河北省名校2023屆高三5月模擬數(shù)學試題（解析版）

河北省名校2023屆高三5月模擬試題

數(shù)學

(考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，嗨小題5分，共40分.在胸小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,設全集為R,集合A=W-5X+6<。},B={x|lnx>l}(則槨詢=()

A.(e,3)B.(-oo,e)3,+oo)

C.(-<x>,2]u[3,+e)D.(F,e]u[3,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調性計算得出AB,然后求出交集，根據(jù)集合的補集運算

計算，即可得出答案.

【詳解】由已知可得4={%,2-5%+6<()}=(2,3),B={x|lnx>1}=(e,+<?),

所以，AB=(e,3),

所以4(Ac8)=(Yo,e]u[3,+oo).

故選：D.

2.已知復數(shù)z滿足二-z=l,則|2+同=()

1+1

A.2B.V2C.石D.V10

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算可得z=—1-i，結合共輾復數(shù)可得2+訪=1—i，進而可求模長.

l-i(1-i)2]_]：

【詳解】由題意可得:2=m7=而雙可1=一1

則2+訪=2+i(-l+i)=l-i,

所以|2+i可=|l—i|==近

的展開式中含y4項的系數(shù)為（)

4070

B.5C.D.

~927

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式分析運算.

,2(10-r),r=0,l,2,…,10,

令2(10—r)=4,解得尸=8,

「8

則（=爭y4=5y4,即含y4項的系數(shù)為5.

故選：B

4.己知函數(shù)/（x）=kintyx-走coss（0〉0）的零點是以5為公差的等差數(shù)列.若“X）在區(qū)間

222

［0,上單調遞增，則a的取值范圍為（）

25兀［7兀］（5吟27兀、

I12」I12」I24；I24）

【答案】A

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)零點可確定最小正周期T，進而求得了（x）；利用整體代入

法，結合函數(shù)單調性可構造不等式求得a的范圍.

【詳解】/.（RMLsinox—且coss=sin［3x—四］的零點是以巴為公差的等差數(shù)歹ij,

'，22I3J2

\/（x）最小正周期7=2*^=兀，二口=*=2,/'（X）=sin（2x-］）,

當工￡［0,a］時，2x-yG一,

“X）在［0,可上單調遞增，解得：14瑞，又a>0，

（571

\a的取值范圍為0，w.

故選：A.

5.大雁塔是佛塔這種古印度佛教的建筑形式隨佛教傳入中原地區(qū)，并融入華夏文化的典型物證，是現(xiàn)存最

早、規(guī)模最大的店代四方樓閣式磚塔（如圖1所示）.2014年，它作為中國、哈薩克斯坦和吉爾吉斯斯坦三

國聯(lián)合申遺“絲綢之路”中的一處遺址點，被列人《世界遺產名錄》.大雁塔由塔基、塔身、塔剎三部分組成

（如圖2所示），全塔通高64.7m.塔基為長方體，高約為4m,南北長約為48m,東西長約為45.5m；

塔身近似呈正四棱臺，底層邊長約為24m,側面是底角約為81.95。的等腰梯形；塔剎高約4.7m.則大雁

塔塔基與塔身的體積之比為（）（參考數(shù)據(jù)：tan8L95°=50）

圖1

A.4:7C.7:13D.9:16

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，問題可轉化為長方體體積與正四棱臺體積的比，根據(jù)長方體與棱臺體積公式求解即可.

【詳解】如圖，記大雁塔塔身為棱臺ABC?！?4GA,

過A[作A"，AB于H,過"作"H_LAB交AC于M,

乙4"=81.95",AMAH=45°

設則AM=0x，A"=64.7-4.7=56,

A”=JA"+M42=,562+J,

NAA”=8L95°...'562+x2=tan8L950=5E

X

即56?+—=50/,解得x=8,所以A4=8,

I46592

所以塔身的體積匕88MHen=-X56X(82+242+8X24)=——,

/iovz-/_/t|IJIi-1Utry'，c

又因為塔基的體積V=48x45.5x4=8736,

8736_9

所以大雁塔塔基與塔身的體積之比為46592=正.

3

故選：D.

6.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(-x)+/(x)=0,y=/(x+l)的圖像關于丁軸對稱.當xe[0,l]

時，對任意Ze[0,l],“X)滿足/(3+l=[/(x)+l「且〃1)=一7,則/-3=()

2\2)

1,^2R]?V21V21V2

AA.-14B.[+Cr.[-------Dn.—]------

2222

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可推得了(x+4)=/(x),7=4,進而得出了(一■|)=-/(g).令A=；,結合已知條

件可求得+l=+=與，即可得出答案.

【詳解】由已知y(T)+〃x)=o可得,/(-x)=-/W.

因為y=/(x+1)的圖像關于y軸對稱，

所以/(T+l)=〃x+l),所以/(—x)=/(x+2).

所以有/(_x)=/(x+2)=_/(x),

所以，/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)/(x)的周期為T=4,

令4=；,由已知可得，/(gx)+l=[〃x)+l]5.

因為〃1)=4,所以/曰+1=[/⑴+/=*，

故選：C.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)的對稱性，根據(jù)等量關系，推得函數(shù)的周期，進而利用周期性求解函數(shù)值.

7.已知a=logs7,Z?=31n2,c=>則()

A.a>h>cB.h>a>cC.a>obD.b>oa

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性可確定。力范圍；由(2c)5<35可得c的范圍，進而確定大小關系.

1133

【詳解】vlog7<log9=2,log7=-log49>-log27=-,/.-<?<2；

333232322

31n2=ln8>lne2=2，.">2；

,(2c)5=32x6=192,35=243./.(2c)5<35,:.2c<3,B|Ic<|；

:.b>a>c.

故選：B.

8.已知三棱錐P—ABC的4個頂點均在球心為0、直徑為26的球面上，PA=6，且PAPB,PC兩

兩垂直.當PC+AB取最大值時，三棱錐O-43的體積為（）

A.2B.且C.76D.亞

232

【答案】B

【解析】

【分析】將三棱錐補全為長方體，利用長方體外接球半徑求法可求得P82+PC2=10,利用基本不等式可

求得（PC+AB）^,根據(jù)取等條件可得PC,4B長，由％dAB=g%jAB，結合棱錐體積公式可求得結果.

【詳解】PAPB,PC兩兩互相垂直，，三棱錐「一ABC可補全為如圖所示的長方體，

則長方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，PA2+PB2+PC2=（2>^）2=12,

又PA=O，:.PB2+PC2=10,

AB2PA2+PB2^2+PB2>PC2+AB2^2+PB2+PC2=12>

:.(PC+AB^-2PCAB=IO,又尸,

:A2=(PC+ABy-2PCAB>(PC+ABf-2(^-^^]=-(PC+ABf(當且僅當=時

\2J2

取等號)，

.'.(PC+Ag)^=276,此時2。=48=指，PB=AB2-PA2=2?

.-.K=-V=-S-PC=—PA-PB-PC=—xy[2x2xy/6=--

rPAAUB2C-iPAADB$*PAADB]？]23

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查幾何體外接球問題的求解，解題關鍵是能夠根據(jù)兩兩垂直關系將三棱錐補

全為長方體，結合長方體外接球半徑求法和基本不等式可確定PC,AB的長.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(%)=J5siorcosx-COS2X+1，則下列說法正確的有()

A.x=5是函數(shù)/(x)的一條對稱軸

6

s冗

B.函數(shù)/(X)在—,n上單調遞增

c.y=+的最小值為

D.y=6x_g是y=/(x)的一條切線

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換可得〃x)=sin2x一看,結合三角函數(shù)的性質分析判斷A、B、C；對于D：

求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義分析運算.

【詳解】因為

/(x)=V3sinxcosjc-cos2x+；=個sin2x—+J_=走2x」cos2x=sin

"a"2j2聯(lián)

2222

j2]=sin(2x,_?)=sin/=；不是最值,

對于A：故A錯誤;

\6JI66762

5兀,八兀3兀11713兀11兀

對于B：xe——,TI則2x—GJiy=sinx^E—---上單調遞增,

66萬千26

s冗

所以函數(shù)/(X)在上單調遞增，故B正確;

對C：+=sin12x一e+sin2"斗71

I4j6

=sin^2x-^j+cos2x--^J=>/2sin(21一已卜；=V2sin(2x+^|

當2x+N=2E—2■，4eZ,即％=而一4,左eZ時，y=J^sin[2x+二]取至ij最小值一④，故C正

12224I12；12

確;

對于D：由/(x)=sin(2x—《J,可得((x)=2cos[2x-^J,

6

可知：/（O）=sin[-胃=-g,/IO）=2cos（-聿）=百,

即切點坐標為（o-g）,切線斜率攵=G，

所以切線方程為y=6x-g,故D正確；

故選:BCD.

10.如圖所示，已知正方體ABCD—ABCA的棱長為1，點瓦F分別是棱的中點，點p是側

面8QCG內一點（含邊界）.若"P〃平面5EF，則下列說法正確的有（）

A.點P的軌跡為一條線段

B.三棱錐P-骸尸的體積為定值

c.|網(wǎng)的取值范圍是[手,|]

D.直線RP與防所成角的余弦值的最小值為日

【答案】AB

【解析】

【分析】取BBi，B?中點G,H,由面面平行的判定可證得平面5石尸〃平面，可知P點軌跡為線段

GH,知A正確：由線面平行性質可知P點到平面班廠的距離即為點G到平面8￡F的距離，利用等體積

轉化，結合棱錐體積公式可求得B正確；在一DGH中，通過求解點。到G"的距離可確定C錯誤；根據(jù)平

行關系可知所求角為NP"G,則余弦值最小時，P與“重合，由余弦定理可求得結果，知D錯誤.

【詳解】對于A,分別取叫，4G中點G,H,連接DC，GH,D用,BCpAD-

.D.F//BG,==..四邊形。。為平行四邊形，.1.D,G//BF,

BFu平面BEF，。02平面班產，，。。〃平面班產；

EFIIADJIBCJIGH,砂匚平面麻?，GHQ平面BEF，：.GH〃平面BEF；

D.G)GH=G,DQ,GHu平面D}GH,平面BEFH平面D.GH,

則當"Pu平面D.GH時，D\PH平面血尸恒成立，

又平面0G”平面B]BCG=GH,pw平面4BCG，

二尸點軌跡為線段GH,A正確；

對于B,由A知：GH〃平面BEF，???點P到平面跳F的距離即為點G到平面3瓦'的距離,

J-S」4C=1><Ex'><近=1

**,Vp-BEF~^G-BEF~^E-BFG~Q^A-BFG~^A-BDFGnBDFG2A_12"52~24

即三棱錐尸-應廣的體積為定值」-，B正確;

24

對于C,連接。G,D〃，

D,

4

GH=

點D到GH的距離為JPG2~(-GH]=J---=叵，

\uJ\484

.?.I。”的取值范圍為為一，c錯誤；

對于D,由A知：.?.直線與8尸所成角即為直線Of與所成角，即NP。。，

則當P與H重合時，NP"G取得最大值NHRG,此時余弦值取得最小值;

在△QG"中，RG=當GH當,

???cosNHD'G①+D『G叱=」二支出一二氈,

2D.HD.G2x^x35

XTX2

即直線，P與■所成角的余弦值的最小值為乎，D錯誤.

故選：AB.

V2V2

11.已知大、尸2分別為雙曲線C：、-4=1（。>0）的左、右焦點，且大到漸近線的距離為1，過尸2的

直線/與C的左、右兩支曲線分別交于A、B兩點,且/-LAK，則下列說法正確的有（）

A.雙曲線。的離心率為0B.△4耳尼的面積為1

C.際跖=10+4后D.1+舟晶2

【答案】BD

【解析】

【分析】利用已知條件求出方的值，利用雙曲線的離心率公式可判斷A選項；利用勾股定理結合雙曲線的

定義求出△?!耳巴的面積,可判斷B選項;利用平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷C選項;求出閭、怛巴

代值計算可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，耳（-。,0）到漸近線笈-ay=O的距離為下瓷〒=6=1,

所以，雙曲線C的方程為￡一丁=1,則e=￡=叵1=且，A錯；

4a22

對于B選項，由題意可知，AF.LAF,,且點A在雙曲線。的左支上，

時“伊KH*=2a=4

，||AE「+|AK「=（2C）2=20，

所以，^AF^AF^=\AF{f+\AF2f-2\AF,\-\AF2\=20-2\AFt\-\AF2\=16,

所以，|秋卜|你1=2,故KM「；|AKH46|=；X2=1,B對；

對于C選項，由雙曲線的定義可得|AE|=|A耳|+2a=|"；|+4,

由勾股定理可得|4耳『+\AF2f^\AF}f+（|A凰+4）2=2|44『+8|4耳|+16=20,

即|A用?+4，用_2=0,因為|/此|>0,解得|4好=指一2,

則|AE|=4+|A6|=遙+2,

2

所以，AFt-BF}=FtA-F.B=FtA（F,A+AB）=FtA+FtA-AB=\AFf-2^

=10—4>/6>C錯；

對于D選項，設忸閭=加（加＞0）,貝ij忸用=2。+m=機+4,

\AB\=\AF2\-\BF2\=46+2-m,

由勾股定理可得即（指一2『+（幾+2—〃?『=（加+4）+

因為相＞（）,解得加=”2員，

15

11115V6-26+76^c

1\+1\=-7=---1------7==------1------=J6+2D對.

\AF2\\BF2\76+26-V622

故選：BD.

A.g(log/+log/)〈log“警B.-+-^-+bc>2y!2

acb'c

C.a+b+c>d2ab+<2acD.a2+b2+c2>2ab+2bc—2ac

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：利用基本不等式結合對數(shù)函數(shù)單調性分析判斷；對于B、C：利用基本不等式分析判斷;

對于D：利用作差法比較大小.

【詳解】因為“，b,。為正實數(shù)，則有：

對于A：雖然"之癡，當且僅當b=C時，等號成立，

2

但無法確定。與1的大小關系，則對數(shù)函數(shù)的單調性無法確定，

所以g（k＞g/+log“c）=log"J五,log〃2g￡的大小關系無法確定，故A錯誤；

,1a.

對于B：因為一+k+bc=

acbc+2后條3

綜上所述：-+-^+bc>2s/2,當且僅當I"一"廣時，等號成立，故B正確;

acb~c[bc=>J2

對于C：因為。+。+。=

2）（2

b

a=—,

2b

當且僅當，,即a=c=上時，等號成立，故C正確;

b2

--c

12

對于D：因為a?+b2+c2—{lcib+2bc—2ac)-(a—b)'+2c(a—b)+c2=(a—Z?+c)~>0,

當且僅當a—8+c=0時，等號成立，

所以〃+尸+。22aA+2/?c-2ac，故D正確;

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：使用基本不等式色也之丁法時，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明確什么時候

2

等號成立，要注意“代入消元”、"拆、拼、湊”、"1的代換”等技巧的應用.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一個圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點中，任取3個點，這3個點能構成等邊三

角形的概率為.

Q

【答案G

【解析】

【分析】用組合數(shù)計算從7個點中任取3個點的方法數(shù)，用列舉法列出3個點能構成等邊三角形的方法

數(shù)，從而利用古典概型計算公式即可求解.

【詳解】從7個點中任取3個點共有C；=35種，

3個點能構成等邊三角形有以下兩類：

第一類：以圓心為頂點的等邊三角形有二。ABaOBC.OC。,-。。瓦二OEF,_OE4共6種;

第二類：圓周上三點構成的等邊三角形有ACE,一8。產共2種.

則3個點能構成等邊三角形共有8種

O

所以這3個點能構成等邊三角形的概率為一.

35

Q

故答案為：--

A

D

14.已知平面向量a,6滿足,一N=1且alb，當向量4一方與向量3a—〃的夾角最大時，向量b的模為

【答案】昱

2

【解析】

3-2匕2

【分析】由心叫=1可平方求得樂=1一戶,利用向量夾角公式可化簡得到COS0=',采用換元

V9-8Z?2

法，令也=（＞0），結合基本不等式可求得（cos。］加，根據(jù)取等條件可確定網(wǎng).

【詳解】:,ab=Q>：.\a-b^=a2-2a-b+h2=a2+b2,即。2=1一匕2；

設向量”〃與向量3。一6的夾角為e(ove4兀)，

(a-hVha-b}3a2-4a-b+b23-2b2

上—邪j2_64出+戶一對落

、9—產

令，9-8%2=(>0),則。2=T，.?.cose=^^=24k+2bL2、==立

Ht4f41〃4'f2

3

（當且僅當，=一，即r=G時取等號）;

當。最大時，cos。最小，此時19一8b2=也，解得:

故答案為：走.

2

15.已知1M過點(1,0),且與直線m—1相切，S是圓心M的軌跡上的動點，T為直線x+y+4=0上

的動點，則|叼的最小值為.

［答案］逑##3夜

22

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義可得圓心M的軌跡方程為V=4x,平移直線x+y+4=?？芍?，當與拋物線相

切時，|ST|的最小值即為兩平行線間的距離，聯(lián)立方程運算求解即可.

【詳解】由題意可知：圓心M到點(1,0)的距離與到直線x=—l的距離相等，

可得圓心M的軌跡是以(1,0)為焦點的拋物線，

所以圓心M的軌跡方程為y2=4x.

設直線％+y+〃=0,

%+y+〃=0.

聯(lián)立方程《2二，消去x得V+4y+4〃=0,

J=4x

則△=42-4X4〃=0，解得〃=1，

可知x+y+l=0與直線x+y+4=0平行，且與9=4%相切,

所以|ST|的最小值即為兩平行線間的距離d

故答案為：迪

2

16.設定義在((),+")上的函數(shù)/(x)滿足/'(x)eT>l,則函數(shù)/(x)—e*在定義域內是(填

“增”或"減”)函數(shù)；若了(1時。+&，舊)=2&,則x的最小值為.

【答案】①.增②.

【解析】

【分析】由題意可知/'(x)>±=e'，令g(x)=/(x)—e"求導利用導函數(shù)的正負即可判斷單調性，由

/■(g)=26可求得=6，再根據(jù)/(lnx)2x+正可知g(lnx)2五，進而得出g(lrtx)?g(g),

利用g(x)的單調性解不等式即可.

【詳解】解：已知/'(x)e-x>l,則/'(x)>/？=ex，

令g(x)=/(x)-e*,x>0,則g<x)=/，(x)-e*>e*-e*=0,

所以g(x)在(0,+e)為增函數(shù)，即函數(shù)/(x)—e'在定義域內是增函數(shù);

又Q/(lnji)Nx+>/^,=%+五—%=近，

可得g(lnx)Ng由于g(x)在(0,+oo)為增函數(shù),

所以InxN；,解得xN正，即x的最小值為五，

故答案為：增；五

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

一a”,〃為奇數(shù)，

2

17.已知數(shù)列｛4｝滿足4=2,an+l

a“+L〃為偶數(shù).

2

⑴記〃=八一*，證明:數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列;

(2)記。“=4”一；，求數(shù)列｛〃%｝的前〃項和T“.

【答案】(1)證明見詳解

(2)7；=2

"2"

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意結合等比數(shù)列的定義分析運算；

(2)先根據(jù)等比數(shù)列結合累加法求c“，再利用錯位相減法求和.

【小問1詳解】

上m*1g113cli111

由題意可得：4=5q=1，4=4+不=不，且4”=不出,1，4,,+1=%"+不=5?2?-i+T，

則%=%-%向=(上+5)七*+/)=g(%+「%)=1

>%〃+1一“2”-1%〃+1一〃2“-1。2〃+1—。2〃-12

所以數(shù)列也｝是以首項偽=4—6=—g，公比夕=g的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由⑴可知：b,=—gx(g)=一(￡|,即％向一。2,1=一；),

/，1Y(1Y"1

可得：。2"+1=(。2”+1—。2"-1)+(。2"-1一。2"-3)+…+3-。1)+4=一|7|一|彳-----彳+2

2

(

所srr以l％=*—片1㈤1Y+31

p,,1(1Y...f1Yn

即。"=%一]=(51，則〃%=〃|jJ=^，

可得看=—1—~—?—,

"2222"

I12n

則nl/=合+了+…+而’

L

兩式相減得：2K2>

LT=1+±+-L+...+1-JL=LJ_2L=1_1-JL=I-ZL12,

2"222232n2,,+l.12"+'2"2"+i2,,+l

1-----

2

所以雹=2-*.

(兀、兀

18.在銳角一ABC中，內角A,5,C所對的邊分別為“，b,c,已知asin[C+]J=加in§.

(1)求tan一；

4

cosB-cosC

(2)求的取值范圍.

sinB+sinC

【答案】（1）2-百

(2)3J

【解析】

jr

【分析】（1）利用正弦定理進行變化角，再結合三角恒等變換可得4=三，進而可求結果;

兀

cosBD+—

it兀cosB—cosCI6

（2）根據(jù)銳角三角形可得％<B<5'根據(jù)三角恒等變換可得訴而,分類討論,

?71

sin

IB+—6

結合正切函數(shù)分析運算.

【小問1詳解】

.兀/兀)71

因為asin[C+y=/f?sin—,由正弦定理可得sinAsinC+—|=sinBsin—,

33

=^sin(A+C)=^(sinAcosC+cosAsinC),

則sinA—sinC+-^cosC

(22J

整理得sinAsinC=GeosAsinC>

注意到4cq0,|J,則sinCW0,可得tanA=百，即A=1,

兀7T

tan——tan—R

“，A7T71713__4_J^LT-V3.

所以tan—=tan—=tan==2

4123-41+tanK-tan71l+#xl

34

【小問2詳解】

因為A=W，則。=三一8,

Tt

0<B<-

2

且dABC為銳角三角形，則〈,解畤<5嗎

八271c兀

0<----B<—

32

“cosB-cosCcosB+cos(A+B)cosB+；cosB-乎sin8

又因為.r~^r—../.k―■7T

sinDB+smCsinDB+sin(A+B),1.J3

')sinB+-sinB4--cosB

22

cos

V3cosB-sinB

7

V3sinB+cosBsin|

當4＜8＜四時，則巴＜8+巴〈巴，則cos(8+工］wO,tan(8+二］＞6,

63362I6)V6；

cosY

_cosB-cosC1

所以加正

sin(B+|tan(3+：

當B=時，則8+工吟則cos(B+,71=0,

6

兀

cosBD+—

cosB-cosCI6

所以二0；

sinB+sinC

si,nBn+兀

I6

兀71

當歹昔時，則K+Sd，則網(wǎng)嗯卜0,"嗚卜

66

兀

cosBn+

一cosB-cosCI61

所以加能e

呵3+聿n兀

tanB+4N

I6

cosB-cosC(6⑶

綜上所述:的取值范圍春七

sinB+sinC

\7

19.第31屆世界大學生夏季運動會將于今年在我國成都舉行.某體校田徑隊正在積極備戰(zhàn)，考核設有100

米、400米和1500米三個項目，需要選手依次完成考核，成績合格后積分分別記為P1,P2和

凸5>0,，=1,2,3),總成績?yōu)槔塾嫹e分和.考核規(guī)定：項目考核逐級進階，即選手只有在低一級里程項

目考核合格后，才能進行下一級較高里程項目的考核，否則考核終止.對于100米和400米項目，每個項

目選手必須考核2次，且全部達標才算合格；對于1500米項目，選手必須考核3次，但只要達標2次及以

上就算合格.已知選手甲三個項目的達標率依次為二，：，彳，選手乙三個項目的達標率依次為三，

5435

53

--每次考核是否達標相互獨立.

84

(1)用J表示選手甲考核積分的總成績，求4的分布列和數(shù)學期望；

(2)證明：無論P1,P2和P3取何值，選手甲考核積分總成績的數(shù)學期望值都大于選手乙考核積分總成

績的數(shù)學期望值.

16Q4

【答案】(1)分布列見詳解，E?咤回+各2+后P3

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)先求甲通過每項的概率，進而根據(jù)題意求分布列和期望；

(2)先求乙通過每項的概率，進而根據(jù)題意求分布列和期望，利用作差法比較大小.

【小問1詳解】

對于選手甲：

記“100米成績合格”、“400米成績合格”、“1500米成績合格”分別為事件4、4、A3,

則尸(A)=±X±="，尸(A,)=3X』=

35525,,44

由題意可得：自的可能取值有0,0,，1+。2，。1+〃2+。3，則有：

p("0)=i-P(4)=￡,P("PJ=P(4)[I-P(4)]=*焉=巳

23231023

P(4=PI+P2)=P(A)P(4)口-尸(4)]=擠方

160904

戶修="+%+%)=P(A)P(4)P(A)=云x正乂石=石，

可得4的分布列為:

自0PlPl+P2Pl+P2+〃3

9774

P

25257515

O7741694

?+?

所以E(J)=°?石A—(P|P2)—(P|+〃2+P3)?E石門+不區(qū)+百人

【小問2詳解】

對于選手乙：

記“100米成績合格”、“400米成績合格”、“1500米成績合格”分別為事件用、斗、鳥,

則尸⑻m，尸闖n=n，尸闖27

JJZJOO0432

用X表示選手乙考核積分總成績，由題意可得：X的可能取值有。，化，化+。2，化+。2+。3,

則有:

尸(X=0)=l-P(4)=*，P(X=〃J=P(q)[l-P(32)]=^|xV=需，

P(X=P|+〃2)=P(4)P⑷[1—P(4)]=M|^K=募

P（X=M+0+P3）=P（B,）P闖p⑸卷啜嗎=品,

可得X的分布列為：

X0PlPl+P2P1+P2+〃3

939527

P

25100128128

51

a39

一1627

一

27一

+X一-+-+f

所以E(X)=Ox石+P|X赤+(p]P14t

12812825P2128

「二H/八口/v、（169W161All

因為E（）E（X）=〔王月+石。2+百4叼-［石0+/+2*7。3卜而心+而107獷3，

且P”2，P3均為正數(shù)，則E⑷-E（X）=^P2+黑P3>0,即E⑷〉E（x）,

所以無論P1,P2和〃3取何值，選手甲考核積分總成績的數(shù)學期望值都大于選手乙考核積分總成績的數(shù)學

期望值.

JT

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為4的菱形，NA6C=§,〃為BC的中點，

PA=PB=PH=2日E為尸。上的一點，且EH與平面ABCD所成角的正弦值為?.

（1）證明：平面Q43,平面A8CD；

PE

（2）試確定——的值，并求出平面E4C與平面B鉆所成二面角的正弦值.

PD

【答案】（I）證明見解析

（2）—=-；平面E4C與平面R記所成二面角的正弦值為匹

PD27

【解析】

【分析】(I)取AB中點。，利用等腰三角形三線合一性質和勾股定理可分別證得P01AB,PO上OH,

由線面垂直和面面垂直的判定可證得結論；

(2)以。為坐標原點可建立空間直角坐標系，設PE=4PO(()4/141),由線面角的向量求法可構造方程求

PE1

得X,由此可得一=-；利用二面角的向量求法可求得結果.

PD2

【小問1詳解】

取AB中點。，連接PO,”。，

PA=PB，0為AB中羔，：.POLAB；

PA=2&，°A=；AB=2，：.P0=dpN—0曾=2；

7T

四邊形ABC。為菱形，NABC=§,.NABC為等邊三角形，:.AC=4,

又0,“分別為AB,8c中點，.?.0H=」AC=2,

2

OH2+PO2