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PAGEPAGE3江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由于,又所以,故選:C.2.已知復(fù)數(shù)的模為2,則實(shí)數(shù)()A. B. C.或2 D.或4【答案】D【解析】由復(fù)數(shù),因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為,可得,解得.故選:D.3.使成立的一個(gè)充分不必要條件是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式,可得,因?yàn)椋?,,因此,使成立的一個(gè)充分不必要條件是.故選:C.4.已知正實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足,則,可得,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí),,故的最小值為.故選:B.5.若向量,,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?,,所以,,所以在上的投影向量?
故選:C6.在中,若,則的面積為()A. B. C.或 D.【答案】D【解析】由題意可得:,即,整理得,解得或(舍去),所以的面積為.故選:D.7.已知圓錐為底面圓心,為圓錐的母線,且,若的面積等于,則該圓錐的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,則,可知等腰底邊上的高為,由的面積可得,解得,即圓錐的底面半徑為2,所以該圓錐的體積.故選:B.8.設(shè)函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為,若,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】,令,則或,解得或,所以因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為,所以,所以即..故選:A.二、多項(xiàng)選擇題9.下列選項(xiàng)中正確的是()A.已知向量,若∥,則B.已知向量,若的夾角為鈍角,則C.已知非零向量,若,則與同向共線D.若,則和的面積之比為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:若∥,則,可得,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:若的夾角為鈍角,則,解得且,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:若,且為非零向量,向量加法的三角形法則可知同向,即與同向共線,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:若,即,可得(分別為的中點(diǎn)),即,可知點(diǎn)在線段上,且,則,即,所以和的面積之比為,故D正確;故選:ACD.10.已知函數(shù)(其中),,且在上的圖象與直線恰有個(gè)交點(diǎn),則的值可能是()A. B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?,所以,,則,所以,或,解得或,當(dāng)時(shí),,由,可得,則令,則,如下圖所示:因?yàn)樵谏系膱D象與直線恰有個(gè)交點(diǎn),即關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)根,所以,,解得,由,可得,此時(shí),;由,可得或,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選:BC.11.若函數(shù)有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值可以是()A. B.2 C.1 D.0【答案】BC【解析】由得,由于有兩個(gè)不相同的極值點(diǎn),則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,記,則,故當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng),單調(diào)遞增,所以取極大值,又當(dāng)時(shí),恒成立,故,故選:BC.12.在棱長(zhǎng)為6的正方體中,,是中點(diǎn),則下列選項(xiàng)正確的是()A.平面截正方體所得截面為梯形B.直線與所成的角的余弦值是C.從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng),如圖1,取的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),故,且,所以四邊形為平行四邊形,則,在上取點(diǎn),使得,因?yàn)?,所以,故,故四邊形即為平面截正方體所得截面,又與平面不平行,故與不平行,故四邊形為梯形,故平面截正方體所得截面為梯形,A正確;選項(xiàng)B,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,故,則,故直線與所成的角的余弦值是,B正確;C選項(xiàng),將平面與平面沿著折疊到同一平面內(nèi),連接,如圖,則,由勾股定理得,由于,故從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)不為,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,故,則點(diǎn)到平面的距離為,D正確.故選:ABD.三、填空題13.已知平面向量,,,則和夾角的余弦值為_(kāi)______________.【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄浚?,,則,解得,所以,,則,所以,故答案為:.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】由題設(shè)知:定義域?yàn)?,∴?dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞增;又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù),∴綜上有:時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增;∴故答案為:1.15.在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,是以為斜邊的直角三角形,平面平面,則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)______________.【答案】【解析】如圖,取中點(diǎn),連接,為的重心,連接,因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切?,則,又平面平面,平面平面,則平面,平面,則,則,又是邊長(zhǎng)為的正三角形,,則,,則,為外接球的球心,半徑為2,則表面積為.故答案為:.16.已知函數(shù),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______________.【答案】【解析】設(shè),可知的定義域?yàn)椋瑒t,所以為奇函數(shù),因?yàn)?,可知在上單調(diào)遞增,對(duì)于不等式,即,可得,則,可得,注意到,可得,原題意等價(jià)于對(duì)任意的恒成立,令,則,令,解得;令,解得;則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),取到最小值,可得,所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為:.四、解答題17.在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并解答問(wèn)題:在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足_______________.(1)求角的值;(2)若的面積為,點(diǎn)在邊上,且,求的最小值.解:(1)若選①:因?yàn)?,則,解得,且,所以;若選②:因?yàn)?,由正弦定理可得:,且,則,可得,整理得,且,所以;若選③:因?yàn)?,由正弦定理可得,且,則,可得,即,可得,且,則可知,所以.(2)因?yàn)榈拿娣e為,則,由題意可得:,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,即,所以的最小值.18.已知函數(shù)(其中)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若不等式對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.解:(1)因?yàn)闉槠婧瘮?shù),且的定義域?yàn)?,可知,解得,則,且,即,可得為奇函數(shù),所以.(2)由(1)可知:,因在內(nèi)單調(diào)遞增,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,且,則,令,則,對(duì)于不等式,即,則,原題意等價(jià)于對(duì)于恒成立,且,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,則,解得,所以實(shí)數(shù)的最小值.19.如圖,在四棱臺(tái)中,底面是中點(diǎn).底面為直角梯形,且.(1)證明:直線平面;(2)求二面角的正弦值.(1)證明:因?yàn)榈酌?,底面,則,由題意可知:,且平面,所以平面,且平面,可得,不妨設(shè),由題意可得:,可知:,即,且,平面,所以直線平面.(2)解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,可得,可得,設(shè)二面角為,則,所以二面角的正弦值.20.已知,記.(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心;(2)若,求.解:(1)因?yàn)?,所以的最小正周期,令,解得,所以的?duì)稱中心為.(2)因?yàn)?,可得,又因?yàn)?,則,且,,可知,則,則,,可得,所以.21.如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,為正三角形,平面平面,為線段的中點(diǎn),是線段(不含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)記平面交于點(diǎn),求證:平面;(2)是否存在點(diǎn),使得二面角的正弦值為,若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明:因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t,因?yàn)槠矫?,平面,所以,平面,因?yàn)槠矫?,平面平面,則,因?yàn)槠矫妫矫?,因此,平?(2)解:連接、、,因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn),則,因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以,平面,因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的菱形,則,又因?yàn)?,則為等邊三角形,則,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè),其中,設(shè)平面的法向量為,,,則,取,可得,設(shè)平面的法向量為,,則,取,則,,所以,,由題意可得,整理可得,即,因?yàn)椋獾?,故?dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí),二面角的正弦值為.22.已知函數(shù)(其中).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求整數(shù)的最大值.解:(1)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,則,且,則,所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.(2)可化為,因?yàn)?,則有:當(dāng)時(shí),則,符合題意,;當(dāng)時(shí),則,可得恒成立,令,,可知:,可得,令,,則在上恒成立,可知:在上單調(diào)遞增,且,,則,使得,即,當(dāng)時(shí),,即,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即,單調(diào)遞增;所以,所以只需,因?yàn)?,即整?shù)的最大值為;綜上所述:整數(shù)的最大值為.江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由于,又所以,故選:C.2.已知復(fù)數(shù)的模為2,則實(shí)數(shù)()A. B. C.或2 D.或4【答案】D【解析】由復(fù)數(shù),因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為,可得,解得.故選:D.3.使成立的一個(gè)充分不必要條件是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式,可得,因?yàn)椋?,,因此,使成立的一個(gè)充分不必要條件是.故選:C.4.已知正實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足,則,可得,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí),,故的最小值為.故選:B.5.若向量,,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?,所以,,所以在上的投影向量?
故選:C6.在中,若,則的面積為()A. B. C.或 D.【答案】D【解析】由題意可得:,即,整理得,解得或(舍去),所以的面積為.故選:D.7.已知圓錐為底面圓心,為圓錐的母線,且,若的面積等于,則該圓錐的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,則,可知等腰底邊上的高為,由的面積可得,解得,即圓錐的底面半徑為2,所以該圓錐的體積.故選:B.8.設(shè)函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為,若,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】,令,則或,解得或,所以因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為,所以,所以即..故選:A.二、多項(xiàng)選擇題9.下列選項(xiàng)中正確的是()A.已知向量,若∥,則B.已知向量,若的夾角為鈍角,則C.已知非零向量,若,則與同向共線D.若,則和的面積之比為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:若∥,則,可得,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:若的夾角為鈍角,則,解得且,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:若,且為非零向量,向量加法的三角形法則可知同向,即與同向共線,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:若,即,可得(分別為的中點(diǎn)),即,可知點(diǎn)在線段上,且,則,即,所以和的面積之比為,故D正確;故選:ACD.10.已知函數(shù)(其中),,且在上的圖象與直線恰有個(gè)交點(diǎn),則的值可能是()A. B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?,所以,,則,所以,或,解得或,當(dāng)時(shí),,由,可得,則令,則,如下圖所示:因?yàn)樵谏系膱D象與直線恰有個(gè)交點(diǎn),即關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)根,所以,,解得,由,可得,此時(shí),;由,可得或,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選:BC.11.若函數(shù)有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值可以是()A. B.2 C.1 D.0【答案】BC【解析】由得,由于有兩個(gè)不相同的極值點(diǎn),則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,記,則,故當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng),單調(diào)遞增,所以取極大值,又當(dāng)時(shí),恒成立,故,故選:BC.12.在棱長(zhǎng)為6的正方體中,,是中點(diǎn),則下列選項(xiàng)正確的是()A.平面截正方體所得截面為梯形B.直線與所成的角的余弦值是C.從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng),如圖1,取的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),故,且,所以四邊形為平行四邊形,則,在上取點(diǎn),使得,因?yàn)?,所以,故,故四邊形即為平面截正方體所得截面,又與平面不平行,故與不平行,故四邊形為梯形,故平面截正方體所得截面為梯形,A正確;選項(xiàng)B,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,故,則,故直線與所成的角的余弦值是,B正確;C選項(xiàng),將平面與平面沿著折疊到同一平面內(nèi),連接,如圖,則,由勾股定理得,由于,故從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)不為,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,故,則點(diǎn)到平面的距離為,D正確.故選:ABD.三、填空題13.已知平面向量,,,則和夾角的余弦值為_(kāi)______________.【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?,,,則,解得,所以,,則,所以,故答案為:.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】由題設(shè)知:定義域?yàn)?,∴?dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞增;又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù),∴綜上有:時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增;∴故答案為:1.15.在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,是以為斜邊的直角三角形,平面平面,則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)______________.【答案】【解析】如圖,取中點(diǎn),連接,為的重心,連接,因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切?,則,又平面平面,平面平面,則平面,平面,則,則,又是邊長(zhǎng)為的正三角形,,則,,則,為外接球的球心,半徑為2,則表面積為.故答案為:.16.已知函數(shù),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______________.【答案】【解析】設(shè),可知的定義域?yàn)?,則,所以為奇函數(shù),因?yàn)?,可知在上單調(diào)遞增,對(duì)于不等式,即,可得,則,可得,注意到,可得,原題意等價(jià)于對(duì)任意的恒成立,令,則,令,解得;令,解得;則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),取到最小值,可得,所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為:.四、解答題17.在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并解答問(wèn)題:在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足_______________.(1)求角的值;(2)若的面積為,點(diǎn)在邊上,且,求的最小值.解:(1)若選①:因?yàn)椋瑒t,解得,且,所以;若選②:因?yàn)?,由正弦定理可得:,且,則,可得,整理得,且,所以;若選③:因?yàn)?,由正弦定理可得,且,則,可得,即,可得,且,則可知,所以.(2)因?yàn)榈拿娣e為,則,由題意可得:,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,即,所以的最小值.18.已知函數(shù)(其中)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若不等式對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.解:(1)因?yàn)闉槠婧瘮?shù),且的定義域?yàn)?,可知,解得,則,且,即,可得為奇函數(shù),所以.(2)由(1)可知:,因在內(nèi)單調(diào)遞增,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,且,則,令,則,對(duì)于不等式,即,則,原題意等價(jià)于對(duì)于恒成立,且,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,則,解得,所以實(shí)數(shù)的最小值.19.如圖,在四棱臺(tái)中,底面是中點(diǎn).底面為直角梯形,且.(1)證明:直線平面;(2)求二面角的正弦值.(1)證明:因?yàn)榈酌?,底面,則,由題意可知:,且平面,所以平面,且平面,可得,不妨設(shè),由題意可得:,可知:,即,且,平面,所以直線平面.(2)解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,可得,可得,設(shè)二面角
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