重慶市外國語學校2024屆數(shù)學高一第二學期期末達標檢測試題含解析

重慶市外國語學校2024屆數(shù)學高一第二學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在正方體中，，分別是，中點，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．2．已知，且，則（）A． B．7 C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．2 B． C． D．124．在中，分別為角的對邊，若的面積為，則的值為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（）A．1 B． C． D．20166．將一個總體分為甲、乙、丙三層，其個體數(shù)之比為，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應從丙層中抽取的個體數(shù)為（）A．20 B．40 C．60 D．1007．若，則下列結論成立的是（）A． B．C．的最小值為2 D．8．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率為（）A．50% B．30% C．10% D．60%9．菱形ABCD，E是AB邊靠近A的一個三等分點，DE=4，則菱形ABCD面積最大值為（）A．36 B．18 C．12 D．910．已知直線與圓相切，則的值是()A．1 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若正實數(shù)滿足，則的最大值為__________.12．在中，，，則的值為________13．某學校成立了數(shù)學，英語，音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32，33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖.現(xiàn)隨機選取一個成員，他恰好只屬于2個小組的概率是____.14．某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是15．不等式的解集是．16．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．有同一型號的汽車100輛，為了解這種汽車每耗油所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機地抽出10輛，在同一條件下進行耗油所行路程的試驗，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)根據(jù)上表，在坐標系中畫出頻率分布直方圖.18．自變量在什么范圍取值時，函數(shù)的值等于0?大于0呢?小于0呢?19．某校200名學生的數(shù)學期中考試成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是.（1）求圖中m的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這200名學生的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）和中位數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（3）若這200名學生的數(shù)學成績中，某些分數(shù)段的人數(shù)x與英語成績相應分數(shù)段的人數(shù)y之比如下表所示，求英語成績在的人數(shù).分數(shù)段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1:22:16:51:21:120．已知數(shù)列滿足：.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）記，求數(shù)列的前項和.21．已知，為兩非零有理數(shù)列（即對任意的，，均為有理數(shù)），為一個無理數(shù)列（即對任意的，為無理數(shù)）．（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；（2）若為有理數(shù)列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；（3）已知，，試計算．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

如圖，平移直線到，則直線與直線所成角，由于點都是中點，所以，則，而，所以，即，應選答案D．2、D【解題分析】

由平方關系求得，再由商數(shù)關系求得，最后由兩角和的正切公式可計算．【題目詳解】，，，，.故選：D.【題目點撥】本題考查兩角和的正切公式，考查同角間的三角函數(shù)關系．屬于基礎題．3、C【解題分析】

由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，再結合棱柱的表面積公式求解即可.【題目詳解】解：由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，又由圖可知底面等腰直角三角形的直角邊長為1，棱柱的高為1，則該幾何體的表面積是，故選：C.【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖，重點考查了棱柱的表面積公式，屬基礎題.4、B【解題分析】試題分析：由已知條件及三角形面積計算公式得由余弦定理得考點：考查三角形面積計算公式及余弦定理．5、C【解題分析】

利用和關系得到數(shù)列通項公式，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，相減：取答案選C【題目點撥】本題考查了和關系，數(shù)列的通項公式，意在考查學生的計算能力.6、B【解題分析】

求出丙層所占的比例，然后求出丙層中抽取的個體數(shù)【題目詳解】因為甲、乙、丙三層，其個體數(shù)之比為，所以丙層所占的比例為，所以應從丙層中抽取的個體數(shù)為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了分層抽樣中某一層抽取的個體數(shù)的問題，考查了數(shù)學運算能力.7、D【解題分析】

由，根據(jù)不等式乘方性質(zhì)可判斷A不成立；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷B不成立；由基本不等式可判斷C不成立，D成立．【題目詳解】對于A,若，則有，故A不成立；對于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B不成立；對于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；則D能成立.故選：D.【題目點撥】本題考查基本不等式、不等式的基本性質(zhì)，考查不等式性質(zhì)的應用，屬于基礎題.8、A【解題分析】

甲不輸?shù)母怕实扔诩撰@勝或者平局的概率相加，計算得到答案.【題目詳解】甲不輸?shù)母怕实扔诩撰@勝或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率為：故答案選A【題目點撥】本題考查了互斥事件的概率，意在考查學生對于概率的理解.9、B【解題分析】

設出菱形的邊長，在三角形ADE中，用余弦定理表示出cosA【題目詳解】設菱形的邊長為3a，在三角形ADE中，AD=3a,AE=a,DE=4，有余弦定理得cosA=10a2-166a故選：B【題目點撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查菱形的面積公式，考查二次函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.10、D【解題分析】

利用直線與圓相切的條件列方程求解.【題目詳解】因為直線與圓相切，所以，，，故選D.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，通常利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系進行判斷，考查運算能力，屬于基本題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

可利用基本不等式求的最大值.【題目詳解】因為都是正數(shù)，由基本不等式有，所以即，當且僅當時等號成立，故的最大值為.【題目點撥】應用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結構.求最值時要關注取等條件的驗證.12、【解題分析】

由，得到，由三角形的內(nèi)角和，求出，再由正弦定理求出的值.【題目詳解】因為，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形，屬于簡單題.13、【解題分析】

由題中數(shù)據(jù)，確定課外小組的總?cè)藬?shù)，以及恰好屬于2個小組的人數(shù)，人數(shù)比即為所求概率.【題目詳解】由題意可得，課外小組的總?cè)藬?shù)為，恰好屬于2個小組的人數(shù)為，所以隨機選取一個成員，他恰好只屬于2個小組的概率是.故答案為【題目點撥】本題主要考查古典概型，熟記列舉法求古典概型的概率即可，屬于常考題型.14、3【解題分析】試題分析：，解得.考點：球的體積和表面積15、【解題分析】

因為,且拋物線開口方向向上，所以，不等式的解集是.16、【解題分析】

用基本量法求出數(shù)列的通項公式，由通項公式可得取最小值時的值，從而得的最小值．【題目詳解】設數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前項和的最值．首項為負且遞增的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最小，首項為正且遞減的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最大，當然也可把表示為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識求得最值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）通過所給數(shù)據(jù)算出頻數(shù)和頻率值，并填入表格中；（2）計算每組數(shù)中的頻率除以組距的值，再畫出直方圖.【題目詳解】(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[12.45,12.95)20.2[12.95,13.45)30.3[13.45,13.95)40.4[13.95,14.45)10.1合計101.0(2)頻率分布直方圖如圖所示：【題目點撥】本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的簡單應用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.18、當或時，函數(shù)的值等于0；當時，函數(shù)的值大于0；當或時，函數(shù)的值小于0.【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【題目詳解】由題：由得：或；由得：；由得：或，綜上所述：當或時，函數(shù)的值等于0；當時，函數(shù)的值大于0；當或時，函數(shù)的值小于0.【題目點撥】此題考查解二次方程和二次不等式，關鍵在于熟練掌握二次方程和二次不等式的解法，準確求解.19、（1）（2）平均分為，中位數(shù)為（3）140人【解題分析】

（1）由題得，解方程即得解；（2）利用頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的計算公式估計這200名學生的平均分和中位數(shù)；（3）分別計算每一段的人數(shù)即得解.【題目詳解】（1）由，解得.（2）頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和即為平均數(shù)，即估計平均數(shù)為．設中位數(shù)為,則解得（3）由頻率分布直方圖可求出這200名學生的數(shù)學成績在，，的分別有60人，40人，10人，按照表中給的比例，則英語成績在，，的分別有50人，80人，10人，所以英語成績在的有140人．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）證明見解析，；（2）．【解題分析】

（1）由等差數(shù)列的定義證明，利用等差數(shù)列通項公式可求得；（2）用裂項相消法求數(shù)列的和．【題目詳解】（1）證明：∵，∴，即，∴是等差數(shù)列，公差為，，∴，∴；（2）由（1），所以．【題目點撥】本題考查用定義證明等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的通項公式，考查用裂項相消法求數(shù)列的前項和．掌握等差數(shù)的定義是解題關鍵．數(shù)列求和時除掌握等比數(shù)列的求和公式外還要掌握數(shù)列的幾種求和方法：裂項相消法，錯位相減法，分組（并項）求和法，倒序相加法等等．21、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解題