2024屆江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，又所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)的模為2，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或2 D.或4【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為，可得，解得.故選：D.3.使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式，可得，因?yàn)椋?，，因此，使成立的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.4.已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，故的最小值為.故選：B.5.若向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，所以在上的投影向量?

故選：C6.在中，若，則的面積為（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】由題意可得：，即，整理得，解得或（舍去），所以的面積為.故選：D.7.已知圓錐為底面圓心，為圓錐的母線，且，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，可知等腰底邊上的高為，由的面積可得，解得，即圓錐的底面半徑為2，所以該圓錐的體積.故選：B.8.設(shè)函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則或，解得或，所以因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，所以，所以即..故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.已知向量，若∥，則B.已知向量，若的夾角為鈍角，則C.已知非零向量，若，則與同向共線D.若，則和的面積之比為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若∥，則，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若的夾角為鈍角，則，解得且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，且為非零向量，向量加法的三角形法則可知同向，即與同向共線，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，即，可得（分別為的中點(diǎn)），即，可知點(diǎn)在線段上，且，則，即，所以和的面積之比為，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)（其中），，且在上的圖象與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，，則，所以，或，解得或，當(dāng)時(shí)，，由，可得，則令，則，如下圖所示：因?yàn)樵谏系膱D象與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，，解得，由，可得，此時(shí)，；由，可得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：BC.11.若函數(shù)有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B.2 C.1 D.0【答案】BC【解析】由得，由于有兩個(gè)不相同的極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記，則，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以取極大值，又當(dāng)時(shí)，恒成立，故，故選：BC.12.在棱長(zhǎng)為6的正方體中，，是中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.平面截正方體所得截面為梯形B.直線與所成的角的余弦值是C.從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，如圖1，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，故，且，所以四邊形為平行四邊形，則，在上取點(diǎn)，使得，因?yàn)?，所以，故，故四邊形即為平面截正方體所得截面，又與平面不平行，故與不平行，故四邊形為梯形，故平面截正方體所得截面為梯形，A正確；選項(xiàng)B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，故直線與所成的角的余弦值是，B正確；C選項(xiàng)，將平面與平面沿著折疊到同一平面內(nèi)，連接，如圖，則，由勾股定理得，由于，故從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)不為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知平面向量，，，則和夾角的余弦值為_(kāi)______________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄浚?，，則，解得，所以，，則，所以，故答案為：.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.15.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)______________．【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，為的重心，連接，因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切?，則，又平面平面，平面平面，則平面，平面，則，則，又是邊長(zhǎng)為的正三角形，，則，，則，為外接球的球心，半徑為2，則表面積為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______________．【答案】【解析】設(shè)，可知的定義域?yàn)椋瑒t，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，可知在上單調(diào)遞增，對(duì)于不等式，即，可得，則，可得，注意到，可得，原題意等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取到最小值，可得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足_______________．（1）求角的值；（2）若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．解：（1）若選①：因?yàn)?，則，解得，且，所以；若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得：，且，則，可得，整理得，且，所以；若選③：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，即，可得，且，則可知，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，則，由題意可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以的最小值.18.已知函數(shù)（其中）為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且的定義域?yàn)?，可知，解得，則，且，即，可得為奇函數(shù)，所以.（2）由（1）可知：，因在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則，令，則，對(duì)于不等式，即，則，原題意等價(jià)于對(duì)于恒成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值.19.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.20.已知，記．（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心；（2）若，求．解：（1）因?yàn)?，所以的最小正周期，令，解得，所以的?duì)稱中心為.（2）因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，則，且，，可知，則，則，，可得，所以.21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）記平面交于點(diǎn)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，則，因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平?（2）解：連接、、，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的菱形，則，又因?yàn)?，則為等邊三角形，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，，所以，，由題意可得，整理可得，即，因?yàn)椋獾?，故?dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的正弦值為.22.已知函數(shù)（其中）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，且，則，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.（2）可化為，因?yàn)?，則有：當(dāng)時(shí)，則，符合題意，；當(dāng)時(shí)，則，可得恒成立，令，，可知：，可得，令，，則在上恒成立，可知：在上單調(diào)遞增，且，，則，使得，即，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；所以，所以只需，因?yàn)?，即整?shù)的最大值為；綜上所述：整數(shù)的最大值為.江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，又所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)的模為2，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或2 D.或4【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為，可得，解得.故選：D.3.使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式，可得，因?yàn)椋?，，因此，使成立的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.4.已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，故的最小值為.故選：B.5.若向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以在上的投影向量?

故選：C6.在中，若，則的面積為（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】由題意可得：，即，整理得，解得或（舍去），所以的面積為.故選：D.7.已知圓錐為底面圓心，為圓錐的母線，且，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，可知等腰底邊上的高為，由的面積可得，解得，即圓錐的底面半徑為2，所以該圓錐的體積.故選：B.8.設(shè)函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則或，解得或，所以因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，所以，所以即..故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.已知向量，若∥，則B.已知向量，若的夾角為鈍角，則C.已知非零向量，若，則與同向共線D.若，則和的面積之比為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若∥，則，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若的夾角為鈍角，則，解得且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，且為非零向量，向量加法的三角形法則可知同向，即與同向共線，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，即，可得（分別為的中點(diǎn)），即，可知點(diǎn)在線段上，且，則，即，所以和的面積之比為，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)（其中），，且在上的圖象與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，，則，所以，或，解得或，當(dāng)時(shí)，，由，可得，則令，則，如下圖所示：因?yàn)樵谏系膱D象與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，，解得，由，可得，此時(shí)，；由，可得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：BC.11.若函數(shù)有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B.2 C.1 D.0【答案】BC【解析】由得，由于有兩個(gè)不相同的極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記，則，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以取極大值，又當(dāng)時(shí)，恒成立，故，故選：BC.12.在棱長(zhǎng)為6的正方體中，，是中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.平面截正方體所得截面為梯形B.直線與所成的角的余弦值是C.從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，如圖1，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，故，且，所以四邊形為平行四邊形，則，在上取點(diǎn)，使得，因?yàn)?，所以，故，故四邊形即為平面截正方體所得截面，又與平面不平行，故與不平行，故四邊形為梯形，故平面截正方體所得截面為梯形，A正確；選項(xiàng)B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，故直線與所成的角的余弦值是，B正確；C選項(xiàng)，將平面與平面沿著折疊到同一平面內(nèi)，連接，如圖，則，由勾股定理得，由于，故從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)不為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知平面向量，，，則和夾角的余弦值為_(kāi)______________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，，則，解得，所以，，則，所以，故答案為：.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.15.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)______________．【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，為的重心，連接，因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切?，則，又平面平面，平面平面，則平面，平面，則，則，又是邊長(zhǎng)為的正三角形，，則，，則，為外接球的球心，半徑為2，則表面積為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______________．【答案】【解析】設(shè)，可知的定義域?yàn)?，則，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，可知在上單調(diào)遞增，對(duì)于不等式，即，可得，則，可得，注意到，可得，原題意等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取到最小值，可得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足_______________．（1）求角的值；（2）若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．解：（1）若選①：因?yàn)椋瑒t，解得，且，所以；若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得：，且，則，可得，整理得，且，所以；若選③：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，即，可得，且，則可知，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，則，由題意可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以的最小值.18.已知函數(shù)（其中）為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且的定義域?yàn)?，可知，解得，則，且，即，可得為奇函數(shù)，所以.（2）由（1）可知：，因在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則，令，則，對(duì)于不等式，即，則，原題意等價(jià)于對(duì)于恒成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值.19.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角