海文高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義

講義高等數(shù)學(xué)一考研

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

函數(shù)是微枳分的研究對(duì)象，極限是微枳分的理論基礎(chǔ)，而連續(xù)性是可導(dǎo)性與可積性的重

要條件。它們是每年必考的內(nèi)容之-0

第一節(jié)數(shù)列極限與函數(shù)極限

【大綱內(nèi)容】數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義以及它們的性質(zhì)；函數(shù)的左極限與右極限；無(wú)

窮小和無(wú)窮大的概念及其關(guān)系；無(wú)窮小的性質(zhì)及無(wú)窮小的比較；極限的四則運(yùn)算；極限存在

的兩個(gè)準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則；兩個(gè)重要極限：

洛必達(dá)(工'“0H)法則。

【大綱要求】理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、

右極限之間的關(guān)系；掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用

它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮

小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；掌握用洛必達(dá)("建啊皿)法則求未定式極限

的方法。

【考點(diǎn)分析】數(shù)列極限的考點(diǎn)主要包括：￡一川定義的理解，極限運(yùn)算法則的理解，單

調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。函數(shù)極限的考點(diǎn)主要

包括：用洛必達(dá)法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問(wèn)題，無(wú)窮小

量階的比較等等。

一、數(shù)列的極限

1.數(shù)列的極限

無(wú)窮多個(gè)數(shù)按一定順序排成一列：巧巧稱為數(shù)列，記為數(shù)列也)，其中5

稱為數(shù)列的?般項(xiàng)或通項(xiàng)。設(shè)有數(shù)列.)和常數(shù)A。若對(duì)任意給定的￡>0,總存在自然

數(shù)加=Me),當(dāng)n>N時(shí)，恒有,則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列

收斂于A,記為!.或;-8)。沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列

必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。

2.極限存在準(zhǔn)則

(1)定理(夾逼定理)設(shè)在、的某空心鄰域內(nèi)恒有且有

lim=limA(x)=AEna/(x)

T*W,則極限f存在，且等于A.注對(duì)其他極限過(guò)程及數(shù)列

極限，有類似結(jié)論.

(2)定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.

3.重要結(jié)論：⑴若照“?"，則健其中,為任意常數(shù)。

力㈣*0zox配且％、T=a

〈乙,oku/■■■o

【考點(diǎn)一】（1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

（2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞增且無(wú)上界的數(shù)列的極限為+8.

（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無(wú)下界的數(shù)列的極限為-8.

【評(píng)注】（1）在應(yīng)用【考點(diǎn)一】進(jìn)行證明時(shí)，有些題目中關(guān)于單調(diào)性與有界性的證明

有先后次序之分，需要及時(shí)進(jìn)行調(diào)整證明次序。

（2）判定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法:

I計(jì)算—4一..若之°,則。U單調(diào)遞增；若%一，4°,則依）單調(diào)

遞減。

n當(dāng)，＞01=12.…）時(shí)，計(jì)算』.若與，則依｝單調(diào)遞增；若%,

則風(fēng)）單調(diào)遞減。

in,將n改為x,得到函數(shù)，（力。若」可導(dǎo)，則當(dāng)之0時(shí),

單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，（，｝單調(diào)遞減。

【例1?證明題】設(shè)數(shù)列滿足2。證明數(shù)列

;的極限存在并求極限配、

【答疑編號(hào)911010101]

J工+-L

1.2-＞。

假設(shè)X?>0,n22VX?>0

???假設(shè)成立

X?>0

：.*.*/,nel

男122A

=述馬遙芻wo

...X,iWX“且應(yīng)MA

limX.=a

令,

因?yàn)橐抑?，由極限的保號(hào)性知蠡

令n—8,■

I

。=一a十.一1

2a

a_1

*/2a.*.a2=2

【例2?證明題】設(shè)f(x)是區(qū)間[如他或上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，

.=±/0)-0/(陽(yáng)72-)j

I」,證明數(shù)列4,的極限存在。

【答疑編號(hào)911010102】

例2Vf(x)I且f(x)20

■=二/3)-["/(#

=JQ+/⑵+…+/(*-o+颯-4：〃浜毯式浜+…+匚&&1

=1/①-0(91+■?+(/(?-0-^/(^1+/?

,/f(X)I

=/?X"a)d“"

IM”2

/s-D-J/axn/矽對(duì)*-i父“

又「f（x）20

■-?.=[/6-『/（M+I/GW0f-"的+/（，”o（）

=自/困-i>（冰H±/W-口（於1

a

一，=/（》+D-?L?/a皿

=」《+D-/（exi0”加叫

wo

??a〕i20,.且3?+]3n

I

*存在

【考點(diǎn)二】（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有正整數(shù)加，當(dāng)M>"時(shí)，且

Limjc=limz_=a,Jim&-a

??1*4-■,則rJ-'

【評(píng)注】在使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，需要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”

應(yīng)該是盡可能地大，而“放大”應(yīng)該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，

那么就說(shuō)明夾逼準(zhǔn)則不適用于這個(gè)題目，要改用其他方法。

,；*廣疝1'X,

fanI------<fr

【例3?計(jì)算題】計(jì)算極限：1+1K

【答疑編號(hào)911010103】

例3***Q1+?*

JT

2

/.SinX>O,05x-51

°，總"I

。噌4

I*f*f(x)￡r

根據(jù)積分的不等式定理若在[a,b]f(x)2g(x),貝-

.rlx"?in3x.,

OAMI—?

-°l+?ii3x

dxM-----

1M+1

令

（取右端點(diǎn)K）

（取左端點(diǎn)X）

【考點(diǎn)三】用定積分的定義計(jì)算和式的極限：由定積分的定義知，當(dāng)連續(xù)時(shí)，有

lim必

.TooMyI”)

limEJ(a+"8=(b-*a)^/>d4-(b-a)x<dk=^f(x)dx

lim—4'｛）（a+》--《2B-D

【例4?計(jì)算題】求下列極限：24^,

【答疑編號(hào)911010104】

收.省TXirfQ-CM金

In-?(?+g+2)…Q*T]卜

?

=L[加[MJV+W*+為…a-Dl也加域

JC

=Nln.+ln(M+D+ln(M+3+■?4H(2J?-I)-NIIIM]

="([InM-In/i]4-|III(M4-1)-InM]4--(IH(2M-P-InJ?D

JC

=i(11t0+3+M+3+…+皿+^Si

JCJVnn

[?Ti

口前?

，limIn上忒岸+D(M+2)…0-G=lim?渴

***K

=用昂吟=J>3

limInjnl+-)。。+—)"

【例5?選擇題】?▼.*"等于()

(A)l：Ln，xdkCB)2l：lnxdk

(C)2i：lMl+gCD)

【答疑編號(hào)911010105】

6.Iim；ln((14-^(l+^-(14--)]

?+?岸*M

=2lim代ta(l心

**?M,

=2。&(1+xX(x+l)令u=l+x

AQ

【考點(diǎn)四】設(shè)。=J?,則快與=盥〃?=%”藺。也就是說(shuō)，將數(shù)列中的正

整數(shù)5?:改為連續(xù)變量X,令XT*0,則數(shù)列的極限等于相應(yīng)的函數(shù)的極限。綜合題也很重

要。

lim/(?)=lim/(x)

【例6?解答題】設(shè)/口）在x=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且?■/（W=L/E=2.求極限

r?IF，

rlun[miT

【答疑編號(hào)911010201】

6.Vf(0)=1,f'(0)=2

**?M令n

=庭產(chǎn)￡產(chǎn)即

**13

再利用重要極限%p+",-2

_盧濕嬴_盧卡加備加

Mb卡榔Z星

MJ

—■

..<-91111!..l-COS)

lun—i-=Lun-----/-

,-MOI1t-MO大4

4

.?皿=?核=3

■=:M亡、&十大dx&皿

【例7?選擇題】設(shè)2°,則極限等于（)

（A）。+?爐+1（B）。+?』產(chǎn)一I

(C)。+，產(chǎn)+1(D)(1+?9-1

【答疑編號(hào)911010202】

招聲拒其H+D

吟X和+及產(chǎn)

.3

=陋】+（臺(tái)產(chǎn)-1

而坪打

slim―1—」

7嶗?

1>

-1

***■

【例8?證明題】設(shè)46=巧3*-。3'*+…+

xo）=-

證明：（1）對(duì)于任何自然數(shù)n,方程2在區(qū)間

【答疑編號(hào)911010203】

&?=。00?/-巧00?1X+--4-C-1X4CJCO*"x

=1—(I—cosx)"

要證：2有根

//?=[(*)-]

令2

⑴令心“3-河闔蛛

m=x(o)-1=i-^>o

■入

fJl2)=Ji(2)~21=c0~21=_21<0A

勺w(0,—)

???至少存在2使F(Xn)=O

Fl(lC)=q(M)=Hl(l-CO9左尸端口M40

[0f-l

??.F(x)在2嚴(yán)格單減

則F(Xn)=0且Xn唯一

8.⑵?.?42=i-a-BAyi

XlW=-*0-co*K

在"H內(nèi)XW<0

[a—1

...￡>?)在’2上嚴(yán)格單減

*/)=；=I-。-3V

2

。-05寸。<\<：

二、函數(shù)的極限

lim/3=，OlimJ{￡)=A=lim=A

【考點(diǎn)五】z，H痛用也就是說(shuō)，函數(shù)極限

lim/(x)Km/(j)lim/(x)

z，存在目.等于A的充分必要條件是，左極限z4與右極限管都存在,

并且都等于Ao

照/3=4

(1>>**?

=1而./（力=limy（x）=J1

②lim/（0=dolim/（*）=/=lim/*《*）=A

【評(píng)注】在求極限物時(shí)，如果函數(shù)/（*）中包含一或卜1項(xiàng)，則立即討論左右極

限,（P-Q）=%"和/（P+<0=%加）=",再根據(jù)【考點(diǎn)五】判斷雙側(cè)極限

%/8是否存在。

1

..尸+―lnQ+3

~~f+~-]

【例9?解答題】確定常數(shù)a的值，使極限1+?萬(wàn)叫存在。

【答疑編號(hào)911010204】

1

Infl+w)

is?—+-nj-1

1+二冏

X<0

..「3+?，.InQ-Hxx),」

ln(l+x)~jr

ln(l+<u)~ox

x>0

令a=3-a

_3

tt——

2

0

【考點(diǎn)六】使用洛必達(dá)(￡'的教〃)法則求6型未定式的極限之前，一定要將所求

極限盡可能地化簡(jiǎn)?；?jiǎn)的主要方法：

(1)首先用等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行代換。注意：等價(jià)無(wú)窮小代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使

用，而不能在極限的加減運(yùn)算中使用，但在極限的加減運(yùn)算中高階無(wú)窮小可以略去；

(2)將極限值不為零的因子先求極限；

(3)利用變量代換(通常是作倒代換，令?)

(4)恒等變形：通過(guò)因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項(xiàng)、合并或通

分達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

(5)常見的等價(jià)無(wú)窮小代換：

當(dāng)X-0時(shí)，我們有：

(1)aux-x(2)araux-xCd)(4)

(6)(6)ta(l+x)**x(7)l-cour**—

(8)Vi+x-l-^x(9)(io)(t+xr-l-<R(a*0)

UD。'-1=4一l-xlna(12)Iog<(l4-j0=---

0InaInd

未定式極限：

0co

088—8,0X8

r,o°,J

【例io?解答題】求極限

【答疑編號(hào)911010205】

式（等明0

0

[”明]

4K2MOU)-1B3]

x[ln(2+cosx)—ln3]

吧啊24■號(hào)方-In警)

ZT-------(一血由一。i

[hi(2+cosx)-ln3]'=lim.2土pjy上----=一—

2x6

ln(1x+/)—x

lim.----疝-=——=---------

1r

【例11?解答題】求極限**?In^x+^}-'2x

【答疑編號(hào)911010206】

1ktti11(m，+?*)一呼f0

解：???Inf?+1")一|n音0

ln(―q----)

=lim

■一

7呵7■*丁+*一?）

M+F)

x-*0In(1+x)X

【例12?解答題】設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可微，又設(shè)/◎=1，函數(shù)

<0

—2—,x>0

Wa，

爐(水1+4,4-a(x)lcosPtft

/=lim——---------J-------------

求極限***碑W

【答疑編號(hào)911010207】

,爐(川+高3丁+儀切:0/也

Z=lim--------------------------------------

***=(/

/(jr)n+『興.C*8$￡”

=limJ'"-----------+lim且-----------

??破x)x

如破力=5

①4

§髯期=酷(嗎)=；

氏儀中二,現(xiàn)一^-二5

②%&=/吁

63a+戶

+*)"、=lima+x)T*(l+41=-

???

[人出+02

l=lim-------------t-lim-------------

*1*?*■**x

17t

2

=-4-2

8

【考點(diǎn)七】求百型未定式極限的方法：

（1）分子、分母同時(shí)除以最大的無(wú)窮大

（2）使用洛必達(dá)（,網(wǎng)期M）法則

lim-Cci+jX，"/

【例13?解答題】求極限-X*

【答疑編號(hào)911010301】

13.

￡0+乃/XL%

」（1+?）/小

(wO7

8

lim9"彳=』

?*/+2xV26o

0OO

【考點(diǎn)八】化8-8和。-8型未定式為0型和＜?型的方法是:

（1）通分法（2）提因子法（3）變量代換法

8—8,0X8

00

=T=o

co

0

oo

8

limCVx34-3JT*+4-JO

【例14?解答題】求極限

【答疑編號(hào)911010302】

14.

I

=lun[(?+3x4+4),-x]

..,z?4-3x4+4i?

遮4―?~~5s-1]

q4i

=lim*XR1+2+￥-1]

XJF(oo,-oo)

TC4)

xf。,(1+x)2-1?2x

lim(4s+3x”4-3

【例14】求極限f'.

.,.14.lim西+3任+4—才

=域;。+，q

ln*l+<ur'(a?0)

【例15?解答題】求極限:

【答疑編號(hào)911010303】

皿-Q-aV1)ln(l+3

i=lim

--—+2?i,xln<14-tfj0+-^-

=lim1+"l+"

16.2*

a3jr+2aJx(l4-<ur)ln(l-l-<ix)+dV

=lim

■y2414-ax)

2

x,sin"）

【例16?解答題】求極限》*

【答疑編號(hào)911010304】

a>-ca

3

limlngZ)ln(t+±)

【例17?解答題】求極限…*

【答疑編號(hào)911010305】

3

limhG-f-21)-11104--)

17.***K

0-a>

=Jim^加小嗎＞］卜(1+3

3d嗎］

=3ln2

（1）求嘉指函數(shù)型不定式mt/*1"的極限常用"換底法”

【考點(diǎn)九】

或''用e抬起法”,化為08型后再使用洛必達(dá)法則,即

1Ml

Um?(x)rW=血產(chǎn)仁產(chǎn)=lim/W㈤=e?pliin!^^

詞

（2）計(jì)算產(chǎn)型極限的最簡(jiǎn)單方法是使用如下的型極限計(jì)算公式:

X仔㈤=產(chǎn)型⑺T＞（以申lim?=ia（*）=a1推導(dǎo)如下（為簡(jiǎn)便略

去自變量）：

【例18?解答題】（北京大學(xué),2002年）求極限

【答疑編號(hào)911010306】

）T

(?)

zR°

=lim(呼一。

z(軸

=iim-aux=--1

73x3

【例i9?解答題】計(jì)算則*三￥.

(a>O.oWD

【答疑編號(hào)911010307】

19.(1)當(dāng)a>l時(shí)，?

-I)--pJ,

(4

..<sIn。

=lim------------

Z-1x(41*-p

lim----------------=lnd

?*?1x(0*-!)/?*

lim(—)

?-???zeo

lim-=0

*-M?1

19.當(dāng)OVaVl時(shí)

/(x)

lim^——=A

【考點(diǎn)十】(1)已知=g(”)，則有:

①若g(x)70,則f(X)7Os

②若f(x)f0，且/#0,則g(x)T0.

(2)已知lim/(x)g(x)=A,若lim/(x)=00,則limg(x)=0

【評(píng)注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，【考點(diǎn)十】是主要的分析問(wèn)題與解決

問(wèn)題的方法。

/(x)”

hm=A

若g@)

limg(x)=0

且

lim/(%)=0

則

【例20?解答題】設(shè)，

【答疑編號(hào)911010401】

5

又lim(3r-l)=0

limlnf1+]

0

，T。Isinx)

f=0

2°sinx

/W

x—>0,ln1+

sinx

ln(l+x)~x

5

/(x)

lrim——---

2。(3*-l)sinx

lim=5

XTO&-i)x

20.

lim與=51n3

z。/

r/(x)3*-l

=lim--------

iox(3*-1)x

3"-1

=5hm---

iox

=51im3*ln3

XTO

=51n3

chlime*[['e]dZ+a]=2>.L

【例21?選擇題】設(shè)為兩實(shí)常數(shù)，且有，則0聲的值分

別為（）

【答疑編號(hào)911010402】

_訴

a

~~b=0

(A)2,b=0(B)

b=-運(yùn)

(C)&=°,2(D)&=°

21.lim&^[[dt+a}=b

JO

又limJ=產(chǎn)=4-oo

+a=0

dt

??以二—

21.(A)

6

b=Inn-

=lini

1c

=lim------==U

【考點(diǎn)十一】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無(wú)窮小量階的比較的話，則“不管三七二

十一”，先用無(wú)窮小量階的比較的定義處理一下再說(shuō)。

【評(píng)注】無(wú)窮小量階的比較，是一個(gè)重要考點(diǎn)。其主要方法是將兩個(gè)無(wú)窮小量相除取極

限，再由定義比較階的高低。

設(shè)a與戶是同一過(guò)程下的兩個(gè)無(wú)窮小，即加”=0,山n戶二°

lim烏=0,則稱4匕席階的無(wú)窮小;

若§

「a

lim—=OD,

若則稱§儀是比?低階的無(wú)窮小;

lim-=C,（C為常數(shù)，且C#0）,則稱a與/同階無(wú)窮小;

若尸

若尸則稱a與尸是等價(jià)無(wú)窮小。

lim-^

若伊=c#0,k>0,則稱&是戶的無(wú)階無(wú)窮小。

]^2f必

【例22?解答題】已知當(dāng)X一°時(shí)，/S）與5'是等價(jià)無(wú)窮小，L成與少

是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)上和上。

【答疑編號(hào)911010403】

1.

|?7w

lim-----1—=1-(k>0)

I。Ax0

32J

yw*

lim------—

1。必t

(k>0)

2-111

-X3-X3

1

lim------^―=lim

X3曲J1。3麻Jt-2

工70,/（力~孑

21*

/(x3)--x3

//⑷成

22.lim"——E—=1

XTOAx

1

=limTT=]

203Akx

Ar-2=0,=lim—=1

*T°6J4

A=-

6

【例23-選擇題】當(dāng)X7與時(shí)，和尸(X)都是關(guān)于'一廂的n階無(wú)窮小量，而

火*)+發(fā)力是關(guān)于為一曲的m階無(wú)窮小，則()。

【答疑編號(hào)911010404】

(A)必有m二n(B)必有尚之花

(C)必有冽(D)以上幾種情況都有可能

23lim—jW0

F(X-兩)

limg)y=Rw0

F(X-Xj

...］此如型生a

f(x-x0)

若/+BW0則x時(shí)，a(x)+/x)是(x—/)的“階無(wú)窮小量;

m=?

若A+B=O則*TX。時(shí)，*x)+戊x)是比熾-而)“還高階的無(wú)窮?。?/p>

t—m>n

m=n

二?m三n

【例24?證明題】設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,(°)0°,

/,(0)*0./"(0)^0o證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)為，&!，&,使得當(dāng)&t0時(shí)，

4/(A)+M2&)+&y1印)-/(0)是比/高階的無(wú)窮小。

【答疑編號(hào)911010405】

24.'/"(X)在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)

且〃O)wOJ"(O)wOJ"(O)#O

4/〃)+4/(2份+3(3&)-y(0)

?Ilin------------------------------------?：---------------u

*70h

①hm[VW+勾儂)+V(3A)-/(°)]=°

0求導(dǎo)致lim(4/⑸+獷2〃)+切的-/(o)y=0

04試然“TOg2y一

4/⑶+2W'避)+34/印)

11in-------------------------------------------------------------------U

102h

②￥皿4/'(我)+2V⑵)+3孫'(殉]=0

hm(4-'(&)+24/,(2我)+34/,(3%)),=0

―。(2〃)'一

A/"W+22^/"(2A)+32V1(3^_

11m-------------------------------u

Z2

③旨[4/''(h)+22&y"(2%)+3"(3?]=0

???式0)。0,7,(0)^0,/"(0)^0

①&/(O)+4/(0)+4/(0)-/(o)=o

②V'(0)+2V'(0)+3V'(0)=0

③V"(0)+22V"⑼+32V'(O)=0

4+4+%=1

<4+2%+3%=o

4+22%+*網(wǎng)=。

證明方程組有唯一解

<11P

123=(2-1)x(3-1)x(3-2)

J2,.

=2*0

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

【考點(diǎn)分析】主要考點(diǎn)包括：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點(diǎn)的類型及其判斷，閉區(qū)間連

續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理及其應(yīng)用等。

一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

I.函數(shù)連續(xù)性概念

lim/（x）=/（x0）

連續(xù)：i

定義1設(shè)函數(shù)/（X）在瓦點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若螃。一'則稱函數(shù)

/（X）在X。點(diǎn)處連續(xù)，并稱「為連續(xù)點(diǎn)。

定義2若函數(shù)/（X）在點(diǎn)畫的某個(gè)左（右）鄰域內(nèi)有定義，并且

礴一/(X)=/(x0),(lim/(x)=/(x0)

XThXTXj則稱函數(shù)/（X）在點(diǎn)耳處左（右）連續(xù)。

顯然，函數(shù)/（X）在點(diǎn)題處連續(xù)的充要條件是/（X）在餐點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。

定義3函數(shù)/（x）在開區(qū)間（④與內(nèi)連續(xù)，是指在3田）內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù);在閉區(qū)間1°

上連續(xù)，是指在開區(qū)間（°百）內(nèi)連續(xù)，并且在左端點(diǎn)0處右連續(xù)，在右端點(diǎn)力處左連續(xù)。使

函數(shù)/（X）連續(xù)的區(qū)間，稱為,（x）的連續(xù)區(qū)間。

II.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

定義函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)，即在點(diǎn)題處有下列三種情況之一出現(xiàn)：

（1）在點(diǎn)湎附近函數(shù),（x）有定義，但在點(diǎn)題無(wú)定義；

lim/（x）

（2）X”不存在；

（3）J5"與g也都存在，但2/。，則稱/5）在點(diǎn)。處不連續(xù),

或稱「為函數(shù),（x）的間斷點(diǎn)。

間斷點(diǎn)的分類：設(shè)而為函數(shù),（X）的間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類是以瓦點(diǎn)的左、右極限來(lái)

劃分的。

lim/（x）lim/（x）

第一類間斷點(diǎn)：若1"。一與都存在，則稱》為第一類間斷點(diǎn)：

lim/（x）wlim/（x）〃_n\

⑴若E—EJ，則稱為為跳躍型間斷點(diǎn)，并稱+

為X°點(diǎn)的跳躍度；

lim/（x）limJ（x）lim+/（x）

（2）若gx。存在（即e。=zx。）,則稱"。為可去間斷點(diǎn)。此時(shí),

當(dāng)了a）在兩無(wú)定義時(shí)，可以補(bǔ)充定義,（%）=—，則/a）在「連續(xù)；當(dāng)/（瓦）存

礴/（X）*/（x）〃、

在，但*T"0時(shí)，可以改變J5）在通的定義，定義極限值為該點(diǎn)函數(shù)值，則

/（X）在與連續(xù)。

lim/（%）lim/（x）

第二類間斷點(diǎn)：若與1"」‘中至少有一個(gè)不存在，則稱而為第二類問(wèn)

lim/（%）lim/（x）

斷點(diǎn)，其中若與zxJ中至少有一個(gè)為無(wú)窮大，則稱耳為無(wú)窮型間斷點(diǎn)；

否則稱耳為擺動(dòng)型間斷點(diǎn)。

【例25?解答題】設(shè)函數(shù)

h(1W),x<0

x-arcsinx

/(x)=,6,x=0

+-公-1

---------------,x>0A

.X

xsin—

4

問(wèn)a為何值時(shí)，在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是/（X）的可去間斷點(diǎn)？

【答疑編號(hào)911010501】

x-x=Hm1/⑶=lim/(x)=/(x)

J在天一面處連續(xù)NTM+O0

「“、-ln(l+")

(1)lim/(x)=lim--------：—

XT-OXT-O工-arcsinx

lim-------——=lim------z---

^-0x-arcs;inx1

-71-x2

22

3ax-71v3ax,

=lim——j----=lim---=—ba

…Jl-X。-13一，

2

QX2

-ax-\

lim/(x)=lim------

x

xsin—

4

/+x"-?無(wú)-1

=lim

XTMix2

4

=2以°+4

/(0-0)=-6a

」(0+0)=2/+4

/(0)=6

令-6a=6,2a*+4=6

a=T,2a2=2

...當(dāng)a=-l時(shí)，_/(x)在x=0處連續(xù)

(2)/(x)有可去間斷點(diǎn)x=0

?/(0-0)=/(0+0)^/(0)

令-6a=2a2+4w6

a*+3a+2=0；.a=-1或a=-2

「.a=-2時(shí)，x=O是可去間斷點(diǎn)

【例26?解答題】設(shè)“*=吧（匚P,其中&一1）（"】）＞0，試求/。）

的表達(dá)式,

并求函數(shù)/（X）在間斷點(diǎn)處的左、右極限。

【答疑編號(hào)911010502】

X—1?.X—1八

—7=1+(---1)

,/-It-\

由于

Z-1

1+—

t-\

所以加)=吧(三聯(lián)

1

rX—出甲

=hm(1+——尸

EZ-1

1

，口

1

/(X)=?，T,間斷點(diǎn)X=l.

1

lim/(x)=lime*-】=g

JTT1-0XT1-0

i

limf(x)=lim=-H?

XTI+OXTIM

/w=以-b

【例27?解答題】試確定以和方的值,使（x-aXx-1）有無(wú)窮間斷點(diǎn)x=0

且有可去間斷點(diǎn)x=l.

【答疑編號(hào)911010503】

lim/(x)=8=x=0是無(wú)窮間斷點(diǎn)

XTO

/-b

lim------------

*T。(x-a)(x-l)

1-31—b

=--------=----=oo

(-a)(-l)a

當(dāng)1-bWO且a=0時(shí)

lim/(x)W/(I)=X-1可去間斷點(diǎn)

KTI

lim/(x)=lim————存在

?flXTIx(x-l)

XT]

e—b=0

e=b

所以a=0,b=e?

二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理

定理1:（有界性定理）閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)必在［a,b］上有界。

定理2:（最大值最小值定理）閉區(qū)間［a,b］上的函數(shù)/（X）,必在［a,b］上有最大值和

最小值，即在［a,b］上，至少存在兩點(diǎn)費(fèi)與備，使得對(duì)［a,b］上的一切x,恒有

了㈤匯⑴可④）此處/㈤/（易）就是在［a,b］上最小值與最大值。

定理3:（介值定理）設(shè)函數(shù)/（X）在閉區(qū)間g,b］連續(xù)，m與M分別為在［a,b］上的最

小值與最大值，則對(duì)于任一實(shí)數(shù)c（mWcWM）,至少存在一點(diǎn)37?［a，司，使/3）二°。

定理4:（零點(diǎn)定理或根的存在定理）若/（X）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且

/⑷。,則至少存在一點(diǎn)4€(4切,使/?=°。

【例28?解答題】設(shè)函數(shù)f(x)，g@)在［a,b］上連續(xù)，且gS)>°。利用閉區(qū)間上連續(xù)

函數(shù)的性質(zhì)，證明存在點(diǎn)火口向，使“⑶g(x)dx=/C)J：g(x)dx。

【答疑編號(hào)911010504】

補(bǔ)充知識(shí)：

①/⑺名。)在［a,b］上連續(xù)，且小)三g(x),則)>沖』g(x)公

②若」⑸三g(x),則J：/⑴小〉fg(x)公

解：???/(x)在［q句上連續(xù)，

二?mWf(x)WM

又??,g(x)>0,mg(x)W/(x)g(x)WMg(x)

積分活［g(x)dxWj/(x)g(x)dxW加'［g(x)dx

Vg(x)>0,g(x)在［a,句上連續(xù)，g(x)x0

g(x)dx>0dx=0

Jo.Ja

l：/(x)g(x)dx

，mW3個(gè)---------WM

(g(x)d”

-a

..?由介值定理知，至少存在之C［a,司

4|：/(x)g(x)dx

使JC)=矢---------

Ig(x)dx

?2

二L/(x)g(x)dx=/G)Lg(x)dx

迎+2+^+W=o

［例29.解答題］設(shè)4，/，町，。3為正常數(shù)，證明方程芯x-1x-2X-3

有且僅有三個(gè)實(shí)根，它們分別位于區(qū)間(°J)<L2),(2,3)內(nèi)。

【答疑編號(hào)911010505】

將方程左端進(jìn)行通分，

令/(x)=&(X-l)(x-2)(X-3)

+力武才一2)(x-3)

+a2x(x-l)(x-3)

+%x(x-l)(彳-2)

在[091],[1,2]⑵3]連續(xù)

〃0)=_6%<0,/(1)=2^>0

/⑵=2。2<0,/⑶=6。3>0

二由零點(diǎn)定理，至少存在

6e(0,1),&e(1,2),4e(2,引

使〃幻=0,/(切=0J?)=0

???/(X)是一個(gè)三次多項(xiàng)式,最多有3個(gè)零點(diǎn)

...,(X)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

血+J3+W=。

經(jīng)驗(yàn)證了0)零點(diǎn)均為方程xx-1x-2x-3的根

...原方程有且僅有3個(gè)實(shí)根