河南商丘市第一2023年高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，Z為復(fù)數(shù)，若目+i為實(shí)數(shù)，〃，則（）

Z

A.-1B.0C.1D.2

2.下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.若隨機(jī)變量&服從正態(tài)分布N（l,b2）,P（jW4）=0.78,則P（JW-2）=O.22

B.已知直線/，平面a,直線加//平面/，貝iJ“a//A”是的充分不必要條件

C.若隨機(jī)變量;服從二項(xiàng)分布：4~《4,力，則￡偌）=1

D.am>hm是a>b的充分不必要條件

3.復(fù)數(shù)三=工（i為虛數(shù)單位），則目等于（）

1-Z

A.3B.272

C.2D.0

4.若函數(shù)/。）=33+3/+/7在_￥=1處取得極值2,則a—人=（）

A.-3B.3C.-2D.2

5.在關(guān)于x的不等式以2+2%+1>0中，“。>1”是“52+2%+1>0恒成立,，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+0）,其中Qe（0,g）,若VxeR,恒成立，則函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)

間為（）

7T2萬

A.kjv--,kzrH—(kwz)k九------------（攵Ez）

3633

,7T.2"

K7r-\——,K7T~\---(kGz)D.k7T,k7T+二^(kGZ)

33

7.已知全集0=1<,集合A={x|3<x<7},B={X|X2-7X+10<0},則即(Ac8)=()

A.(^?,3)U(5,+oo)B.(f,3]U(5,+oo)

C.(YO,3]U[5,+OO)D.(YO,3)U[5,+3O)

22

8.已知雙曲線二-2=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡、F2,圓1+與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)

ab~

為M,若|M周=3|峭則該雙曲線的離心率為

A.2B.3C.V2D.百

9.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要

貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前

一個(gè)單音的頻率的比都等于蚯.若第一個(gè)單音的頻率為/,則第八個(gè)單音的頻率為

A.^2/B.正于

C.D.啦'于

2

10.已知(1+Ax)"展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，(1+2幻"=4+a1x+a2x+…+aHx",

若4+。2+…。”=242,貝！]%-4+。2--------H的值為()

A.1B.-1C.81D.-81

11.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了包股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)

以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅(朱)色及黃

色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用2x勾X股+(股-勾)2=4x朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)，得勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形

中勾股比為1:百，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計(jì))，則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()

C.300D.500

12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積(

A.6+2>/3B.6+272C.4+4拒D.4+473

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

-x+y+2>0

13.已知實(shí)數(shù)羽y滿足(2x—y—2?0,則z=3x+y的最小值是.

14.角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)口1,2),則cosOr-a)的值是

15.已知數(shù)列｛《,｝滿足4=2,/一％=2,若a=2后，則數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“=.

川+1n

26

16.若(2x+l)6=a0+a1(x+l)+a2(x+l)+—l-a6(x+l),貝1)4+4+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知a,〃均為正數(shù)，且燦=1.證明：

（1）>Ja2+b2>爭(zhēng)2；

⑵皿+口2

ab

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=e2x-Xe*cosx-l(/lwR),直線/是曲線y=〃x)在x=0處的切線.

(1)求證：無論實(shí)數(shù)2取何值，直線/恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,6),試判斷函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.

=4五,si苧竽

19.(12分)在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a/,c.已知°

(1)若。=1,求sinA；

(2)求△A6C的面積S的最大值.

20.(12分)在四棱錐P—ABCO中，底面ABC。為直角梯形，BC//AD,48=90°,PA1CD,

BC=CD^-AD=1,PA=PD,E,尸分別為A。，PC的中點(diǎn).

2

(1)求證：PC=2EF.

(2)若EF工PC,求二面角P-BE-尸的余弦值.

21.(12分)如圖，在矩形A8CO中，AB=2,BC=3,點(diǎn)￡；是邊A￡＞上一點(diǎn)，且AE=2中，點(diǎn)”是3E的中點(diǎn),

將AABE沿著防折起，使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)S處，且滿足SC=SO.

(D證明：5〃_1_平面38￡；

(2)求二面角C—S3—￡的余弦值.

,1121

22.（10分）已知數(shù)列｛4｝滿足——=一且4=彳

an+lan2

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列+的前〃項(xiàng)和S“.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

\z\a+(y]a2+b2-/?)?______

可設(shè)z=a+勿.(aSeR),將□化簡(jiǎn)，得到\,由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得獷方-b=O,解方程即

zV?2+b2

可求解

【詳解】

設(shè)z=a+bi(a,bGR),則目+j=十,=Jafa-bi)+.="+("—".

zci+hi+h~J.2+.2

由題意有+⑦-力=0=>〃=0,所以加=0.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

2.D

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，依次對(duì)四

個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(l,/),p(gw4)=0.78,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，有

P(J?-2)=P(424)=1—P(JW4)=1—0.78=0.22,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

對(duì)于8選項(xiàng)，已知直線/_]_平面。，直線機(jī)//平面/，則當(dāng)&//4時(shí)一定有/，加，充分性成立，而當(dāng)/_Lm時(shí)，不

一定有。///，故必要性不成立，所以“二///”是“/_Lm”的充分不必要條件，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

對(duì)于。選項(xiàng)，若隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布：則￡偌)=〃〃=4x；=l,故C選項(xiàng)正確，不符合題意;

對(duì)于。選項(xiàng)，*.*am>bm,僅當(dāng)加>0時(shí)有當(dāng)〃2<0時(shí)，不成立，故充分性不成立；若a>b,僅當(dāng)機(jī)>。

時(shí)有am>bm,當(dāng)〃2<0時(shí)，am>hm不成立，故必要性不成立.

因而am>bm是a>匕的既不充分也不必要條件，故D選項(xiàng)不正確，符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，考查

理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)白從而求得z,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.

【詳解】

_2i2i（l+i）.

所以z=T—i,回=也，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.

4.A

【解析】

對(duì)函數(shù)fW求導(dǎo)，可得⑴:小=0,即可求出a,b，進(jìn)而可求出答案.

J⑴二2

【詳解】

因?yàn)?（幻=0?+3/+仇所以/。）=3℃2+6九則［解得。=-2,。=1,則。―b=—3.

/⑴=a+3+b=2

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

討論當(dāng)。>1時(shí)，依2+2%+1>（）是否恒成立；討論當(dāng)雙2+2%+1>0恒成立時(shí)，。>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)a>l時(shí)，A=4—4a<0,由y=依2+2x+l開口向上，則以？+2x+l>0恒成立；

當(dāng)62+2x+l>0恒成立時(shí)，若a=0,貝！)2x+l>0不恒成立，不符合題意,

a>0

若時(shí)，要使得g?+2%+1>0恒成立，貝!j<,即4>1.

△=4—4。<0

所以“a>1”是“ax2+2x+l>0恒成立”的充要條件.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若pnq,則推出〃

是q的充分條件；若qnp,則推出P是q的必要條件.

6.A

【解析】

Vxe/?,/(%)</⑵=/(%)皿=W=1，從而可得夕=/，/(x)=sin(2x+?J,再解不等式

')!')1'11

2女乃----<2x+—<2k7r+—(kez)即可.

262

【詳解】

sin?+°

由已知，/(x)

IJ7

sin"?微c-rr兀

=±1”(09所以。=-9

6

/(x)=sin2x+—j,由2kjr--<2x+—<2k兀+%(kez),

<6；262

兀兀

解得，k?！?lt;x<k7t+—{kez).

36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

7.D

【解析】

先計(jì)算集合3,再計(jì)算AC8,最后計(jì)算許(AcB).

【詳解】

解：,/B=1%|x2—7%+10<01

/.B={x\2<x<5},

?:A={x|34尤<7}

ADB={x|3,,%<5},

.?4（An8）=（Yo,3）U[5,”）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運(yùn)算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過M點(diǎn)作耳巴垂線交￡石于點(diǎn)H,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形

。用乙的形狀并求出高例”的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度即加點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后將“點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出“點(diǎn)坐

標(biāo)，最后將M點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果。

【詳解】

根據(jù)題意可畫出以上圖像，過/點(diǎn)作耳尸2垂線并交耳心于點(diǎn)”，

因?yàn)橛?39閭，M在雙曲線上，

所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，|5|-|5|=2。，即3慳局用=2%周=a,

因?yàn)閳A/+>2=從的半徑為。，OM是圓x2+y2=〃的半徑，所以Q0=/,,

222

因?yàn)?OF2=c,a+b-c>

所以？90。，三角形OMg是直角三角形，

因?yàn)镸H人OF2，所以O(shè)F??MHOM7MF2,MH=^,即用點(diǎn)縱坐標(biāo)為唱,

將M點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得哆=〃，解得％=*〃仔,牛)，

將M點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得缶-4=1,

化簡(jiǎn)得/=/。.2,(,2-/=。2。2,C2=3/,e=q=6,故選D。

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)

合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。

9.D

【解析】

分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.

詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為咫，

所以an=啦a,i(n>2,neN+),

又6=/,則/==/(也了=療/

故選D.

點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下

兩種：

a1a

(1)定義法，若3=q(q/O,〃eN*)或工=g(<7NO,〃N2,〃€N*),數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

(2)等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列伍“｝中，。，產(chǎn)0且(〃23,〃eN*),則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

10.B

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可求得〃，再通過賦值求得小以及結(jié)果即可.

【詳解】

因?yàn)?1+Ax)"展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

故可得〃=5,

令x=0,故可得1=%，

又因?yàn)閝+a2T----F%=242,

令x=l,則(1+4)=a。+a1+a,+.??+/=243,

解得2=2

令x=-1)則(1—2)=4—q+。2一,■*+(—

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及通過賦值法求系數(shù)之和，屬綜合基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1,百，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.

解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1,百，則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為(6-1y=4-26.

二圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為上必3=吐叵.

42

,落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000x紀(jì)叵。134.

2

故選：A.

點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法

建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量.

(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；

(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示它的基本事件，然后利用平面直角

坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；

(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐

標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.

12.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P-ABC,

正方體的棱長(zhǎng)為2,

該幾何體的表面積：

一x2x2H—x2x2H—x2x2>/2H—x2x-4+4,\/2.

2222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-8

【解析】

先畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.

【詳解】

-x+y+2>0

畫出不等式組2x-y-2WO表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.

.”1

由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系,

平移直線3x+y=0,

易知當(dāng)直線z=3x+)，經(jīng)過點(diǎn)M(—3,l)時(shí)，直線的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y取得最小值，且

ZmM=3x(-3)+l=-8.

故答案為：-8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.

14.—

5

【解析】

試題分析：由三角函數(shù)定義知cosa=9=5,又由誘導(dǎo)公式知cosE-a)=-cosa=-1g,所以答案應(yīng)填:

--?

5

考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式.

4,,+|-4

15.

3

【解析】

5-匕=2,求得乙的通項(xiàng)，進(jìn)而求得2?=2i?,得b”通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和即可.

n+1nn

【詳解】

由題1%］為等差數(shù)列，.?.%=?+n—1x2=2na_=2r?b_=22。，；.s=州三)=4向-4，故答案為

InJn1"1-43

4n+,-4

3

【點(diǎn)睛】

本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運(yùn)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

16.13

【解析】

26

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)/(x)=(2x+l)6,g(x)=a0+?1(x+l)+a2(x+l)+...+a6(x+l),

所以f'(x)=12(2x+l)s,g，(x)=q+2%(x+l)+…+646(X+1)5,又f(x)=g(x),所以1(x)=g"),即

55

12(2%+1)=%+2a,(x+1)+...+6ah(x+1),

由二項(xiàng)式定理：令x=0得：0,+2/+34+4/+5%+66，再由g(O)=f(O),求出4,從而得到

/+4+2a2+3%+4a4+5a5+6a6的值；

【詳解】

26

解：設(shè)/'(x)=(2x+1)，,g(x)=a0+a1(x+l)+a,(x+l)+...+a6(x+l),

所以f'M=12(2x+1)5,g，(x)=4]+2“2(x+l)+…+6“6(x+l)5，

又/(x)=g(x),所以f'(x)=g'(x),

即12(2x+l)s=at+2%(X+1)+...+6A6(X+1)5,

取x=0得：q+2a2+3q+44+5%+64=12,

又g(O)=f(O),

所以4=1,

故g+4+2a,+3/+4q+5%+64=1+12=13,

故答案為：13

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）見解析（2）見解析

【解析】

f-+-^,兩邊開方并化簡(jiǎn)，證得不等式成立.

（1）由6?+/力進(jìn)行變換，得至1」2（。2+/）?

yha）

⑵將婦8+3化為（/+。3）+2,2+。2）+（。+3,然后利用基本不等式，證得不等式成立.

ab

【詳解】

（1）a2+b2>2ah,兩邊加上"+〃得2（/+/）“4+32=（g），即2（/十廿）+,當(dāng)且僅當(dāng)

4=匕=1時(shí)取等號(hào)，

(2)

2

S+l)23+1)2b2b\CT2a\/+〃b砥11/3小

abaaabbbabababx7

2(a2+b2)+(a+b)>2y^+4ab+2y[^b=8.

當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=1時(shí)取等號(hào).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

18.(1)見解析，(-1,-2).(2)函數(shù)。(力存在唯一零點(diǎn).

【解析】

(1)首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可

求出定點(diǎn).

(2)由(D求出函數(shù)求(x),令〃x)=0,方程可轉(zhuǎn)化為/—e-*+2cosx=0,記g(x)=e*—e-*+2cosx,利用導(dǎo)

數(shù)判斷函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)g(一1^<0，g(0)〉0,由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)/'(x)=2e2x+Ae'^sinx-cosx),f'(0)=2-2,/(0)=-2

所以直線/方程為y=(2-2)%

即y=(2T)(x+l)―2,恒過點(diǎn)(―L—2).

(2)將(1,6)代入直線/方程，

得力=—2.考慮方程〃x)=0,

即e2x+2cosxex-1=0，等價(jià)于ex-e~x+2cosx=0,

記g(x)=，—e~x+2cosx,

貝(Ig'(x)=ex+e~x—2siivc>2ylex?e~x—2suvc=2-2sbix>0,

于是函數(shù)g(X)在R上單調(diào)遞增，又g[-5)=一一<0,g⑼=2>0

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[一方可上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)/(x)存在唯一零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理，屬于難題.

19.(1)sinA=—;(2)4

10

【解析】

(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出cosC,進(jìn)而求出sinC,利用正弦定理，即可求解;

(2)由c邊c角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，求出,法的最大值，即可求出結(jié)論.

【詳解】

,C34

(1)VcosC=1-2sin'—=——，/.sinC=—,

255

由正弦定理‘二=」式得sinA

sinAsmC

3-777616

(2)由(1)知cosC=——,c=b~+a^-2bacosC=b'+a~+—ba>2ab+—ba=一ba,

5555

所以\0>ba,S=—Z??sinC<—xlOx—=4,

5225

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，AAbC的面積S有最大值4.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形，應(yīng)用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

20.(1)見解析(2)逅

3

【解析】

(1)由已知可證明平面B4Z),從而得證面面垂直，再由/E_LAZ),得線面垂直，從而得PE工EC,由直角

三角形得結(jié)論；

(2)以為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角.

【詳解】

(1)證明：連接EC,-.-ZBCD=ZADC=90°,:.AD1CD.

■.PA1CD,PAr^AD^A,\8八平面PAO.

CDu平面ABC。，：.平面_L平面BAD.

?;PA=PD,E為AO的中點(diǎn)，J.PELAD.

?.?平面ABC。n平面/么D=AD,PE_L平面ABC。.

QECu平面ABC。，:.PELEC.

；尸為心APEC斜邊PC的中點(diǎn)，.?.PC=2EE,

(2)PC,.??由(1)可知，APEC為等腰直角三角形,

則PE=EC=夜.以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,0),P(0,0,夜),8(0,1,0),F，

\/

貝U麗=(0,1,0)EF―553，記平面EBF的法向量為慶=(x,y,z)

y=0

玩?麗=0,

由，—得到1.13

m-EF-0

I222

取x=2,可得z=&,則比=(2,0,夜).

易知平面PEB的法向量為*=EA=(1,0,0).

記二面角尸-8E-尸的平面角為。，且由圖可知。為銳角，

則以《。=叵包=2=逅，所以二面角P-BE-F的余弦值為逅.

\m\\n\V633

【點(diǎn)睛】

本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面

直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避

免空間角的作證過程，通過計(jì)算求解.

21.(1)見解析；(2)B

3

【解析】

(D取CO的中點(diǎn)連接SM,由S￡=S8=2,進(jìn)而S4_L8￡,由SC=SO,得SMJ_CD.進(jìn)而CO_L

平面SHM,進(jìn)而結(jié)論可得證(2)(方法一)過〃點(diǎn)作8的平行線G"交8C于點(diǎn)G,以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所在直線分別為x軸、y軸、工軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,求得平面S8C,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點(diǎn)N,BC上的點(diǎn)P,使BP=2PC,連接HN,PN,PH,得

HNLBS,HP±BE,得二面角C—的平面角為NPNH,再求解即可