2024屆河北師大附中數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆河北師大附中數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量與的夾角為，，，當時，實數(shù)為()A． B． C． D．2．如圖，，下列等式中成立的是（）A． B．C． D．3．若，則（）A． B． C． D．4．已知為等差數(shù)列，為其前項和.若，則（）A． B． C． D．5．對于任意實數(shù)，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），則首項a1為（）A．1 B．2 C．3 D．47．若正實數(shù)，滿足，則有下列結論：①；②；③；④.其中正確結論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知則（）A． B． C． D．9．下列說法不正確的是（）A．圓柱的側面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．平行于圓臺底面的平面截圓臺，截面是圓面D．直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐10．如圖，將邊長為的正方形沿對角線折成大小等于的二面角分別為的中點，若，則線段長度的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．在上面結論中，正確結論的編號是________．(寫出所有正確結論的編號)12．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．13．__________.14．數(shù)列滿足，，則___________．15．有一個底面半徑為2，高為2的圓柱，點，分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點或的距離不大于1的概率是________.16．如圖，在中，，，點D為BC的中點，設，.的值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調(diào)查.在使用華為手機的用戶中，隨機抽取100名，按年齡(單位:歲）進行統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)的估計值(均精確到個位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加華為手機宣傳活動，再從這20人中年齡在和的人群里，隨機選取2人各贈送一部華為手機，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.18．已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點．(Ⅰ)求證：PC∥平面EBD；(Ⅱ)求證：平面PBC⊥平面PCD．19．已知，為兩非零有理數(shù)列（即對任意的，，均為有理數(shù)），為一個無理數(shù)列（即對任意的，為無理數(shù)）．（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；（2）若為有理數(shù)列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；（3）已知，，試計算．20．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.21．在中，角所對的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用平面向量數(shù)量積的定義計算出的值，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得實數(shù)的值.【題目詳解】，，向量與的夾角為，，，，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】

本題首先可結合向量減法的三角形法則對已知條件中的進行化簡，化簡為然后化簡并代入即可得出答案．【題目詳解】因為，所以，所以，即，故選B．【題目點撥】本題考查的知識點是平面向量的基本定理，考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結合思想與化歸思想，是簡單題．3、D【解題分析】

將指數(shù)形式化為對數(shù)形式可得，再利用換底公式即可.【題目詳解】解：因為，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的互化，重點考查了換底公式，屬基礎題.4、D【解題分析】試題分析：設等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以，故答案為D．考點：1、數(shù)列的通項公式；2、數(shù)列的前項和．5、C【解題分析】

根據(jù)是任意實數(shù)，逐一對選項進行分析即得。【題目詳解】由題，當時，，則A錯誤；當，時，，則B錯誤；可知，則有，因此C正確；當時，有，可知C錯誤.故選：C【題目點撥】本題考查判斷正確命題，是基礎題。6、A【解題分析】

等比數(shù)列的公比設為，分別令，結合等比數(shù)列的定義和通項公式，解方程可得所求首項.【題目詳解】等比數(shù)列的公比設為，由，令，可得，，兩式相減可得，即，又所以.故選：A.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，等比數(shù)列的定義和通項公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．7、C【解題分析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項推理判斷，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正實數(shù)是正數(shù)，且，①中，可得，所以是錯誤的；②中，由，可得是正確的；③中，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，可得是正確的；④中，因為，所以是正確的，故選C.【題目點撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，合理推理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、B【解題分析】

根據(jù)條件式,判斷出,,且.由不等式性質(zhì)、基本不等式性質(zhì)或特殊值即可判斷選項.【題目詳解】因為所以可得,,且對于A,由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以A錯誤;對于B,由基本不等式可知,即由于,則,所以B正確;對于C,由條件可得,所以C錯誤;對于D,當時滿足條件,但,所以D錯誤.綜上可知,B為正確選項故選:B【題目點撥】本題考查了不等式性質(zhì)的綜合應用,根據(jù)基本不等式求最值,屬于基礎題.9、D【解題分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)，對選項中的命題分析、判斷正誤即可．【題目詳解】A．圓柱的側面展開圖是一個矩形，正確；B．∵同一個圓錐的母線長相等，∴圓錐過軸的截面是一個等腰三角形，正確；C．根據(jù)平行于圓臺底面的平面截圓臺截面的性質(zhì)可知：截面是圓面正確；D．直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，而直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是兩個對底面的兩個圓錐，因此D不正確．故選：D．【題目點撥】本題考查了命題的真假判斷，解題的關鍵是理解旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)的應用問題，屬于基礎題．10、A【解題分析】

連接和，由二面角的定義得出，由結合為的中點，可知是的角平分線且，由的范圍可得出的范圍，于是得出的取值范圍．【題目詳解】連接，可得，即有為二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，則，故答案為，故選A．【題目點撥】本題考查線段長度的取值范圍，考查二面角的定義以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵在于充分研究圖形的幾何特征，將所求線段與角建立關系，借助三角函數(shù)來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②④【解題分析】用正方體ABCD-A1B1C1D1實例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1與DD1在平面ABCD上的投影是一條直線及其外一點．故①②④正確．12、如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【解題分析】

將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【題目詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【題目點撥】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.13、【解題分析】

利用誘導公式以及正弦差角公式化簡式子，之后利用特殊角的三角函數(shù)值直接計算即可.【題目詳解】.故答案為【題目點撥】該題考查的是有關三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，差角正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值，屬于簡單題目.14、2【解題分析】

利用遞推公式求解即可.【題目詳解】由題得.故答案為2【題目點撥】本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列中的項，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解題分析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點的距離等于1的點構成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點到點，的距離不大于1的概率；【題目詳解】解：由題意可知，點P到點或的距離都不大于1的點組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關鍵是明確滿足題意的測度為體積比．16、【解題分析】

在和在中,根據(jù)正弦定理,分別表示出.由可得等式,代入已知條件化簡即可得解.【題目詳解】在中,由正弦定理可得,則在中,由正弦定理可得,則點D為BC的中點,則所以因為,,由誘導公式可知代入上述兩式可得所以故答案為:【題目點撥】本題考查了正弦定理的簡單應用,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數(shù)公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計值:中位數(shù)的估計值：因為，所以中位數(shù)位于區(qū)間年齡段中，設中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應有4人位于年齡段內(nèi)，記為，2人位于年齡段內(nèi)，記為.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人，設基本事件空間為，則設2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計算和古典概型，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.(2)先計算出每個小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積為0.5的點P，點P對應的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應的數(shù)，代表第個矩形的面積.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解題分析】試題分析：（1）連，與交于，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；

（2）證明，即可證得平面平面．試題解析：(Ⅰ)連接AC交BD與O，連接EO,∵E、O分別為PA、AC的中點，∴EO∥PC，∵PC?平面EBD，EO?平面EBD∴PC∥平面EBD(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD為正方形，∴BC⊥CD，∵PD∩CD＝D,PD、CD?平面PCD∴BC⊥平面PCD，又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD.【題目點撥】本題考查線面平行，考查面面平行，掌握線面平行，面面平行的判定方法是關鍵．19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)不等式可得，把代入即可解出（2）根據(jù)化簡，利用為有理數(shù)即可解決（3）根據(jù)題意可知，本題需分為奇數(shù)和偶數(shù)時討論，通過求出．【題目詳解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，當時，∴當時，∴，∴為有理數(shù)列，∵，∴，∴，∵，，為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，∴，∴，∴當時，∴當時，∴，∴．【題目點撥】本題數(shù)列的分類問題，數(shù)列通項式的求法、有關數(shù)列的綜合問題等．本題難度、計算量較大，屬于難題．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題分析】

(1)連接交于點，連接，可證，從而可證平面.(2)可證平面，從而得到平面平面.【題目詳解】(1)連接交于點，連接，因為底面為平行四邊形，所以為中點.在中,又為中點，所以.又平面，平面，所以平面.(2)因為底面為平行四邊形，所以.又即，所以.又即.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.【題目點撥】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.線面垂