機(jī)械振動-第07課 頻率方程、振型與正則坐標(biāo)

第七課頻率方程、振型與正那么坐標(biāo)Sunday,January14,2024主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標(biāo)耦合模態(tài)正交性與主坐標(biāo)主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標(biāo)耦合模態(tài)正交性與主坐標(biāo)頻率方程與特征值問題頻率方程與特征值問題頻率方程與特征值問題頻率方程與特征值問題頻率方程與特征值問題例題主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標(biāo)耦合模態(tài)正交性與主坐標(biāo)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動不是互相獨(dú)立的，它們彼此受另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動的影響。這種質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動相互影響的現(xiàn)象叫做耦合〔coupling〕，具有耦合性質(zhì)的系統(tǒng)叫耦合系統(tǒng)。像這樣表示振動位移的兩個(gè)以上坐標(biāo)出現(xiàn)在同一個(gè)運(yùn)動方程式中時(shí)，就稱這些坐標(biāo)之間存在靜力耦合或彈性耦合。另外，當(dāng)一個(gè)微分方程式中出現(xiàn)兩個(gè)以上的加速度項(xiàng)時(shí)，稱為在坐標(biāo)之間有動力耦合或質(zhì)量〔慣性〕耦合。坐標(biāo)耦合〔耦聯(lián)〕l1l2GmgCGx靜力耦合或彈性耦合質(zhì)心與幾何中心不重合質(zhì)心x幾何中心坐標(biāo)耦合GCl4l3GxcC動力耦合或質(zhì)量耦合C幾何中心坐標(biāo)耦合x=x1ll1l2Gmgx1G靜力與動力耦合坐標(biāo)耦合坐標(biāo)耦合某個(gè)系統(tǒng)中是否存在耦合取決于用以表示運(yùn)動的坐標(biāo)的選擇方法，而與系統(tǒng)本身的特性無關(guān)。通過適當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)，可以將系統(tǒng)的運(yùn)動方程表示成既無靜力耦合又無動力耦合的形式。采用主坐標(biāo)或正那么坐標(biāo)可以使運(yùn)動方程解耦。主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標(biāo)耦合模態(tài)正交性與主坐標(biāo)n自由度的振動系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。對應(yīng)于兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘

相減

說明，對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量?？梢姡捎谥髡裥偷恼恍?，不同階的主振動之間不存在動能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在彈性耦合。對于每一個(gè)主振動來說，它的動能和勢能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動過程中，每個(gè)主振動內(nèi)部的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此，從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動是互相獨(dú)立的，這就是主振動正交性的物理意義。以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)n×n階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣使Mr由對角陣變換為單位陣將主振型矩陣的各列除以其對應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即這樣得到的振型稱為正那么振型。正那么振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率以各階正那么振型為列，依次排列成一個(gè)n×n階方陣，稱此方陣為正那么振型矩陣，即由正交性可導(dǎo)出正那么矩陣兩個(gè)性質(zhì)譜矩陣

在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程中既有動力耦合又有靜力耦合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)耦合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。由前面的討論可知，主振型矩陣U與正那么振型矩陣，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正那么振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主坐標(biāo)或正那么坐標(biāo)。由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣，使運(yùn)動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，第i個(gè)模態(tài)坐標(biāo)代表在位移向量中第i階主振型〔模態(tài)振型〕所作的奉獻(xiàn)。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時(shí)存在。這就是模態(tài)坐標(biāo)得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)奉獻(xiàn)的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。寫出圖示系統(tǒng)的主振型矩陣和正那么振型矩陣，以及用正那么坐標(biāo)表示的系統(tǒng)運(yùn)動方程。由質(zhì)量矩陣

，可求出主質(zhì)量矩