2024屆江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3江蘇省無(wú)錫市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.若全集，設(shè)集合,則（）A.{1} B.{3} C.{1，3} D.{1，3，5}【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A．2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.6 D.2【答案】D【解析】，虛部為2，故選：D．3.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，k為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，n為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，如果在某一時(shí)期，那么在這期間人口數(shù)（）A.呈上升趨勢(shì) B.呈下降趨勢(shì) C.擺動(dòng)變化 D.不變【答案】B【解析】由題意，為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，如果在某一時(shí)期有，即年增長(zhǎng)率為負(fù)，故這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì).故選:B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B．5.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又在取極值，所以，所以，，，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故滿足題意，又，故，故選：C．6.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是θ1°C，空氣的溫度是θ0°C，那么tmin后物體的溫度θ（單位：°C），可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù)．現(xiàn)有60°C的物體，放在15°C的空氣中冷卻，3分鐘以后物體的溫度是42°C．則k的值為（精確到0.01）（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.0.51 B.0.28 C.0.17 D.0.07【答案】C【解析】由題可得，，，.故選：C．7.記函數(shù)（，）的最小正周期為，且．將的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】D【解析】由于所以．由于，，為偶函數(shù)，,所以由于，所以取時(shí)，．故選：D.8.設(shè)函數(shù)，，在上的零點(diǎn)分別為，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖谑沟?，所以，因?yàn)?，，解得：，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，，所以存在使得，所以最大，因?yàn)?，所以，，，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題9.平面向量，是夾角為的單位向量，向量的模為，則的值有可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】由題意，向量，是夾角為的單位向量，，可設(shè)，則，所以.故選：ABC．10.已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，得，，則，設(shè)函數(shù)，，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為πB.的最小值為0C.的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，1）對(duì)稱D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BD【解析】，不是的周期，A錯(cuò)．，當(dāng)時(shí)取“=”，B對(duì)．，，C錯(cuò)．，D對(duì).故選：BD．12.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，當(dāng)時(shí)，,則下列結(jié)論正確的是（）A.B.方程共有三個(gè)不同實(shí)根C.D.使不等式成立的x的最大值是【答案】ACD【解析】方法一：，A對(duì)．時(shí)，,解得兩個(gè)根為0，當(dāng)時(shí)，，則，由即有兩個(gè)根，因此至少有4個(gè)根，B錯(cuò)．由于，由，取，，則是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，，C對(duì)．當(dāng)，則或當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，故的最大值為，的最大值為，故?dāng)時(shí)，．成立的的最大值為，D對(duì)，故選：ACD．方法二：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，…，時(shí)，，取時(shí)，，A正確．作出大致圖象如下，聯(lián)立或，與共四個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)．對(duì)于C,為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，,．，C正確．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令或，結(jié)合圖象知，D正確；故選：ACD．三、填空題13.已知集合，非空集合，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意知：，得：，又因?yàn)椋菏堑谋匾怀浞謼l件，所以得：集合是集合的真子集，又因?yàn)榧蠟榉强占?，所以得：，化?jiǎn)得：，故的取值范圍為：.故答案為：.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________．【答案】【解析】，故,故點(diǎn)處的切線方程為．故答案為：15.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且，則________.【答案】4【解析】由題意得：，，則等差數(shù)列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.16.圓與圓半徑分別為1和2，兩圓外切于點(diǎn)P，點(diǎn)A，B分別為圓上動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】法一：如圖建系，圓，圓設(shè)，則，．法二：設(shè)，則，因，，過(guò)作，所以，同理，所以所以.故答案為：.四、解答題17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，AB邊上的高等于，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，又，所?（2）因，所以，由余弦定理知，所以，所以，所以，所以周長(zhǎng)為.18.在平行四邊形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，，所以；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)設(shè)，，則，，，又，所以.19.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．①求；②若集合且，求集合中所有元素的和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，則，所以，，則；（2）①，②，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以集合中所有元素的和為.20.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式即，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，而，令，因?yàn)椋?，所以，由?duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，所以，所以.21.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且對(duì)一切都成立．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個(gè)數(shù)之和記為，其中．求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由已知在和之間插入個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，所以，所以.22.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)為減函數(shù)：（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）時(shí)，，定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，故，故為減函數(shù)；（2）由題意得有兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)根，，故，，令，則，即在恒成立，令，，則，若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以恒成立，若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，不符合題意，綜上，正實(shí)數(shù)的取值范圍是．江蘇省無(wú)錫市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.若全集，設(shè)集合,則（）A.{1} B.{3} C.{1，3} D.{1，3，5}【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A．2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.6 D.2【答案】D【解析】，虛部為2，故選：D．3.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，k為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，n為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，如果在某一時(shí)期，那么在這期間人口數(shù)（）A.呈上升趨勢(shì) B.呈下降趨勢(shì) C.擺動(dòng)變化 D.不變【答案】B【解析】由題意，為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，如果在某一時(shí)期有，即年增長(zhǎng)率為負(fù)，故這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì).故選:B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B．5.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】C【解析】因?yàn)椋?，又在取極值，所以，所以，，，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故滿足題意，又，故，故選：C．6.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是θ1°C，空氣的溫度是θ0°C，那么tmin后物體的溫度θ（單位：°C），可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù)．現(xiàn)有60°C的物體，放在15°C的空氣中冷卻，3分鐘以后物體的溫度是42°C．則k的值為（精確到0.01）（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.0.51 B.0.28 C.0.17 D.0.07【答案】C【解析】由題可得，，，.故選：C．7.記函數(shù)（，）的最小正周期為，且．將的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】D【解析】由于所以．由于，，為偶函數(shù)，,所以由于，所以取時(shí)，．故選：D.8.設(shè)函數(shù)，，在上的零點(diǎn)分別為，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在使得，所以，因?yàn)?，，解得：，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，，所以存在使得，所以最大，因?yàn)?，所以，，，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題9.平面向量，是夾角為的單位向量，向量的模為，則的值有可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】由題意，向量，是夾角為的單位向量，，可設(shè)，則，所以.故選：ABC．10.已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，得，，則，設(shè)函數(shù)，，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為πB.的最小值為0C.的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，1）對(duì)稱D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BD【解析】，不是的周期，A錯(cuò)．，當(dāng)時(shí)取“=”，B對(duì)．，，C錯(cuò)．，D對(duì).故選：BD．12.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，當(dāng)時(shí)，,則下列結(jié)論正確的是（）A.B.方程共有三個(gè)不同實(shí)根C.D.使不等式成立的x的最大值是【答案】ACD【解析】方法一：，A對(duì)．時(shí)，,解得兩個(gè)根為0，當(dāng)時(shí)，，則，由即有兩個(gè)根，因此至少有4個(gè)根，B錯(cuò)．由于，由，取，，則是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，，C對(duì)．當(dāng)，則或當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，故的最大值為，的最大值為，故?dāng)時(shí)，．成立的的最大值為，D對(duì)，故選：ACD．方法二：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，…，時(shí)，，取時(shí)，，A正確．作出大致圖象如下，聯(lián)立或，與共四個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)．對(duì)于C,為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，,．，C正確．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令或，結(jié)合圖象知，D正確；故選：ACD．三、填空題13.已知集合，非空集合，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意知：，得：，又因?yàn)椋菏堑谋匾怀浞謼l件，所以得：集合是集合的真子集，又因?yàn)榧蠟榉强占希缘茫?，化?jiǎn)得：，故的取值范圍為：.故答案為：.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________．【答案】【解析】，故,故點(diǎn)處的切線方程為．故答案為：15.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且，則________.【答案】4【解析】由題意得：，，則等差數(shù)列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.16.圓與圓半徑分別為1和2，兩圓外切于點(diǎn)P，點(diǎn)A，B分別為圓上動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】法一：如圖建系，圓，圓設(shè)，則，．法二：設(shè)，則，因，，過(guò)作，所以，同理，所以所以.故答案為：.四、解答題17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，AB邊上的高等于，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋?，所以，又，所以，又，所?（2）因，所以，由余弦定理知，所以，所以，所以，所以周長(zhǎng)為.18.在平行四邊形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，，所以；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)設(shè)，，則，，，又，所以.19.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．①求；②若集合且，求集合中所有元素的和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，則，所以，，則；（2）①，②，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以集合中所有元素的和為.20.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式即，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，而，令，因?yàn)?，所以，所以，由?duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，所以，所以.21.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且對(duì)一切都成立．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將