河北省張家口市2021屆高考數(shù)學(xué)一?？荚囋囶}

河北省張家口市2021屆高考數(shù)學(xué)一?？荚囋囶}

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知4,8都是”的子集，且A=則BU（6RA）=（）

A.AB.BC.0D.R

6

=()

1-3/

3.小明同學(xué)從9種有氧運(yùn)動(dòng)和3種無氧運(yùn)動(dòng)中選4種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行體育鍛煉，則他至少選中1種無氧運(yùn)動(dòng)的選

法有（）

A.261種B.360種C.369種I）.372種

4.溶液酸堿度是通過pH計(jì)算的，pH的計(jì)算公式為pH=-其中表示溶液中氫離子的濃

度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離子的濃度通常在1X10745~1x10-7.35之間，如果發(fā)生波動(dòng)，就是病理

現(xiàn)象，那么，正常人體血液的pH值的范圍是（）

A.[7.25,7.55]B.[7.25,7.45]C.[7.25,7.35]D.[7.35,7.45]

5.已知兩條不同的直線/,相和不重合的兩個(gè)平面a,尸，且/，夕，有下面四個(gè)命題：①若山，〃，則///m；

②若a//夕，則/J_a；③若。_L夕，則〃/a；④若/_Lm,則帆//4.其中真命題的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①?

6.某大學(xué)進(jìn)行“羽毛球”、“美術(shù)”、“音樂”三個(gè)社團(tuán)選拔.某同學(xué)經(jīng)過考核選拔通過該校的“羽毛球”“美

術(shù)”、“音樂”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為。力,工，已知三個(gè)社團(tuán)中他恰好能進(jìn)入兩個(gè)的概率為,，假設(shè)該同學(xué)

25

經(jīng)過考核通過這三個(gè)社團(tuán)選拔成功與否相互獨(dú)立，則該同學(xué)一個(gè)社團(tuán)都不能進(jìn)入的概率為（)

1333

A.一B.-C.一1).

254W

7.已知橢圓c：工+旦=1(。>/?>0)的左焦點(diǎn)為￡上頂點(diǎn)為4右頂點(diǎn)為8,若NOAB,NOA尸的平

a2b2

分線分別交x軸于點(diǎn)￡>,石，且|4。|2+|4初2-|。&2=拒|4。|?|40，則橢圓。的離心率為()

y/2-^3—1V5—1y/3

—B.-----C.-----D.—

222

8.設(shè)/(x)是斤上的奇函數(shù)，且/(幻在(-8,0)上是減函數(shù)，又/(-4)=0,則不等式

/空4)一/(一匕4)>0的解集是()

尤

A.(0,4)B.(―8,T)C.(M,0)u(0,4)D.(-8,-4)u(0,4)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如果平面向量&=(2,—4),5=(—6,12),那么下列結(jié)論中正確的是()

A.|^|=3|?|B.allbC.M與B的夾角為30。D.乙在B方向上的投影為26

10.袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記

4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則()

(2、QQQ

A.X~B[4,§JB.P(X=2)=：C.才的期望E(X)=§I).X的方差O(X)=]

11.已知a>0,b〉0,且2a+助=1,貝！1()

,,-4/>22

A.3>B.\[a+2>/h?1C.log2<7+log2Z??-6D.a+16/?<

12.已知函數(shù)/(x)=x+2tanx,其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),設(shè)g(x)=/'(x)cosx,則()

A.7(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.7(x)在“上單調(diào)遞增

C.2"是g(x)的一個(gè)周期D.g(x)在上的最小值為20

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若P(4,l)為拋物線。：/=20底°>0)上一點(diǎn)，拋物線，的焦點(diǎn)為凡則|PF|=

14.寫出一個(gè)公差為2且“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”的等差數(shù)列%=.

15.已知函數(shù)/(x)=sin〃x+acos%x圖象的一條對(duì)稱軸為x=—,則。=_________,函數(shù)/(x)在區(qū)

6

間一！一上的值域?yàn)?/p>

63

16.早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正

四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等.如圖，正二十面體是由20個(gè)

等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一.如果把sin36。

按1計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知公比小于1的等比數(shù)列｛%｝中，其前〃項(xiàng)和為5“,4=—,S3=—.

48

(1)求；

(2)求證：S?<1.

2

18.(12分)

在DABC中，cosB(y/3a-bsinC)=Z?sinficosC.

(1)求民

(2)若c=2a,口ABC的面積為述，求口ABC的周長(zhǎng).

3

19.(12分)

如圖，四邊形ABCO是正方形，PAL平面A6CD,B4//E8,且B4=AB=3.

E

（1）求證：C石〃平面PAO；

（2）若8E=!PA,求直線尸。與平面尸CE所成角的正弦值.

3

20.（12分）

某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近10年的年利潤(rùn)額y（千萬元）與投入的年廣告費(fèi)用x（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖

如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令”,=ln七，2=ln%,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示:

年廣告我川/卜萬元

（1）從①y=fex+a；?y=m-xk（m>Q,k>0）③>=cx?+〃r+e三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)

用x和年利潤(rùn)額y的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說明理由；

（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出y與x的回歸方程；

（3）預(yù)計(jì)要使年利潤(rùn)額突破1億，下一年應(yīng)至少投入多少廣告費(fèi)用？（結(jié)果保留到萬元）

參考數(shù)據(jù)：—?3.6788,3.67883a49.787

參考公式：回歸方程^=G+友中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

h=----------,a=y-bt

?2

Ei=\U-)

21.(12分)

22

已知雙曲線。：=-4=1(。>00>0)上一動(dòng)點(diǎn)尺左、右焦點(diǎn)分別為"，月，且我(2,0),定直線

ab

/:x=|,PM_L/,點(diǎn)"在直線/上，且滿足，^=乎.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線%的斜率左=1,且過雙曲線右焦點(diǎn)與雙曲線右支交于A5兩點(diǎn)，求DAB片的外接圓方程.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=alnx+!(。GR).

x

(1)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值；

+cosX

(2)當(dāng)a=l時(shí)，求證：對(duì)任意xe(0,M),恒有/(x)<------成立.

x

2021屆河北省張家口市高三年級(jí)一?？荚嚁?shù)學(xué)

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.D【解析】由Venn圖，易知BU(6RA)=R.故選D.

°.6663V10U3“

2.A【解析】------------=~,=------故選A.

1-3/|l-3z|#+(一3>5

3.C【解析】從9種有氧運(yùn)動(dòng)和3種無氧運(yùn)動(dòng)中選4種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行體育鍛煉，則他至少選中1種無氧運(yùn)動(dòng)

的選法有C；C；+C；C；+C；C；=369(種).故選C.

4.D【解析】依題意，pH,=-1g[1x1O_745]=7.45,pH,=-1g[1x1O-735]=7.35,因此，正常人體血

液的pH值的范圍是[7.35,7.45].故選D.

5.A【解析】對(duì)于①，由/，△加_L〃，可得〃/相，故①正確;

對(duì)于②，若/，⑸。//4，可得/J_a,故②正確;

對(duì)于③，若I工/3,aL/3,則有可能/ua,故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，當(dāng)加時(shí)，則有可能加u/?,故④錯(cuò)誤.

綜上，真命題的序號(hào)是①②.故選A.

6.D【解析】由題知，三個(gè)社團(tuán)中他恰好能進(jìn)入兩個(gè)的概率為工，則

5

1--|+-a(l-Z7)+-^(l-a)=-,所以2(。+初一!4〃=」,所以a+b—a匕=2,所以該同學(xué)一

(2J2252255

個(gè)社團(tuán)都不進(jìn)入的概率

P=a-a)(l_b){l_￡j=g[l_(a+》)+㈤==故選D.

7.C【解析】如下圖所示：

因?yàn)閨AO『+|AE12ToE『=J5|AO|.|AE|,所以由余弦定理得

|明2+|陰2一|阿2西竺^,也乂的E』O4

2\AD\-\AE\一~2\AD\-\AE\(2),所以NZME=45°.因?yàn)锳￡>,AE分

別為NOLB,NQ4尸的平分線，所以N5AE=2NZXE=90°,所以ABLAF.由題意可知，點(diǎn)

F(-c,0),A(0,Z?),8(a,0),則而=(-c,-b),AB=(a,-b).

由A/7。AB=-ac+/?2=0,可得。之—/-QC=0,即匕工+白仁一片二。，在等式/+ac-/=。的兩邊同

時(shí)除以可得e2+e—l=0,因?yàn)?<e<l,解得e=避二1.故選C.

2

8.B【解析】因?yàn)?(X)是A上的奇函數(shù)，且在(-00,0)上是減函數(shù)，所以/(X)在(0,+8)上是減函數(shù),

又因?yàn)?(-4)=0,所以/(4)=0,則函數(shù)/(幻的大致圖象如下圖所示:

由^^=^>0得回牝正任刊>0,即2德+4)>0,

xXX

f/(x+4)<0,j…)〉。，則,-4<x+4<0,0<x+4<4,

則《或〈或，解得一8vxvT或％￡0,

x<0,x>0,x<0,x>0,

故/(x+4)->o的解集是(_&_4).故選上

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.AB【解析】因?yàn)锧=(2,-4),5=(—6,12),所以5=-3乙.

在A中,因?yàn)?--3a,所以|5|=3|引,故A正確;

在B中,因?yàn)锽--3a,所以。//B,故B正確;

在C中,因?yàn)?--3a,所以G與B的夾角為180°,故C錯(cuò)誤;

&在B方向上的投影為2工=(2，-4)-(—6,12)=_2石,故D錯(cuò)誤.故選AB.

在D中,

Ml7(-6)2+122

10.ACD【解析】由于每次取球互不影響，故所有結(jié)果有4類:

①4次全是白球，X=O,記其概率為P(X=0)=(g1

78T

2門8

②4次只有1次是黑球,X=1,記其概率為P(X=1)=C：§-

3781

2

③4次只有2次是黑球,X=2,記其概率為P(X=2)=

記其概率為P(X=3)=C：］|1_32

④4次只有3次是黑球,

X=3f-

738?

⑤4次全是黑球，X=4,記其概率為P(X=4)=(g)=?.

故乂~6(4,：),故A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閄~B(4,|),所以才的期望E(X)=4x|=|,故C正確；

因?yàn)閄~6(4,g),所以才的方差D(X)=4xgx；=2,故D正確.故選ACD.

11.ABC【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍＞O,b〉O,且2。+8人=1,所以2a—8b=2。一(1-2。)=4。-1＞一1,

1k

所以32。-防＞3-1=上，所以3"-4。＞立，故A正確；

33

對(duì)于B,(Z+/)2=2a+8/7+2j2a?妨=l+2j2a-8b?1+(24+8十=2,所以病+麻,血，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=8人，即a=」,/?=」-時(shí)取等號(hào)，故a+2瓜1,故B正確；

416

1

對(duì)于C,log,2a+log,8b=log216ab?log,f=-2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=8h,即。二4/=--時(shí)取

等號(hào)，故logzZo+log28b=l+log2〃+3+log2瓦-2,^log2a+log2b?-6,故C正確；

對(duì)于D,已知。＞0力＞0,且2a+8b=1,所以(2a+助)2”2(2a)2+2(8份2,即L,8/+128/,則

,,111

Y+16/…一，當(dāng)且僅當(dāng)2a=8。，即a=—/=—時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

8416

12.AC【解析】/(x)=x+2tanx的定義域是｛dx吟+—我2卜其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且

f(-x)=-x4-2tan(-x)=-x-2tanx=-(x4-2tanx)=-f(x),所以/(x)是奇函數(shù)，所以/(x)的圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；

,2,2

由/(%)=%+2tan尤，得/(X)=1H---------,則g(x)=f(x)cosx=cosx+-----.

cos,-%cosx

/(x)=l+-^＞0恒成立，所以/(x)在(一三+G肛工+版■](/：€Z)上單調(diào)遞增，并不是在彳上單調(diào)

cosx\22)

遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

由g(x)=cosx+----，得函數(shù)g(x)的定義域是

COSX

,乂—€Zkg(x+2^)=cos(x+2^-)+---------=cosx+――=g(x),故C項(xiàng)正確；

[2)cos(x+21)cosx

設(shè)/=cosx,當(dāng)時(shí)，tG(0,1),此時(shí)g(x)>3,故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.5

【解析】由尸(4,1)為拋物線。：/=2〃)，(〃>0)上一點(diǎn)，得42=2pxl,可得〃=8,則|刊口=1+耳=5.

14.2n—6(答案不唯一)

【解析】要滿足“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”，則4+%<0,則不妨設(shè)《二-4,%=-2,則

%=-4+(〃-1)x2=2〃-6.

15.V3[1,2](第一空2分，第二空3分)

【解析】為函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為x=L,

6

由輔助角公式可得/(x)=J1+Ysin(/rx+6)(tanO-d),

22

所以以—J1+/,g|jsin-+?cos--Vl+?.B[Ji+—?-y]l+a,兩端平方,

,口兀兀2兀

可得〃=所以/(x)=sin"x+gcos;rx=2sin.由XE，71X~\--G——,---

6?3363

所以+—,1,所以2sin(乃x+gje[l,2],故函數(shù)/(x)在區(qū)間一1上的值域?yàn)閇1,2].

5573

16.

36兀

【解析】由圖，知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)其半徑為凡正五邊形的外接圓半徑

o35/

為八正二十面體的棱長(zhǎng)為/,則2=$皿36。=—,得〃=一，所以正五棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離是

r56

%=J/2_/==平/,所以R2=/+(R—爐，即R2=O+H—*/J,解得

/?=耳1/.所以該正二十面體的外接球表面積為S球=4?R2=4萬X367r,2.、_1_..

111）丁丁/~,而該正二十

面體的表面積是S正二十面體=20xix/x/xsin60°=5V3/2,所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的

外接球表面積之比等于巨叵

36萬

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

⑴解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為G

_11

二-，生=了

由，17分

1117

——，---1--1—q=一，

84夕448

1

=-9

4—p.

解得1或<24（舍去）,4分

q一,,4=2

2

所以=；x2

6分

2/

(2)證明：由(1)得可J

1

2

所以S.=—8分

(；)>0恒成立,

因?yàn)閥=JI在A上為減函數(shù)，且y

所以當(dāng)〃wN*,即幾.1時(shí)，0<(g)，，g

9分

所以g，，s〃=i—

<1.10分

27

18.（12分）

解：(1)由cos3(>/5a-/7sinC)=bsin3cosC,得GQCOSB-8cos8sinC=bsinBcosC,

即拒acosB=bsinBcosC+bcosBsinC,

GQCOSB=〃sin(5+C),2分

\/3tzcosB=Z?sinA.3分

由正弦定理，得gsinAcos8=sinBsinA,4分

因?yàn)閟inAwO,

所以gcos3=sin3,所以tan3=G.5分

TT

因?yàn)?<3<4，所以8=—.6分

3

(2)因?yàn)閏=2aQA5C的面積為士叵，

3

所以S」acsmB」xax2ax工邁,

2223

解得”苧

8分

4百

所以c=2a=*9分

3

由余弦定理。2=/+/—2QCCOS3,可得。2

解得人=2.11分

所以DABC的周長(zhǎng)為。+匕+c=2^+2+生叵=2+2有.12分

33

19.(12分)

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BC￡＞是正方形，所以5C//A0.1分

又ADu平面PAD,BCu平面PAD,

所以8C//平面P4D.2分

因?yàn)镻4//EB,3分

同理，可證EB//平面。4D,4分

又BCcEB=B,所以平面￡BC7/平面PAD,5分

又因?yàn)镃Eu平面EBC,所以CE//平面24。.6分

解：分別以AD,A氏A尸為x,y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镻A=AB=3,所以BE=—PA-1,

3

則P(0,0,3),0(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,1),7分

則PD=(3,0,-3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2).8分

設(shè)平面PCE的法向量為歷=(x,y,z),則由

z

x=-，

m-PC-(x,y,z)-(3,3?-3)=3x+3y—3z=0,得3

m-PE—(x,y,z)-(0,3,-2)=3y—2z=0,2z

y=-

3

令z=3,得平面PCE的一個(gè)法向量為玩=(1,2,3).10分

PD-m(3,0,-3)?(1,2,3)

設(shè)直線PO與平面PCE所成角為6,則sin6=也

|同)||同372x714V

所以直線PD與平面PCE所成角的正弦值為且.12分

7

20.(12分)

解：(1)由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用x和年利潤(rùn)額y的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇

回歸類型了=〃[???更好.3分

(2)對(duì)曠=〃z-x"兩邊取對(duì)數(shù)，得Iny=ln/n+&lnx,即。=ln/〃+A/,4分

io

Z〃必-IOWLJ

30.5-10x1,5x1.51

由表中數(shù)據(jù)得，k/-i6分

1046.5-10x1.5x1.5-3

M,2-10M2

i=\

所以Inm=0—忘=1.5—1xL5=l,所以m=c,7分

3

所以年廣告費(fèi)用x和年利潤(rùn)額y的回歸方程為y=e/38分

\_

(3)由(2),知y=e?尤3

--10-

令y=e?無3>10,得爐〉一,得爐>3.6788,10分

e

所以x>3.6788'工49.787,11分

所以刀。49.8（十萬元）=498（萬元）.

故下一年應(yīng)至少投入498萬元廣告費(fèi)用.12分

21.(12分)

解：（1）由題意，可知心生=2叵，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,

\PM\3

則4-2尸+），12百

2分

33

x——

2

2

X—|

得(x—2)2、+yc2=§4

得無2-4x+4+y2=32-41+3

得1+9=_1九2,4分

3

v.2

即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一-y2=1.5分

3

（2）由題意,可知直線%:y=%-2,設(shè)46,乂）,3（%2，%）,

y=x-2,

則《X22可得2%2_12X+15=0,6分

〔—3」y=

則A8中點(diǎn)為M(3,1),口ABg外接圓圓心在AB的垂直平分線上，設(shè)為

故4方程為y=—x+4,

又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，可知|A31=2百.8分

設(shè)圓心(3)叫%f=+一七(+%4，_g322』,

22.(12分)

(1)解：函數(shù)/(x)=alnx+』的定義域是(0,+8),

X

①當(dāng)4,0時(shí)，ax-l<0,—1<0,則/'(x)<0,

X

則函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，即函數(shù)/(%)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

故函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值為/(2)=aln2+1.