河北省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（四）

河北省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（四）

（理科）

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，滿分60分）

1.閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x=l,則輸出

的結(jié)果為（）

A.-1B.2C.0D.無(wú)法判斷

2.某公司現(xiàn)有職員160人，中級(jí)管理人員30人,高級(jí)管理人員10

人，要從其中抽取20人進(jìn)行體檢，如果采用分層抽樣的方法，則職

員、中級(jí)管理人員和高級(jí)管理人員應(yīng)該各抽取人數(shù)為（）

A.8,15,7B,16,2,2C.16,3,1D,12,5,3

3.擲兩枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為3的概率是（）

4.已知雙曲線C：弓-4=1（a>0,b>0）的離心率為更，貝IJC的

a2bz2

漸近線方程為（）

A.y=土;xB.y=±^-xC.y=±;xD.y=±2x

HJ，

5.從某大學(xué)隨機(jī)抽取的5名女大學(xué)生的身高x（厘米）和體重y（公

斤）數(shù)據(jù)如表

X165160175155170

y5852624360

根據(jù)上表可得回歸直線方程為祗0.92X+Z則一（）

A.-96.8B.96.8C.-104.4D.104.4

6.為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參

加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為

me,眾數(shù)為

m0,貝（J（）

不能確定

A.me=m0B.m0<meC.me<m0D.

過(guò)拋物線2的焦點(diǎn)作直線交拋物線于（）（

7.y=16xAxi,yi,Bx2,

V2）兩點(diǎn)，如果X1+X2=6,那么AB|=（）

A.8B.10C.14D.16

8.為了測(cè)算如圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包

含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰

影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是（)

9.在等差數(shù)列｛aj中，ai=2,公差為d,則“d=4"是"ai,a2,as成等

比數(shù)列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知向量手（1，1，0）,E=（-1，0,2）且G+E與2/質(zhì)

相垂直，則k的值是（）

137

A.1B.7-C.D.77

555

11.把長(zhǎng)為80cm的鐵絲隨機(jī)截成三段，則每段鐵絲長(zhǎng)度都不小于

20cm的概率是（）

A.TATB.《C.]D.

168416

12.點(diǎn)P是雙曲線與-'■=：!（a>0,b>0）左支上的一點(diǎn)，其右焦

點(diǎn)為F（c,0）,若M為線段FP的中點(diǎn)，且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

gc,則雙曲線的離心率e范圍是（）

O

A.（1,8]B.（1,41C.4.4）D.（2,3]

JOO

二、填空題（每小題5分，滿分20分）

22

13.若方程方1+JQ=1表示雙曲線,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

14.已知在四棱錐P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,底面ABCD是正方

形，PA=AB=2,在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)0,則三棱錐0-PAB

的體積不小于得的概率為—.

15.已知旨(2,-1,2),百(-1，3,-3),c=(13,6,入)，

若向量；，b,3共面，貝>］入=—.

16.已知橢圓與+^^1(a>b>0)的離心率為孚，長(zhǎng)軸AB上的100

等分點(diǎn)從左到右依次為點(diǎn)Mi,M2,M99,過(guò)Mi(i=l,2,99)

點(diǎn)作斜率為k(kWO)的直線h(i=l,2,…，99),依次交橢圓上半

部分于點(diǎn)Pl>P3,P5，…,P197,交橢圓下半部分于點(diǎn)P2,P4,P6,…，

P198,則198條直線AP1,AP2,...?AP198的斜率乘積為.

三、解答題(17小題10分，其他每題12分，共70分)

17.(10分)已知p：“直線x+y-m=0與圓(x-1)2+y2=l相交”；q：

“方程x2-x+m-4=0的兩根異號(hào)若pVq為真，「p為真，求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.

18.(12分)某校高三年級(jí)在高校自主招生期間，把學(xué)生的平時(shí)成

績(jī)按"百分制”折算并排序，選出前300名學(xué)生，并對(duì)這300名學(xué)生按

成績(jī)分組，第一組［75,80),第二組［80,85),第三組［85,90),

第四組［90,95),第五組［95,100］,如圖為頻率分布直方圖的一部

分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等

差數(shù)列.

(I)請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(II)若B大學(xué)決定在成績(jī)高的第4,5組中用

分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，并且分成2組，每組3人

進(jìn)行面試，求95分(包括95分)以上的同學(xué)被分在同一個(gè)小組的概

率.

008-4-4-4-

a。7,…i……i…j…j

。8…;…i…i……i…

0.04彳…?????

0.03…???i???J…??i????；???：????i

0.02……-…十T

0.01??4…i-<

°~is_So_s-~_

19.（12分）已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是BC的

中點(diǎn)，F(xiàn)為AiBi的中點(diǎn).

（1）求證：DE±CiF；

（2）求異面直線AiC與CiF所成角的余弦值.

20.(12分)焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，準(zhǔn)線方程x=-2

(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)點(diǎn)Q(4,1)做該拋物線的弦AB,該弦恰好被點(diǎn)Q平分，求

弦AB所在的直線方程.

21.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB_LPA,AB〃CD,且

PB=BC=BD=灰，CD=2AB=2y,ZPAD=120°.

(I)求證：平面PAD,平面PCD；

(II)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.

22

22.(12分)已知橢圓卷(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn)

ab

Fi,F2,其離心率0=與點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF1F2面積的最

大值為46.

(I)求橢圓的方程；

(II)若A,B,C,D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)

%，菽.BD=O,求|記+|而|的取值范圍.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.B.2.C.3.D4.D.5.A.6.B.7.C.8.B.9.A.

10.D.11.A.12.B.

二、填空題

13.答案為：l<k<3.

14.答案為：,

15.答案為：3.

16.答案為：-

三、解答題

17.解：若命題p是真命題："直線x+y-m=0與圓(x-l)2+y2=i相

交，，，貝產(chǎn)：；里<1,解得l_&<nKl+e；

若命題q是真命題："方程x2-x+m-4=0的兩根異號(hào)"，則m-4<0,

解得m<4.

若pVq為真，「P為真，

則P為假命題，q為真命題.

,jir<l-&或

,?g

?'.實(shí)數(shù)m的取值范圍是n<l-a或

18.解：(I)由頻率分布直方圖知,

第五組為：0.02X5X300=30人，

第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)以次是一個(gè)以30

為首項(xiàng)，總和為300的等差數(shù)列，

.?.第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)以次是30人，

45人，60人，75人，90人.

繪制的頻率分布直方圖如右圖所示；…(6分)

(II)第四組中抽取人數(shù)：磊X60=4人，

第五組中抽取人數(shù)：親乂30=2人，

yu

...兩組共6人；

設(shè)第四組抽取的四人為Ai,A2,A3,AA,第五組抽取的2人為BI,B2,

這六人分成兩組有兩種情況，

情況一：Bi,B2在同一小組:(Ai,A2,A3),64,Bi,B2);(Ai,

Az,A4),(A3,Bi,B2);

(Ai,A3,A4),(A2,Bi,B2);(A2,A3,A4)，(Ai,Bi,B2)，

共有4種可能結(jié)果；

情況二：Bi,B2不在同一小組：(Bi,Ai,A2)，(B2,A3,A4);

(Bi,Ai,A3),(B2,A2,A4)；

(Bi,Ai,A4),(B2,A2,A3)；(Bi,A2,A3),(B2,Ai,A4)；

(Bi,A2,A4),(B2,Ai,A3)；(Bi,A3,A4)，(B2,Ai,A2)，

共有6種可能結(jié)果；

兩種情況總共10種可能結(jié)果，

???兩人被分在一組的概率為…(12分)

105

-_2

（另解：兩人被分在一組的概率為飛肥；一5）.（此法亦可相應(yīng)給

分）

19.證明：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直線坐標(biāo)系

,/棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-AiBiCiDi中,

E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AiBi的中點(diǎn).

AD（0,0,0）,E（序a,0）,

Ci（0,a,a）,F（a,半a）,

DE=（1a,0）,

C7F=（a,0）,

ADElCiF.

解：(2)Ai(a,0,a),

C(0,a,0),Ci(0,a,a),

F(a,*a),

A?C=(-a,a,-a),

C]F=(a,-1-,0),

設(shè)異面直線A1C與C1F所成角為e,

32

|A[C?C[F|

則COS0-

而??廝「Fa檄-5

...異面直線A]C與GF所成角的余弦值為隼.

b

...拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x；

(2)設(shè)A(xi,yi),B(X2,V2)

由題意，代入拋物線方程，兩式相減兩式相減可得(y「y2)(yi+y2)

=8(X1-X2)

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，

yi+y2=2,.*.kAB=4,

丁?所求的直線的方程為y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.

21.證明：(I)取CD的中點(diǎn)E,連接BE.

VBC=BD,E為CD中點(diǎn)，ABE±CD,

XVAB^CD,AB=)CD=DE,

，四邊形ABED是矩形，

.\AB±AD,

又AB_LPA,PAu平面PAD,ADu平面PAD,PAAAD=A,

；.AB_L平面PAD.

VAB^CD,

.?.CD,平面BEF,又CDu平面PCD,

...平面BEF_L平面PCD.

平面PADJ_平面PCD.

（ID以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，以平面ABCD過(guò)點(diǎn)A的垂

線為z軸建立空間直角坐標(biāo)角系A(chǔ)-xyz,如圖所示：

VPB=BD=V6,AB=M，AB_LPA,AB±AD,APA=AD=2.

AP（0,-1,折，D（0,2,0）,B（&,0,0）,C（2/2，2,

0）,

PD=（。，3,-百），BP=（-貝，-1,?）,BC=（血，2,0）.

n*BC=0

設(shè)平面PBC的法向量一(x,y,z),貝小

n-BP=0

募-；+VW取x=。得*(心-L師

而＞=需需=件;疔-？

5

.??直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為手.

5

D

22.解：(I)由題意知，當(dāng)P是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)△PF1F2的面積

取最大值；

.".y-2c-b=4V3；

即廬7/①；

由離心率為e=^■得：

，聯(lián)立①②解得a=4,c=2,b2=12；

22

...橢圓的方程為總r+Z=l；

1612

(II)由(I)知Fi(-2,0)；

?*AC*BD=0>AC_LBD；

(1)當(dāng)直線AC,BD中一條直線斜率不存在時(shí)，|Q|+|而|=8+6=14；

(2)當(dāng)直線AC斜率為k,k=0時(shí)、其方程為y=k(x+2),將該方程

帶入橢圓方程并整理得:

(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0；

-16k216k2-48

若設(shè)A(xi,yi),B(x2,V2),則:Xi+X9—9-，XiX9-Q