夏鈳固體物理第三章

第一節(jié)簡(jiǎn)諧近似第二節(jié)一維晶格的振動(dòng)第三節(jié)晶體的熱力學(xué)函數(shù)第四節(jié)晶格熱容的量子理論第五節(jié)晶格的熱傳導(dǎo)第六節(jié)離子晶體中的長(zhǎng)光學(xué)波學(xué)習(xí)內(nèi)容：第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)學(xué)習(xí)的意義與目的學(xué)習(xí)的意義與目的：1·回顧：組成晶體的原子被認(rèn)為是固定在格點(diǎn)位置(平衡位置)靜止不動(dòng)

的！理想化模型2·認(rèn)識(shí)：有限溫度(T≠0K)下，組成晶體的原子或離子圍繞平衡位置作微小振動(dòng)格點(diǎn)“晶格振動(dòng)”有限溫度下，組成晶體的原子并非固定于格點(diǎn)位置，而是以格點(diǎn)為平衡位置作熱振動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為晶格振動(dòng)3·晶格振動(dòng)的作用與學(xué)習(xí)意義：※

晶格振動(dòng)使晶體勢(shì)場(chǎng)偏離嚴(yán)格的周期性；※

對(duì)Bloch電子有散射作用，從而影響與電子有關(guān)的運(yùn)輸性質(zhì)：電導(dǎo)，霍爾效應(yīng)，磁阻，溫差電效應(yīng)；※

晶體的比熱，熱膨脹和熱導(dǎo)等熱學(xué)性質(zhì)直接依賴于晶格振動(dòng)；※

晶體的光吸收和光發(fā)射等光學(xué)性質(zhì)與晶格振動(dòng)有關(guān)※電子-電子間通過(guò)晶格振動(dòng)可出現(xiàn)不同于庫(kù)侖力的相互作用，形成所謂庫(kù)柏對(duì)，產(chǎn)生超導(dǎo)性。晶格動(dòng)力學(xué)

是固體物理學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的部分之一！②

Einstein發(fā)展普朗克量子假說(shuō)—量子熱容量理論4·晶格振動(dòng)的出現(xiàn)及發(fā)展歷程杜隆—柏替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律把熱容量和原子振動(dòng)聯(lián)系起來(lái)!①

起源于晶體熱學(xué)性質(zhì)的研究得到：摩爾熱容量為3Nk=3R問(wèn)題：與低溫?zé)崛萘肯嗝堋猅↓,Cv↓推動(dòng)了對(duì)固體原子振動(dòng)進(jìn)行具體的研究!得到:熱容量與原子振動(dòng)的具體頻率有關(guān)③

建立“格波

”形式→研究晶格振動(dòng)晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間存在著固定的位相關(guān)系—晶格中存在著角頻率ω為的平面波8.3145J·mol-1K-1晶格振動(dòng)是典型的小振動(dòng)

問(wèn)題！—經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移

→

該力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)屬于小振動(dòng)處理小振動(dòng)問(wèn)題的理論方法和主要結(jié)果晶格振動(dòng)的經(jīng)典理論絕熱近似簡(jiǎn)諧近似原子在平衡位置附近作微小振動(dòng)布拉伐格矢是平衡位置第一節(jié)簡(jiǎn)諧近似學(xué)習(xí)晶格振動(dòng)的理論基礎(chǔ)絕熱近似：固體是有大量的原子組成→復(fù)雜的多體問(wèn)題！原子與原子原子與電子電子與電子∵晶體中電子和正原子實(shí)的質(zhì)量相差很大：∴正原子實(shí)的運(yùn)動(dòng)速度<<

電子快速運(yùn)動(dòng)的電子能很快地適應(yīng)正原子實(shí)的位置變化—正原子實(shí)固定在它的瞬間位置近似認(rèn)為正原子實(shí)不動(dòng)→絕熱近似→正電子實(shí)和原子運(yùn)動(dòng)分開(kāi)絕熱近似下:多種粒子的多體問(wèn)題

多電子問(wèn)題簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧近似:已知：晶胞包含N個(gè)原子，平衡位置為；偏離平衡位置的位移矢量為∴原子的瞬時(shí)位矢:則晶體的總勢(shì)能函數(shù)可表示為：在平衡位置展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：:晶體中相距的兩個(gè)原子間的相互作用勢(shì)能第一項(xiàng)V0=平衡晶格勢(shì)能=0∴第二項(xiàng)∴

省去二階以上的高階項(xiàng)，得到：簡(jiǎn)諧近似

—體系的勢(shì)能函數(shù)只保留至二次項(xiàng)，稱為簡(jiǎn)諧近似注意：※簡(jiǎn)諧近似是晶格動(dòng)力學(xué)處理許多物理問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)!為了使問(wèn)題既簡(jiǎn)化又能抓住主要矛盾簡(jiǎn)正振動(dòng)模式：在簡(jiǎn)諧近似下,由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動(dòng),可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動(dòng).每個(gè)諧振子的振動(dòng)模式稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)模式簡(jiǎn)正振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動(dòng),它是晶格振動(dòng)模式中最簡(jiǎn)單最基本的振動(dòng)方式.原子的振動(dòng)

—格波振動(dòng)通常是這3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的線形迭加.※對(duì)熱膨脹和熱傳導(dǎo)等問(wèn)題必須考慮高階項(xiàng)

---

特別是3次和4次項(xiàng)的作用

→

這稱為非諧項(xiàng)或非諧作用–

V非諧

※

具體處理問(wèn)題時(shí),把非諧項(xiàng)看成是對(duì)起主要作用的簡(jiǎn)諧項(xiàng)的微擾!單原子鏈看作是一個(gè)最簡(jiǎn)單的晶格!①

計(jì)算相鄰原子間作用力(a)N

個(gè)質(zhì)量為m的原子組成一維布拉伐格子；設(shè)：(b)平衡時(shí)相鄰原子距離為a(晶胞體積為a或晶格常數(shù)為a)；(c)原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)，偏離格點(diǎn)的位移表示為:第二節(jié)一維晶格的振動(dòng)一、一維單原子鏈1·

模型與運(yùn)動(dòng)方程晶格具有周期性—晶格的振動(dòng)模具有波的形式格波單原子鏈看作是一個(gè)最簡(jiǎn)單的晶格!①

計(jì)算相鄰原子間作用力(a)N

個(gè)質(zhì)量為m的原子組成一維布拉伐格子；設(shè)：(b)平衡時(shí)相鄰原子距離為a(晶胞體積為a或晶格常數(shù)為a)；(c)原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)，偏離格點(diǎn)的位移表示為:第二節(jié)一維晶格的振動(dòng)一、一維單原子鏈1·

模型與運(yùn)動(dòng)方程晶格具有周期性—晶格的振動(dòng)模具有波的形式格波一維單原子鏈平衡位置an(n+1)(n+2)(n-1)(n-2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)(b)瞬時(shí)位置和位移只考慮最近鄰原子間的相互作用！原子鏈的相互作用能一般可表示為：其中:表示對(duì)平衡距離的偏離在簡(jiǎn)諧近似條件下，相鄰原子間的作用力②考察第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程，它受到左右兩個(gè)近鄰原子對(duì)它的作用力：β表示恢復(fù)力系數(shù)=彈性系數(shù)an(n+1)(n+2)(n-1)(n-2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)左（n-1)原子：？？左（n-1)原子：受到的力:受到的力:右（n+1)原子：∴第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：注意：原子鏈中有N個(gè)原子，則有N個(gè)這種形式的方程an(n+1)(n+2)(n-1)(n+2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)2·

邊界條件→波恩—卡曼（Born-VonKarman）條件∵一個(gè)有限鏈兩端的原子和內(nèi)部原子有所不同∴

有不同形式的運(yùn)動(dòng)方程方程的解很復(fù)雜！結(jié)果：選擇波恩—卡曼（Born-VonKarman）條件用連接體內(nèi)原子相同的彈簧將鏈兩端的原子連在一起！對(duì)于一維原子鏈，邊界條件可形象規(guī)定為：一維鏈的B-K邊界條件作用：并未改變運(yùn)動(dòng)方程的解，只是原胞標(biāo)數(shù)由n增加N，滿足對(duì)于一維原子鏈，邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式：A:振幅,ω:波的角頻率,λ:波長(zhǎng),q=2π/λ:波數(shù)3·

格波解與色散關(guān)系驗(yàn)證方程:有下列“格波”形式的解：表示沿鏈傳播的波代入得到：ω

與q的關(guān)系稱為色散關(guān)系!振動(dòng)頻譜/振動(dòng)譜①格波解4.討論：naq—位相因子物理意義：相鄰原子的振動(dòng)位相差為q(n+1)a–qna=aqaq

改變一個(gè)2π的整數(shù)倍,兩個(gè)原子的振動(dòng)位移相等!一維單原子鏈的布里淵區(qū)q

的取值限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)格波

—

在晶體中傳播的振幅為A,頻率為ω的行波，是晶體中原子的一種集體運(yùn)動(dòng)形式。nn+1n+2n-2n-1格波②

波恩—卡曼（Born-VonKarman）條件知∴

被限制在第一布里淵區(qū)里的q

可取N個(gè)不同的值!又∵每個(gè)q

對(duì)應(yīng)著一個(gè)格波∴

對(duì)應(yīng)著N

個(gè)獨(dú)立的格波，或有N個(gè)獨(dú)立的振動(dòng)模式③

色散關(guān)系的幾個(gè)重要性質(zhì)-π/a<q≤π/a根據(jù)色散關(guān)系式∴

得到一維單原子晶格的色散關(guān)系曲線:由圖知，頻率ω的范圍為:0<

ω

≤2(β/m)1/2只有這些頻率的格波能在晶格中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減!應(yīng)用:可把一維單原子晶格看成低通濾波器!ωq一維單原子鏈的ω-q

函數(shù)關(guān)系

a)長(zhǎng)波極限

（q→0）情況:

在q→0的長(zhǎng)波近似下，色散關(guān)系式中彈性波（聲波）的色散關(guān)系:形式相同!彈性波相速度：C:彈性模量ρ:連續(xù)介質(zhì)密度q=2π/λ一維單原子晶格格波：密度：彈性模量：格波的相速度：在長(zhǎng)波極限下，一維單原子晶格格波可看成彈性波（聲波），晶格可看成連續(xù)介質(zhì)!∴V彈=V格結(jié)論:ωωmq色散關(guān)系直線代表彈性波色散關(guān)系b）短波極限（q=π/a)情況當(dāng)q=π/a時(shí),(布里淵區(qū)邊界)對(duì)應(yīng)著最大頻率ωmax.隨著q↑,色散曲線開(kāi)始偏離直線向下彎;當(dāng)q

→π/a

時(shí)，色散曲線變的平坦；③平衡時(shí)相鄰原子距離為a（晶胞體積為a或晶格常數(shù)為a)；二、一維雙原子鏈1·

模型與運(yùn)動(dòng)方程雙原子鏈可以看作是一個(gè)最簡(jiǎn)單的復(fù)式晶格!設(shè):①

每個(gè)原胞中含2個(gè)不同的原子P

和Q，質(zhì)量

分別為m

,M

;②原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)，偏離格點(diǎn)的位移表示為:2a一維雙原子鏈模型Mm考慮：最近鄰原子間的相互作用一維雙原子鏈原子的運(yùn)動(dòng)方程：2·

格波解和色散關(guān)系①設(shè)有下列形式的格波解：把上式化成以

A,B

為未知數(shù)的線性齊次方程得到：有解條件：一維雙原子鏈的色散關(guān)系（w–q)?、谧⒁猓河筛癫ń猓骸?π/2a<q≤π/2a

得知：相鄰原胞P

原子（或者Q原子）之間的位相差為2aq∴

2aq

改變2π的整數(shù)倍，原子的振動(dòng)不變!q的取值范圍為：π<2aq≤+π一維雙原子鏈的布里淵區(qū)!由邊界條件得到：根據(jù)q的取值范圍∴

-N/2<h≤N/2,即共有N

個(gè)不同的值對(duì)于N個(gè)q值中的每一個(gè)q，存在兩個(gè)解總共得到2N個(gè)格波解與體系中有2N個(gè)自由度一致(a)當(dāng)q→±π/2a（短波極限情況）③討論色散關(guān)系一維雙原子鏈晶格色散關(guān)系由M>m可知，沒(méi)有格波！之間的頻率范圍稱為頻率隙應(yīng)用：把一維雙原子晶格叫帶通濾波器頻率隙一維雙原子鏈晶格色散關(guān)系(b)當(dāng)q→0時(shí)（長(zhǎng)波極限情況）<<1簡(jiǎn)化★

聲學(xué)波?“-”與一維單原子晶格的色散關(guān)系相似！∴

q→0

極限下，可看成彈性波→聲學(xué)波振幅：代入聲學(xué)支長(zhǎng)波極限下聲學(xué)支和光學(xué)支的原子位移nn+1n+2n-2n-1聲學(xué)波示意圖∴長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子振動(dòng)方向相同，振幅和位相無(wú)差別，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)—它代表原胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)！★當(dāng)q→0時(shí)光學(xué)波∵

由于這個(gè)頻率處于光譜的紅外區(qū)∴這支格波稱為光學(xué)波典型值ω+(q)

隨著q變化很小ω+(q)>ω-(q)q→0,ω

≠0

光學(xué)波的突出特點(diǎn)振幅：把q=0,ω=(2β/μ)1/2

代入:聲學(xué)支光學(xué)支長(zhǎng)波極限下聲學(xué)支和光學(xué)支的原子位移∴長(zhǎng)光學(xué)波代表同一原胞中兩個(gè)原子振動(dòng)方向相反，原胞中不同原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大—

質(zhì)心保持不變的振動(dòng)！長(zhǎng)光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)！光學(xué)波示意圖TheEnd濾波器

—在電子系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用，用于信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳送和抑制干擾等，其功能是在制定的頻帶內(nèi)，讓有用信號(hào)通過(guò)，同時(shí)抑制（衰減）無(wú)用信號(hào)。合成器中濾波器四種形式：低通、高通、帶通、陷波低通：讓低頻通過(guò)，濾掉高頻；高通：讓高頻通過(guò)，濾掉低頻；帶通：讓某一個(gè)范圍的頻率通過(guò)，濾除其余頻率；陷波：濾除某一個(gè)范圍的頻率，讓其余頻率通過(guò)。

wq一維單原子鏈的w-q

函數(shù)關(guān)系一維雙原子鏈晶格色散關(guān)系(1)方便于求解原子運(yùn)動(dòng)方程.除了原子鏈兩端的兩個(gè)原子外,其它任一個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)都與相鄰的兩個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)相關(guān).即除了原子鏈兩端的兩個(gè)原子外,其它原子的運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成了個(gè)聯(lián)立方程組.但原子鏈兩端的兩個(gè)原子只有一個(gè)相鄰原子,其運(yùn)動(dòng)方程僅與一個(gè)相鄰原子的運(yùn)動(dòng)相關(guān),運(yùn)動(dòng)方程與其它原子的運(yùn)動(dòng)方程迥然不同.與其它原子的運(yùn)動(dòng)方程不同的這兩個(gè)方程,給整個(gè)聯(lián)立方程組的求解帶來(lái)了很大的困難.引入玻恩-卡門條件的理由是什么?2)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得較好對(duì)于原子的自由運(yùn)動(dòng),邊界上的原子與其它原子一樣,無(wú)時(shí)無(wú)刻不在運(yùn)動(dòng).對(duì)于有N個(gè)原子構(gòu)成的的原子鏈,硬性假定的邊界條件是不符合事實(shí)的.其實(shí)不論什么邊界條件都與事實(shí)不符.但為了求解近似解,必須選取一個(gè)邊界條件。晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定是對(duì)晶格振動(dòng)理論的最有力驗(yàn)證.玻恩-卡門條件是晶格振動(dòng)理論的前提條件.實(shí)驗(yàn)測(cè)得的振動(dòng)譜與理論相符的事實(shí)說(shuō)明,玻恩-卡門周期性邊界條件是目前較好的一個(gè)邊界條件.★

無(wú)限大晶體—

無(wú)邊界，每個(gè)原子具有相同的運(yùn)動(dòng)方程★實(shí)際上晶體是有限的，處在表面上的原子所受的作用與內(nèi)部不同—

運(yùn)動(dòng)方程式不同但一般來(lái)說(shuō)，由于表面原子數(shù)目比起整個(gè)晶體中的原子數(shù)目來(lái)要少的多→因此表面原子的特殊性對(duì)晶體的整體性質(zhì)產(chǎn)生的影響可以忽略—

也就是說(shuō)表面上（原子鏈的兩端）原子的運(yùn)動(dòng)方式可以按數(shù)學(xué)上的方便任意選擇！表面原子的運(yùn)動(dòng)方式稱為邊界條件

—

玻恩-卡門提出的周期性邊界條件是最方便的選擇！設(shè)想在有限晶體之外還有無(wú)窮多個(gè)完全相同的晶體，互相平行的堆積充滿整個(gè)空間，組成一個(gè)無(wú)限晶體，保證了有限晶體的平移對(duì)稱性—

在各個(gè)相同晶體塊內(nèi)相應(yīng)原子的運(yùn)動(dòng)情況應(yīng)當(dāng)完全相同；一維晶格：將許多完全相同的原子鏈?zhǔn)孜策B接成無(wú)窮長(zhǎng)鏈——

第N+1

個(gè)原子就是第1個(gè)原子，第N+2

個(gè)原子就是第2

個(gè)原子……也可以把它看作是N個(gè)原子構(gòu)成的圓環(huán)！保證了從晶體內(nèi)任一點(diǎn)出發(fā)平移

Na

后必將返回原處！∴邊界條件：un=un+N經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近的最基本最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

在量子物理中與此對(duì)應(yīng)的微觀粒子的運(yùn)動(dòng)就是諧振子在任何一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)中，只要某一個(gè)實(shí)體在其穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近作微小振動(dòng)，便可以用這種簡(jiǎn)諧振子(simpleharmonicoscillator)模型來(lái)描述它。諧振子的勢(shì)函數(shù)可以表示為這種形式：式中k為常數(shù).在波傳播的方向上單位長(zhǎng)度內(nèi)的波周數(shù)目稱為波數(shù)(常寫為k或q)，其倒數(shù)稱為波長(zhǎng)。

k或q=1/λ。

理論物理中定義為:k或q

=2π/λ波數(shù)第四章能帶理論學(xué)習(xí)內(nèi)容：第一節(jié)金屬的經(jīng)典電子氣理論第二節(jié)索末菲自由電子論第三節(jié)布洛赫定理第四節(jié)近自由電子近似引子固體中存在大量的電子，其運(yùn)動(dòng)是互相關(guān)聯(lián)的；每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)都要受到其它電子運(yùn)動(dòng)的牽連；認(rèn)識(shí)：解這個(gè)多電子系統(tǒng)是不可能的！能帶理論（單電子近似理論）把每個(gè)電子看成是獨(dú)立的在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)！多粒子體系多電子體系單電子近似能帶理論是目前研究固體中電子運(yùn)動(dòng)的一個(gè)主要理論基礎(chǔ)！1900年，Drude和Lorrentz

—

金屬的經(jīng)典電子氣理論研究的歷史發(fā)展：三十年代初期，Bloch和Brilliouin

—

能帶理論——麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)1928年，Sommerfeld

—

索末菲自由電子理論—費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)

量子自由電子理論量子自由電子理論可作為一種零級(jí)近似納入能帶理論！第一節(jié)金屬的經(jīng)典電子氣理論一、Drude–Lorrentz

電子起因：金屬的一般性質(zhì)高電導(dǎo)率高熱導(dǎo)率你知道嗎？基礎(chǔ)：1897年，Thomson發(fā)現(xiàn)金屬中電子的存在利用分子論處理理理想氣體問(wèn)題獲得巨大成功固體材料中，三分之二以上的固態(tài)純?cè)匚镔|(zhì)屬于金屬材料。由于金屬具有極好的導(dǎo)電，導(dǎo)熱性能及優(yōu)良的機(jī)械性能，是一種非常重要的實(shí)用材料，所以通過(guò)對(duì)金屬材料功能的研究，可了解金屬材料的性質(zhì)，同時(shí)推動(dòng)現(xiàn)代固體理論的發(fā)展。另一方面，對(duì)金屬材料的了解，也是認(rèn)識(shí)非金屬材料的基礎(chǔ)！金屬中的價(jià)電子同氣體分子類似，形成自由電子氣體，稱為金屬電子氣一、特魯?shù)履Ｐ偷幕炯僭O(shè)認(rèn)為：當(dāng)金屬原子凝聚在一起形成金屬時(shí)原來(lái)孤立原子封閉殼層內(nèi)的電子（芯電子）緊緊被原子核束縛原子核不可移動(dòng)的離子實(shí)原來(lái)孤立原子封閉殼層外的電子（價(jià)電子）在金屬中可自由的移動(dòng)自由電子：當(dāng)這些孤立原子凝聚到一起時(shí)，價(jià)電子離開(kāi)原子而在金屬中自由的運(yùn)動(dòng)?。▊鲗?dǎo)電子）-e(Za-Z)-eZeZa孤立原子草圖在金屬中，原子核和核芯電子仍與孤立原子時(shí)相同價(jià)電子卻離開(kāi)該原子形成電子氣原子核芯電子價(jià)電子原子核芯電子自由電子離子實(shí)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)eZaeZaeZaeZaeZa特魯?shù)履Ｐ停孩賰r(jià)電子→自由電子（組成電子氣），離子實(shí)保持原子在自由狀態(tài)時(shí)的構(gòu)型；③電子氣遵從麥克斯韋—

玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)(M-B

)②自由電子之間的相互作用忽略不記；二、模型的成功可定性解釋金屬的電導(dǎo)、霍爾（Hall）效應(yīng)和熱傳導(dǎo)等問(wèn)題！例如：證明了金屬熱導(dǎo)率除以電導(dǎo)率與絕對(duì)溫度的積是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的普適常數(shù)（Lorentz常數(shù)）與Weidemann-franz實(shí)驗(yàn)定律相符Drude模型是把金屬電子看成經(jīng)典氣體→它們遵循M-B

統(tǒng)計(jì)規(guī)律：三、模型的失敗1·

電子氣體的比熱※每個(gè)自由度對(duì)應(yīng)平均能量為※每個(gè)電子有3個(gè)自由度金屬中N個(gè)自由電子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)為：利用F-D

統(tǒng)計(jì)得到的電子熱容量為：第二節(jié)索末菲自由電子論1、模型2、邊界條件3、薛定諤方程的解4、K空間和能態(tài)密度5、費(fèi)米—

狄拉克（Fermi-Driac）分布6、電子熱容量量子力學(xué)建立后，索末菲將薛定諤方程應(yīng)用于自由電子氣體模型，建立了量子自由電子理論。按照量子自由電子理論，金屬中的價(jià)電子類似于理想氣體，彼此之間沒(méi)有相互作用，且各自獨(dú)力地在一個(gè)等于平均勢(shì)能的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。其中每一個(gè)電子所具有的狀態(tài)就是一定深度勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子所具有的能態(tài)——

單電子的本征態(tài)①邊長(zhǎng)為L(zhǎng)立方體金屬，N個(gè)價(jià)電子在其中自由運(yùn)動(dòng)，但不能跑出表面—脫出功電子的勢(shì)能為：1·模型相當(dāng)于電子束縛在方盒子內(nèi)—在金屬表面為界的勢(shì)井中獨(dú)立運(yùn)動(dòng)每個(gè)單電子的狀態(tài)可用波函數(shù)ψ(r)描述——波函數(shù)ψ(r)滿足定態(tài)薛定諤方程單電子的波函數(shù)單電子定態(tài)薛定諤方程：能量本征值

三維直角坐標(biāo)系中：基本原理—費(fèi)米分布函數(shù)②電子氣服從量子的費(fèi)米—狄拉克(Fermi-Dirac)

統(tǒng)計(jì)和泡利(Pauli)不相容原理①波函數(shù)在表面上任何點(diǎn)的值均為零，其解表示一種駐波—駐波邊界條件；②波函數(shù)在立方體三對(duì)表面上相應(yīng)點(diǎn)處相等—

周期性邊界條件或波恩—卡曼(Born-Karman)

條件三維一維2·邊界條件（nx,ny,nz

）作坐標(biāo)構(gòu)成量子數(shù)空間→每一個(gè)點(diǎn)n(nx,ny,nz)就代表電子的一個(gè)狀態(tài)

→并相應(yīng)于空間中一個(gè)單位體積!4·

波矢空間和能態(tài)密度1）K

空間每一組量子數(shù)（nx,ny,nz）代表電子的一個(gè)狀態(tài);若把波矢看做是空間矢量，相應(yīng)的空間稱為波矢空間（空間）；∵

每一（nx,ny,nz）對(duì)應(yīng)一波矢量，也可以作坐標(biāo)來(lái)建立動(dòng)量空間（波矢）空間!nxnzny由:∴波矢空間的一點(diǎn)表示一個(gè)允許的單電子態(tài)kxkzkyK空間中單位體積的狀態(tài)數(shù)為—

K

空間的能級(jí)密度:代表點(diǎn)在波矢空間均勻分布，每一狀態(tài)點(diǎn)所占有體積是:由統(tǒng)計(jì)物理知道，要討論電子的分布，首先要知道每個(gè)能級(jí)的狀態(tài)數(shù)目。在孤立原子中，電子的本征狀態(tài)形成一系列分立能級(jí)。然而，在固體中，每個(gè)能帶中的各能級(jí)是非常密集的,形成準(zhǔn)連續(xù)分布，不可能標(biāo)明每個(gè)能級(jí)及其狀態(tài)數(shù)——因此引入"能態(tài)密度”的概念2）能態(tài)密度能級(jí)：由于邊界條件導(dǎo)致波矢K只能取分立的值，因此單電子本征能量是量子化的——對(duì)應(yīng)于電子的每一個(gè)能量的分立值，稱為該電子的能級(jí)等能面

—固體中單電子能量是波矢函數(shù)，K空間中具有相同能量的代表點(diǎn)所構(gòu)成的面能態(tài)密度—

若在能量E—E+△E

范圍內(nèi)存在

△Z

個(gè)單電子態(tài)，則能態(tài)密度N(E)為如果在K空間中，根據(jù):E(k)=常數(shù)作出等能面—在等能面E和E+△E之間的狀態(tài)的數(shù)目就是△Z∵狀態(tài)K

在空間分布是均勻的∴密度為:作出等能面—

在等能面E

和E+△E

之間的狀態(tài)的數(shù)目就是△Z∵狀態(tài)K

在空間分布是均勻的∴密度為:dk:兩等能面間的垂直距離dS:面積元

等能面示意圖設(shè):為沿法線方向能量的改變率∴能態(tài)密度的一般表達(dá)式:考慮電子可以取正、負(fù)兩種自旋狀態(tài)∴能態(tài)密度加倍：對(duì)于自由電子：空間等能面是球面①自由電子模型∴自由電子模型的能態(tài)密度：EN(E)自由電子能態(tài)密度近自由電子近似的基本思想：金屬中的價(jià)電子在一個(gè)很弱的周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，價(jià)電子的行為很接近于自由電子！區(qū)別：近自由電子受到一個(gè)弱周期場(chǎng)

的作用②近自由電子模型自由電子薛定諤方程：?jiǎn)坞娮友Χㄖ@方程：近自由電子近似是通過(guò)求解單電子薛定諤方程，研究電子在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一種方法！將一維周期勢(shì)V（r）作傅立葉展開(kāi)展開(kāi)系數(shù)中n=0項(xiàng)的系數(shù)=勢(shì)場(chǎng)的平均值近自由電子近似薛定諤方程：平均勢(shì)近自由電子近似將V（r）的周期起伏部分