(jì)算下列乘積:(1);解(2);解(132231)(10)(3);解(4);解(5);解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)5.設(shè),問(wèn):(1)ABBA嗎?解ABBA因?yàn)樗訟BBA(2)(AB)2A22ABB2嗎?解(AB)2A22ABB2因?yàn)榈?AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2嗎?解(AB)(AB)A2B2因?yàn)槎?AB)(AB)A2B26.舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的:(1)若A20則A0;解取則A20但A0(2)若A2A,則A0或AE;解取則A2A,但A0且AE(3)若AXAY,且A0,則XY.解取則AXAY,且A0,但XY.7.設(shè),求A2A3Ak解8.設(shè),求Ak.解首先觀察用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k2時(shí),顯然成立.假設(shè)k時(shí)成立，則k1時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知:9.設(shè)AB為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)锳TA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB是對(duì)稱矩陣.10.設(shè)AB都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是ABBA證明充分性:因?yàn)锳TABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是對(duì)稱矩陣.必要性:因?yàn)锳TABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11.求下列矩陣的逆矩陣:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因?yàn)?故.(2);解.|A|=110,故A-1存在.因?yàn)?所以.(3);解.|A|=210,故A-1存在.因?yàn)?所以.(4)(a1a2×××an10).解,由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知.12.解下列矩陣方程:(1);解(2);解(3);解(4).解13.利用逆矩陣解下列線性方程組:(1)解方程組可表示為故從而有(2)解方程組可表示為故故有14.設(shè)AkO(k為正整數(shù)),證明(EA)1EAA2Ak1證明因?yàn)锳kO所以EAkE又因?yàn)镋Ak(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時(shí)右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115.設(shè)方陣A滿足A2A2EO,證明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1.證明由A2A2EO得A2A2E,即A(AE)2E或,由定理2推論知A可逆且由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推論知(A2E)可逆且證明由A2A2EO得A2A2E兩端同時(shí)取行列式得|A2A|2即|A||AE|2,故|A|0所以A可逆,而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆.由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116.設(shè)A為3階矩陣,,求|(2A)-1-5A*|.解因?yàn)?所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8′2=-16.17.設(shè)矩陣A可逆,證明其伴隨陣A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.證明由,得A*=|A|A-1,所以當(dāng)A可逆時(shí)有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-110,從而A*也可逆.因?yàn)锳*=|A|A-1,所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明:(1)若|A|0,則|A*|0;(2)|A*||A|n1證明(1)用反證法證明.假設(shè)|A*|0則有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O這與|A*|0矛盾，故當(dāng)|A|0時(shí)有|A*|0(2)由于,則AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0則|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此時(shí)命題也成立因此|A*||A|n119.設(shè),ABA2B求B.解由ABA2E可得(A2E)BA故20設(shè)且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因?yàn)樗?AE)可逆從而21設(shè)Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]12diag(121)22已知矩陣A的伴隨陣且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A23.設(shè)P1AP,其中,,求A11.解由P1AP,得APP1所以A11A=P11P1.|P|3而故24設(shè)APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125設(shè)矩陣A、B及AB都可逆證明A1B1也可逆并求其逆陣證明因?yàn)锳1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A26計(jì)算解設(shè)則而所以即27.取,驗(yàn)證解而故28.設(shè),求|A8|及A4解令則故29.設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆,求(1)解設(shè)則由此得所以.(2)解設(shè)則由此得所以30求下列矩陣的逆陣(1)解設(shè)則于是(2)解設(shè)則.第二章矩陣及其運(yùn)算1.已知線性變換:求從變量x1x2x3到變量y1y2y3的線性變換.解由已知:故2.已知兩個(gè)線性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換.解由已知所以有3.設(shè),求3AB2A及ATB解4.計(jì)算下列乘積:(1);解(2);解(132231)(10)(3);解(4);解(5);解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)5.設(shè),問(wèn):(1)ABBA嗎?解ABBA因?yàn)樗訟BBA(2)(AB)2A22ABB2嗎?解(AB)2A22ABB2因?yàn)榈?AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2嗎?解(AB)(AB)A2B2因?yàn)槎?AB)(AB)A2B26.舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的:(1)若A20則A0;解取則A20但A0(2)若A2A,則A0或AE;解取則A2A,但A0且AE(3)若AXAY,且A0,則XY.解取則AXAY,且A0,但XY.7.設(shè),求A2A3Ak解8.設(shè),求Ak.解首先觀察用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k2時(shí),顯然成立.假設(shè)k時(shí)成立，則k1時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知:9.設(shè)AB為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)锳TA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB是對(duì)稱矩陣.10.設(shè)AB都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是ABBA證明充分性:因?yàn)锳TABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是對(duì)稱矩陣.必要性:因?yàn)锳TABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11.求下列矩陣的逆矩陣:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因?yàn)?故.(2);解.|A|=110,故A-1存在.因?yàn)?所以.(3);解.|A|=210,故A-1存在.因?yàn)?所以.(4)(a1a2×××an10).解,由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知.12.解下列矩陣方程:(1);解(2);解(3);解(4).解13.利用逆矩陣解下列線性方程組:(1)解方程組可表示為故從而有(2)解方程組可表示為故故有14.設(shè)AkO(k為正整數(shù)),證明(EA)1EAA2Ak1證明因?yàn)锳kO所以EAkE又因?yàn)镋Ak(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時(shí)右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115.設(shè)方陣A滿足A2A2EO,證明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1.證明由A2A2EO得A2A2E,即A(AE)2E或,由定理2推論知A可逆且由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推論知(A2E)可逆且證明由A2A2EO得A2A2E兩端同時(shí)取行列式得|A2A|2即|A||AE|2,故|A|0所以A可逆,而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆.由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116.設(shè)A為3階矩陣,,求|(2A)-1-5A*|.解因?yàn)?所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8′2=-16.17.設(shè)矩陣A可逆,證明其伴隨陣A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.證明由,得A*=|A|A-1,所以當(dāng)A可逆時(shí)有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-110,從而A*也可逆.因?yàn)锳*=|A|A-1,所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明:(1)若|A|0,則|A*|0;(2)|A*||A|n1證明(1)用反證法證明.假設(shè)|A*|0則有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O這與|A*|0矛盾，故當(dāng)|A|0時(shí)有|A*|0(2)由于,則AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0則|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此時(shí)命題也成立因此|A*||A|n119.設(shè),ABA2B求B.解由ABA2E可得(A2E)BA故20設(shè)且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因?yàn)樗?AE)可逆從而21設(shè)Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]12diag(121)22已知矩陣A的伴隨陣且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A23.設(shè)P1AP,其中,,求A11.解由P1AP,得APP1所以A11A=P11P1.|P|3而故24設(shè)APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125設(shè)矩陣A、B及AB都可逆證明A1B1也可逆并求其逆陣證明因?yàn)锳1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A26計(jì)算解設(shè)則而所以即27.取,驗(yàn)證解而故28.設(shè),求|A8|及A4解令則故29.設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆,求(1)解設(shè)則由此得所以.(2)解設(shè)則由此得所以30求下列矩陣的逆陣(1)解設(shè)則于是(2)解設(shè)則.第四章向量組的線性相關(guān)性1設(shè)v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(110)T(011)T(101101)T(101)T3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T(312033121430210)T(012)T2設(shè)3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)Ta2(101510)Ta3(4111)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1234)T3已知向量組Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T證明B組能由A組線性表示但A組不能由B組線性表示證明由知R(A)R(AB)3所以B組能由A組線性表示由知R(B)2因?yàn)镽(B)R(BA)所以A組不能由B組線性表示4已知向量組Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T證明A組與B組等價(jià)證明由知R(B)R(BA)2顯然在A中有二階非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2從而R(A)R(B)R(AB)因此A組與B組等價(jià)5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3證明(1)a1能由a2a3線性表示(2)a4不能由a1a2a3線性表示證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無(wú)關(guān)故a2a3也線性無(wú)關(guān)又由R(a1a2a3)2知a1a2a3線性相關(guān)故a1能由a2a3線性表示(2)假如a4能由a1a2a3線性表示則因?yàn)閍1能由a2a3線性表示故a4能由a2a3線性表示從而a2a3a4線性相關(guān)矛盾因此a4不能由a1a2a3線性表示6判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A因?yàn)樗訰(A)2小于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相關(guān)(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B因?yàn)樗訰(B)3等于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相無(wú)關(guān)7問(wèn)a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所給向量為列向量的矩陣記為A由知當(dāng)a1、0、1時(shí)R(A)3此時(shí)向量組線性相關(guān)8設(shè)a1a2線性無(wú)關(guān)a1ba2b線性相關(guān)求向量b用a1a2線性表示的表示式解因?yàn)閍1ba2b線性相關(guān)故存在不全為零的數(shù)12使1(a1b)2(a2b)0由此得設(shè)則bca1(1c)a2cR9設(shè)a1a2線性相關(guān)b1b2也線性相關(guān)問(wèn)a1b1a2b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說(shuō)明之解不一定例如當(dāng)a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T時(shí)有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的對(duì)應(yīng)分量不成比例是線性無(wú)關(guān)的10舉例說(shuō)明下列各命題是錯(cuò)誤的(1)若向量組a1a2am是線性相關(guān)的則a1可由a2am線性表示解設(shè)a1e1(1000)a2a3am0則a1a2am線性相關(guān)但a1不能由a2am線性表示(2)若有不全為0的數(shù)12m使1a1mam1b1mbm0成立則a1a2am線性相關(guān),b1b2bm亦線性相關(guān)解有不全為零的數(shù)12m使1a1mam1b1mbm0原式可化為1(a1b1)m(ambm)0取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em為單位坐標(biāo)向量則上式成立而a1a2am和b1b2bm均線性無(wú)關(guān)(3)若只有當(dāng)12m全為0時(shí)等式1a1mam1b1mbm0才能成立則a1a2am線性無(wú)關(guān),b1b2bm亦線性無(wú)關(guān)解由于只有當(dāng)12m全為0時(shí)等式由1a1mam1b1mbm0成立所以只有當(dāng)12m全為0時(shí)等式1(a1b1)2(a2b2)m(ambm)0成立因此a1b1a2b2ambm線性無(wú)關(guān)取a1a2am0取b1bm為線性無(wú)關(guān)組則它們滿足以上條件但a1a2am線性相關(guān)(4)若a1a2am線性相關(guān),b1b2bm亦線性相關(guān)則有不全為0的數(shù)12m使1a1mam01b1mbm0同時(shí)成立解a1(10)Ta2(20)Tb1(03)Tb2(04)T1a12a201221b12b201(3/4)2120與題設(shè)矛盾11設(shè)b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1證明向量組b1b2b3b4線性相關(guān)證明由已知條件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1從而b1b2b3b40這說(shuō)明向量組b1b2b3b4線性相關(guān)12設(shè)b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量組a1a2ar線性無(wú)關(guān)證明向量組b1b2br線性無(wú)關(guān)證明已知的r個(gè)等式可以寫成上式記為BAK因?yàn)閨K|10K可逆所以R(B)R(A)r從而向量組b1b2br線性無(wú)關(guān)13求下列向量組的秩,并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組:(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由知R(a1a2a3)2因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例故a1a2線性無(wú)關(guān)所以a1a2是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組(2)a1T(1213)a2T(4156)a3T(1347)解由知R(a1Ta2Ta3T)R(a1a2a3)2因?yàn)橄蛄縜1T與a2T的分量不成比例故a1Ta2T線性無(wú)關(guān)所以a1Ta2T是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組14利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組(1)解因?yàn)樗缘?、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.(2)解因?yàn)樗缘?、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無(wú)關(guān)組15設(shè)向量組(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩為2求ab解設(shè)a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因?yàn)槎鳵(a1a2a3a4)2所以a2b516設(shè)a1a2an是一組n維向量已知n維單位坐標(biāo)向量e1e2en能由它們線性表示證明a1a2an線性無(wú)關(guān)證法一記A(a1a2an)E(e1e2en)由已知條件知存在矩陣K使EAK兩邊取行列式得|E||A||K|可見|A|0所以R(A)n從而a1a2an線性無(wú)關(guān)證法二因?yàn)閑1e2en能由a1a2an線性表示所以R(e1e2en)R(a1a2an)而R(e1e2en)nR(a1a2an)n所以R(a1a2an)n從而a1a2an線性無(wú)關(guān)17設(shè)a1a2an是一組n維向量,證明它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示證明必要性設(shè)a為任一n維向量因?yàn)閍1a2an線性無(wú)關(guān)而a1a2ana是n1個(gè)n維向量是線性相關(guān)的所以a能由a1a2an線性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n維向量都可由a1a2an線性表示,故單位坐標(biāo)向量組e1e2en能由a1a2an線性表示,于是有nR(e1e2en)R(a1a2an)n即R(a1a2an)n所以a1a2an線性無(wú)關(guān)18設(shè)向量組a1a2am線性相關(guān)且a10證明存在某個(gè)向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1線性表示證明因?yàn)閍1a2am線性相關(guān)所以存在不全為零的數(shù)12m使1a12a2mam0而且23m不全為零這是因?yàn)槿缛舨蝗粍t1a10由a10知10矛盾因此存在k(2km)使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1線性表示19設(shè)向量組Bb1br能由向量組Aa1as線性表示為(b1br)(a1as)K其中K為sr矩陣,且A組線性無(wú)關(guān).證明B組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)r證明令B(b1br)A(a1as)則有BAK必要性設(shè)向量組B線性無(wú)關(guān).由向量組B線性無(wú)關(guān)及矩陣秩的性質(zhì)有rR(B)R(AK)min{R(A)R(K)}R(K)及R(K)min{rs}r因此R(K)r充分性因?yàn)镽(K)r所以存在可逆矩陣C使為K的標(biāo)準(zhǔn)形于是(b1br)C(a1as)KC(a1ar)因?yàn)镃可逆所以R(b1br)R(a1ar)r從而b1br線性無(wú)關(guān)20設(shè)證明向量組12n與向量組12n等價(jià)證明將已知關(guān)系寫成將上式記為BAK因?yàn)樗訩可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量組12n與向量組12n可相互線性表示因此向量組12n與向量組12n等價(jià)21已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x3AxA2x且向量組xAxA2x線性無(wú)關(guān)(1)記P(xAxA2x)求3階矩陣B使APPB解因?yàn)锳PA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)所以(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0因?yàn)閤AxA2x線性無(wú)關(guān)故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以R(A)3|A|022求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換有于是得取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程組的基礎(chǔ)解系為1(16340)T2(0104)T(2)解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換,有于是得取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程組的基礎(chǔ)解系為1(214190)T2(17019)T(3)nx1(n1)x22xn1xn0.解原方程組即為xnnx1(n1)x22xn1取x11x2x3xn10得xnn取x21x1x3x4xn10得xn(n1)n1取xn11x1x2xn20得xn2因此方程組的基礎(chǔ)解系為1(1000n)T2(0100n1)Tn1(00012)T23設(shè),求一個(gè)42矩陣B,使AB0,且R(B)2.解顯然B的兩個(gè)列向量應(yīng)是方程組AB0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解因?yàn)樗耘c方程組AB0同解方程組為取(x3x4)T(80)T得(x1x2)T(15)T取(x3x4)T(08)T得(x1x2)T(111)T方程組AB0的基礎(chǔ)解系為1(1580)T2(11108)T因此所求矩陣為24求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為1(0123)T2(3210)T解顯然原方程組的通解為,即(k1k2R)消去k1k2得此即所求的齊次線性方程組.25設(shè)四元齊次線性方程組III求(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系(2)I與II的公共解解(1)由方程I得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(00)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程I的基礎(chǔ)解系為1(0010)T2(1101)T由方程II得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程II的基礎(chǔ)解系為1(0110)T2(1101)T(2)I與II的公共解就是方程III的解因?yàn)榉匠探MIII的系數(shù)矩陣所以與方程組III同解的方程組為取x41得(x1x2x3)T(112)T方程組III的基礎(chǔ)解系為(1121)T因此I與II的公共解為xc(1121)TcR26設(shè)n階矩陣A滿足A2AE為n階單位矩陣,證明R(A)R(AE)n證明因?yàn)锳(AE)A2AAA0所以R(A)R(AE)n又R(AE)R(EA)可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此R(A)R(AE)n27設(shè)A為n階矩陣(n2)A*為A的伴隨陣證明證明當(dāng)R(A)n時(shí)|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以R(A*)n當(dāng)R(A)n1時(shí)|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程組Ax0的解因?yàn)镽(A)n1所以方程組Ax0的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量即基礎(chǔ)解系的秩為1因此R(A*)1當(dāng)R(A)n2時(shí)A中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為0故A*O從而R(A*)028求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:(1)解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,有與所給方程組同解的方程為當(dāng)x30時(shí)得所給方程組的一個(gè)解(81302)T與對(duì)應(yīng)的齊次方程組同解的方程為當(dāng)x31時(shí)得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系(1110)T(2)解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,有與所給方程組同解的方程為當(dāng)x3x40時(shí)得所給方程組的一個(gè)解(1200)T與對(duì)應(yīng)的齊次方程組同解的方程為分別取(x3x4)T(10)T(01)T得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系1(9170)T2(1102)T29設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知123是它的三個(gè)解向量.且1(2345)T23(1234)T求該方程組的通解.解由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是4系數(shù)矩陣的秩為3,所以對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量,且由于123均為方程組的解,由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得21(23)(12)(13)(3456)T為其基礎(chǔ)解系向量,故此方程組的通解:xk(3456)T(2345)T,(kR)30設(shè)有向量組Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T問(wèn)為何值時(shí)(1)向量b不能由向量組A線性表示(2)向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一并求一般表示式解(1)當(dāng)40時(shí)R(A)R(Ab)此時(shí)向量b不能由向量組A線性表示(2)當(dāng)4時(shí)R(A)R(Ab)3此時(shí)向量組a1a2a3線性無(wú)關(guān)而向量組a1a2a3b線性相關(guān)故向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)當(dāng)40時(shí)R(A)R(Ab)2此時(shí)向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一當(dāng)40時(shí)方程組(a3a2a1)xb的解為cR因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31設(shè)a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T證明三直線l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30相交于一點(diǎn)的充分必要條件為向量組ab線性無(wú)關(guān)且向量組abc線性相關(guān)證明三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組即有唯一解上述方程組可寫為xaybc因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為c能由ab唯一線性表示而c能由ab唯一線性表示的充分必要條件為向量組ab線性無(wú)關(guān)且向量組abc線性相關(guān)32設(shè)矩陣A(a1a2a3a4)其中a2a3a4線性無(wú)關(guān)a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一個(gè)解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一個(gè)解由a2a3a4線性無(wú)關(guān)知R(A)3故方程Axb所對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax0的基礎(chǔ)解系中含一個(gè)解向量因此(1210)T是方程Ax0的基礎(chǔ)解系方程Axb的通解為xc(1210)T(1111)TcR33設(shè)*是非齊次線性方程組Axb的一個(gè)解,12nr是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明(1)*12nr線性無(wú)關(guān);(2)**1*2*nr線性無(wú)關(guān).證明(1)反證法,假設(shè)*12nr線性相關(guān)因?yàn)?2nr線性無(wú)關(guān)而*12nr線性相關(guān)所以*可由12nr線性表示且表示式是唯一的這說(shuō)明*也是齊次線性方程組的解矛盾(2)顯然向量組**1*2*nr與向量組*12nr可以相互表示故這兩個(gè)向量組等價(jià)而由(1)知向量組*12nr線性無(wú)關(guān)所以向量組**1*2*nr也線性無(wú)關(guān)34設(shè)12s是非齊次線性方程組Axb的s個(gè)解,k1k2ks為實(shí)數(shù),滿足k1k2ks1.證明xk11k22kss也是它的解.證明因?yàn)?2s都是方程組Axb的解所以Aib(i12s)從而A(k11k22kss)k1A1k2A2ksAs(k1k2ks)bb因此xk11k22kss也是方程的解.35設(shè)非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為r,12nr1是它的nr1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.試證它的任一解可表示為xk11k22knr1nr1(其中k1k2knr11).證明因?yàn)?2nr1均為Axb的解所以121231nrnr11均為Axb的解.用反證法證:12nr線性無(wú)關(guān).設(shè)它們線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)12nr使得1122nrnr0即1(21)2(31)nr(nr11)0亦即(12nr)11223nrnr10由12nr1線性無(wú)關(guān)知(12nr)12nr0矛盾.因此12nr線性無(wú)關(guān)12nr為Axb的一個(gè)基礎(chǔ)解系.設(shè)x為Axb的任意解則x1為Ax0的解故x1可由12nr線性表出設(shè)x1k21k32knr1nrk2(21)k3(31)knr1(nr11)x1(1k2k3knr1)k22k33knr1nr1令k11k2k3knr1則k1k2k3knr11于是xk11k22knr1nr1.36設(shè)V1{x(x1x2xn)T|x1xnR滿足x1x2xn0}V2{x(x1x2xn)T|x1xnR滿足x1x2xn1}問(wèn)V1V2是不是向量空間？為什么？解V1是向量空間,因?yàn)槿稳?a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1R有a1a2an0b1b2bn0從而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)0a1a2an(a1a2an)0所以(a1b1a2b2anbn)TV1(a1a2an)TV1V2不是向量空間,因?yàn)槿稳?a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1有a1a2an1b1b2bn1從而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)2所以(a1b1a2b2anbn)TV137試證:由a1(011)Ta2(101)Ta3(110)T所生成的向量空間就是R3.證明設(shè)A(a1a2a3)由知R(A)3故a1a2a3線性無(wú)關(guān)所以a1a2a3是三維空間R3的一組基,因此由a1a2a3所生成的向量空間就是R3.38由a1(1100)Ta2(1011)T所生成的向量空間記作V1,由b1(2133)Tb2(0111)T所生成的向量空間記作V2,試證V1V2.證明設(shè)A(a1a2)B(b1b2)顯然R(A)R(B)2又由知R(AB)2所以R(A)R(B)R(AB)從而向量組a1a2與向量組b1b2等價(jià)因?yàn)橄蛄拷Ma1a2與向量組b1b2等價(jià)所以這兩個(gè)向量組所生成的向量空間相同即V1V2.39驗(yàn)證a1(110)Ta2(213)Ta3(312)T為R3的一個(gè)基,并把v1(507)Tv2(9813)T用這個(gè)基線性表示.解設(shè)A(a1a2a3)由知R(A)3故a1a2a3線性無(wú)關(guān),所以a1a2a3為R3的一個(gè)基.設(shè)x1a1x2a2x3a3v1則解之得x12x23x31故線性表示為v12a13a2a3設(shè)x1a1x2a2x3a3v2,則解之得x13x23x32故線性表示為v23a13a22a340已知R3的兩個(gè)基為a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的過(guò)渡矩陣P解設(shè)e1e2e3是三維單位坐標(biāo)向量組則于是由基a1a2a3到基b1b2b3的過(guò)渡矩陣為第五章相似矩陣及二次型1.試用施密特法把下列向量組正交化:(1);解根據(jù)施密特正交化方法,,,.(2).解根據(jù)施密特正交化方法,,,.2.下列矩陣是不是正交陣:(1);解此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣.(2).解該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量,且兩兩正交,故為正交陣.3.設(shè)x為n維列向量,xTx=1,令H=E-2xxT,證明H是對(duì)稱的正交陣.證明因?yàn)镠T=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,所以H是對(duì)稱矩陣.因?yàn)镠TH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩陣.4.設(shè)A與B都是n階正交陣,證明AB也是正交陣.證明因?yàn)锳,B是n階正交陣,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交陣.5.求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);解,故A的特征值為l=-1(三重).對(duì)于特征值l=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是對(duì)應(yīng)于特征值l=-1的特征值向量.(2);解,故A的特征值為l1=0,l2=-1,l3=9.對(duì)于特征值l1=0,由,得方程Ax=0的基礎(chǔ)解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是對(duì)應(yīng)于特征值l1=0的特征值向量.對(duì)于特征值l2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是對(duì)應(yīng)于特征值l2=-1的特征值向量.對(duì)于特征值l3=9,由,得方程(A-9E)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是對(duì)應(yīng)于特征值l3=9的特征值向量.(3).解,故A的特征值為l1=l2=-1,l3=l4=1.對(duì)于特征值l1=l2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是對(duì)應(yīng)于特征值l1=l2=-1的線性無(wú)關(guān)特征值向量.對(duì)于特征值l3=l4=1,由,得方程(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1,0,0,1)T,p4=(0,1,1,0)T,向量p3和p4是對(duì)應(yīng)于特征值l3=l4=1的線性無(wú)關(guān)特征值向量.6.設(shè)A為n階矩陣,證明AT與A的特征值相同.證明因?yàn)閨AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT與A的特征多項(xiàng)式相同,從而AT與A的特征值相同.7.設(shè)n階矩陣A、B滿足R(A)+R(B)<n,證明A與B有公共的特征值,有公共的特征向量.證明設(shè)R(A)=r,R(B)=t,則r+t<n.若a1,a2,×××,an-r是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,顯然它們是A的對(duì)應(yīng)于特征值l=0的線性無(wú)關(guān)的特征向量.類似地,設(shè)b1,b2,×××,bn-t是齊次方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系,則它們是B的對(duì)應(yīng)于特征值l=0的線性無(wú)關(guān)的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,×××,an-r,b1,b2,×××,bn-t必線性相關(guān).于是有不全為0的數(shù)k1,k2,×××,kn-r,l1,l2,×××,ln-t,使k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r+l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0.記g=k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r),則k1,k2,×××,kn-r不全為0,否則l1,l2,×××,ln-t不全為0,而l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0,與b1,b2,×××,bn-t線性無(wú)關(guān)相矛盾.因此,g10,g是A的也是B的關(guān)于l=0的特征向量,所以A與B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.設(shè)A2-3A+2E=O,證明A的特征值只能取1或2.證明設(shè)l是A的任意一個(gè)特征值,x是A的對(duì)應(yīng)于l的特征向量,則(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因?yàn)閤10,所以l2-3l+2=0,即l是方程l2-3l+2=0的根,也就是說(shuō)l=1或l=2.9.設(shè)A為正交陣,且|A|=-1,證明l=-1是A的特征值.證明因?yàn)锳為正交矩陣,所以A的特征值為-1或1.因?yàn)閨A|等于所有特征值之積,又|A|=-1,所以必有奇數(shù)個(gè)特征值為-1,即l=-1是A的特征值.10.設(shè)l10是m階矩陣Am′nBn′m的特征值,證明l也是n階矩陣BA的特征值.證明設(shè)x是AB的對(duì)應(yīng)于l10的特征向量,則有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),從而l是BA的特征值,且Bx是BA的對(duì)應(yīng)于l的特征向量.11.已知3階矩陣A的特征值為1,2,3,求|A3-5A2+7A|.解令j(l)=l3-5l2+7l,則j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3′2′3=18.12.已知3階矩陣A的特征值為1,2,-3,求|A*+3A+2E|.解因?yàn)閨A|=1′2′(-3)=-610,所以A可逆,故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.令j(l)=-6l-1+3l2+2,則j(1)=-1,j(2)=5,j(-3)=-5是j(A)的特征值,故|A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(-3)=-1′5′(-5)=25.13.設(shè)A、B都是n階矩陣,且A可逆,證明AB與BA相似.證明取P=A,則P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB與BA相似.14.設(shè)矩陣可相似對(duì)角化,求x.解由,得A的特征值為l1=6,l2=l3=1.因?yàn)锳可相似對(duì)角化,所以對(duì)于l2=l3=1,齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,因此R(A-E)=1.由知當(dāng)x=3時(shí)R(A-E)=1,即x=3為所求.15.已知p=(1,1,-1)T是矩陣的一個(gè)特征向量.(1)求參數(shù)a,b及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值;解設(shè)l是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值,則(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.(2)問(wèn)A能不能相似對(duì)角化？并說(shuō)明理由.解由,得A的特征值為l1=l2=l3=1.由知R(A-E)=2,所以齊次線性方程組(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量.因此A不能相似對(duì)角化.16.試求一個(gè)正交的相似變換矩陣,將下列對(duì)稱陣化為對(duì)角陣:(1);解將所給矩陣記為A.由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩陣A的特征值為l1=-2,l2=1,l3=4.對(duì)于l1=-2,解方程(A+2E)x=0,即,得特征向量(1,2,2)T,單位化得.對(duì)于l2=1,解方程(A-E)x=0,即,得特征向量(2,1,-2)T,單位化得.對(duì)于l3=4,解方程(A-4E)x=0,即,得特征向量(2,-2,1)T,單位化得.于是有正交陣P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(-2,1,4).(2).解將所給矩陣記為A.由=-(l-