第4章一次函數(shù)-題型全解8-一次函數(shù)與幾何綜合題型-北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

word版初中數(shù)學(xué)word版初中數(shù)學(xué)/word版初中數(shù)學(xué)《一次函數(shù)》題型解讀8一次函數(shù)與幾何綜合題型【題型與方法解讀】2.解題技巧：（1）求關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：①用“x=0或y=0”分別求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；②用二元一次方程組求兩線段的交點(diǎn)坐標(biāo)；③代入法求點(diǎn)的坐標(biāo)；④作x、y軸的垂線，求垂線段的長度求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求關(guān)鍵線的解析式①常用“等定系數(shù)法”求某條線段所在直線的解析式；②也可以通過以下兩個技巧設(shè)或求解析式：若兩直線平行，則它們的K值相同；若兩直線垂直，則它們的K值為負(fù)倒數(shù)；（3）已知或求面積問題：解題思路先明確面積方法：①公式法；②外補(bǔ)法（面積差）或內(nèi)割法（面積和）（4）注意幾何圖形中隱藏的數(shù)學(xué)典型模型或典型圖形①“一線三垂直或二垂或一垂模型”；②“雙垂直模型”；③“一線三等角模型”；④“角平分線+平行線=等腰”模型；⑤“兩圓一線”的解題方法；⑥“將軍飲馬問題”求線段和最小值；（5）常用的補(bǔ)充公式：①中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若，，則AB的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為②兩點(diǎn)之間的距離公式：若，，則AB=③求面積的三種方法：公式法；補(bǔ)割法；等底等高面積相等；【典型例題】例1.如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為線段OB上一點(diǎn)，將沿著直線AC翻折，點(diǎn)B恰好落在x軸上的D處，則的面積為______．解：直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，，，將沿著直線AC翻折，點(diǎn)B恰好落在x軸上的D處，，，設(shè)，則，，，，，解得，，即，，的面積為：，

例2.如圖,直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C是第二象限內(nèi)一點(diǎn),連接CB,若∠CBA=45°,則直線BC的解析式為_________.解析：解題經(jīng)驗(yàn)：出現(xiàn)45°角必構(gòu)造等腰直角三角形，這是解題的突破口。過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，作DE⊥軸于點(diǎn)E，出現(xiàn)數(shù)學(xué)典型模型：“一線三垂直模型”，則易證△OAB≌△EDA，則OB=AE=2，OA=DE=1，∴OE=3，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，1），∵D（3，2），B（0，2），用“待定系數(shù)法”可求得BC的解析式：.例3.已知,如圖點(diǎn)A(1,1),B(2,-3),點(diǎn)P為軸上一點(diǎn),當(dāng)最大時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.解析：“將軍飲馬問題”，選擇壓軸題。選B依“兩邊之差小于第三邊”可知：|PA-PB|<AB，當(dāng)P、A、B在同一直線上時，|PA-PB|=|PA`-PB|=A`B,有最大值?！嘧鼽c(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B`，連接B`A并延長交x軸于點(diǎn)P，∵A`(1,-1),B(2,-3)，∴直線A`B的解析式為：y=-2x+1，當(dāng)y=0時x=,∴P()例4.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB:交軸于點(diǎn)A(0,1),交軸于點(diǎn)B，直線交AB于點(diǎn)D,交軸于點(diǎn)E,P是直線上一動點(diǎn),且在點(diǎn)D的上方,設(shè)P(1,)：(1)求直線AB的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求△ABP的面積(用含的代數(shù)式表示)；(3)當(dāng)時,以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)。解析：考查一次應(yīng)用知識和直角三角形的分類討論，解答壓軸題（1）基礎(chǔ)簡單題。代入A點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線AB的解析式為：,當(dāng)y=0時，x=3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）（2）中等難度題。當(dāng)x=1時，y=,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），∵P是直線上一動點(diǎn),且在點(diǎn)D的上方,P(1,)，∴PD=n-,∴.注：∵PE//y軸，△APD高會等于OE的長，而BE是△PDB的界外高。（3）壓軸小題，數(shù)學(xué)典型模型“一線三垂直”；當(dāng)時,n=2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）①當(dāng)點(diǎn)C為等腰直角三角形BPC的直角頂點(diǎn)時，∵P(1,2),B(3,0),∴PE=BE=2,∵PE⊥BE,∴△EPB是等腰直角形，分別過點(diǎn)P、B作BE和PE的平行線，交于點(diǎn)C，如圖1，可知△CPB是等腰直角三角形，此時C的坐標(biāo)為（3，2）；②當(dāng)點(diǎn)P為等腰直角三角形BPC的直角頂點(diǎn)時，如圖2，出現(xiàn)數(shù)學(xué)典型模型“一線三垂直”中的“二垂模型”，作CF⊥PE于點(diǎn)F，∵△CPB是等腰直角三角形，易證△EPB≌△FCP,∴CF=PE=2,PF=BE=2,∴EF=4,∴C(3,4)；③當(dāng)點(diǎn)B為等腰直角三角形BPC的直角頂點(diǎn)時，如圖3，出現(xiàn)數(shù)學(xué)典型模型“一線三垂直”中的“二垂模型”，作CM⊥x軸于點(diǎn)M，∵△CPB是等腰直角三角形，易證△EPB≌△MBC,∴CM=BE=2,BM=PE=2,∴OM=5,∴C(5,2)；綜上所述，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）、（3，4）、（5，2）時，△BPC是等腰直角三角形。例5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交直線于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，連接AD交直線于點(diǎn)E．

填空：______．求直線AD的解析式；

在x軸上存在一點(diǎn)P，則的和最小為______；直接填空即可

當(dāng)時，點(diǎn)Q為y軸上的一個動點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：如圖1，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，令，，，

令，，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，，

，

如圖1，設(shè)直線AD的解析式為，由知，，，，，

直線AD的解析式為；

如圖2，由知，直線AD的解析式為，直線CE：，，

點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，連接BE交x軸于P，此時，最小，最小值為BE，，的最小值是，則的和最小為；

，∽，，設(shè)，，為等腰直角三角形時，存在以下三種情況：

當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時，如圖3，，則，，，；

當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時，如圖3，同理得；當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時，如圖4，此時Q與O重合，

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．

例6.如圖，已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與數(shù)圖象交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，在x軸上有點(diǎn)P(a，0)（其中a>2)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交函數(shù)和的圖象于點(diǎn)C、D。(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)：(2)若OB=CD，求a的值（3）在(2)條件下若以0D線段為邊，作正方形0DEF，求直線EF的表達(dá)式。解：（1）∵點(diǎn)M在直線y=x的圖象上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x軸，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a+3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．（3）如圖以O(shè)D為邊作正方形ODEF有兩種情況。∵D(4，4)當(dāng)正方形為ODE1F1時，∵,OD與x軸夾角為450，∴∴正方形頂點(diǎn)E1在x軸上，由對稱性知∴，∴直線同理當(dāng)正方形為ODE2F2時，∴直線，例7.要在某河道建一座水泵站P，分別向河的同一側(cè)甲村A和乙村B送水，經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），兩村的坐標(biāo)分別為A（1，-2），B（9，-6）.（1）若要求水泵站P距離A村最近，則P的坐標(biāo)為____________；（2）若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站P建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管最短？（3）若水泵站P建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方，可使它到甲乙兩村的距離相等？解析：（1）依數(shù)學(xué)原理“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短”，作AP⊥x軸于點(diǎn)P，即為所求，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；（2）依數(shù)學(xué)原理“兩點(diǎn)之間線段最短”解題，由題可知，即求PA+PB最短，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A`，連接A`B交x軸于點(diǎn)P，此時PA+PB最短距離為A`B的長度?！逜(1,-2),∴A`(1,2)，設(shè)，代入A`、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得，解得，∴直線A`B的表達(dá)式為y=-x+3，當(dāng)y=0時，x=3，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（3）依“垂直平分線的性質(zhì)”解題.作線段AB的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)P，此時PA=PB.依中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（5，-4）,由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AB的表達(dá)式為y=-0.5x-1.5，∵PG⊥AB，∴設(shè)直線PG的表達(dá)式為y=2x+b,代入G點(diǎn)坐標(biāo)，可得y=2x-14，當(dāng)y=0時x=7，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（7，0）.例8.如圖1，已知直線AO與直線AC的表達(dá)式分別為：和.（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在直線OA上，且MN//y軸，MN=OA，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)B在x軸正半軸上，當(dāng)△BOC的面積等于△AOC的面積一半時，求∠ACO+∠BCO的大小.解析：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)可得OA=，∴MN=OA=2，則存在以下兩種情況：①當(dāng)M在N點(diǎn)下方時，如圖3，∵點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在直線OA上，且MN//y軸，∴設(shè)M的坐標(biāo)為（a,2a-6），則N的坐標(biāo)為（a,），則MN=-（2a-6）=2，解得a=，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)M在N點(diǎn)上方時，如圖4，則MN=（2a-6）--=2，解得a=，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；綜上所述，N的坐標(biāo)為（，），（，）（3）思路分析：利用“等底時兩三角形面積之比等于高之比”可得出OB的長，解題的關(guān)鍵在如何轉(zhuǎn)化“∠ACO+∠BCO”，這里有幾條解題經(jīng)驗(yàn)值得借鑒：①到目前為止，我們所學(xué)的均是求一個角的角度，不會涉及到角度的和差關(guān)系，故一定要把“∠ACO+∠BCO”通過等量代換成一個角；故有了作∠GCO=∠BCO的輔助線思路，把∠ACO+∠BCO轉(zhuǎn)化成∠ACG，；②題目條件沒出現(xiàn)具體角度，但結(jié)論又要求角度的，這個角度一定是一個特殊角，即∠ACG的度數(shù)一定是個特殊角；即∠ACG處于一個特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的輔助線思路，運(yùn)用勾股定理知識即可解答?！摺鰾OC與△AOC有相同的底邊OC，∴當(dāng)△BOC的面積等于△AOC的面積一半時，△BOC的高OB的長度是△AOC的高的一半，∴OB=2，設(shè)直線AC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則D(3，0)，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)G，則OG=0B=2，GD=5,∠BCO=∠GCO，則∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，連接GC，作DE⊥GC于點(diǎn)E，由勾股定理可得：GC=,DC=,在△CGD中，由等面積法可得：OC?DG=DE?GC，可得DE=,在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=,∴ED=EC,∴∠ECD=45°,即∠ACO+∠BCO=45°.例9.如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線經(jīng)過點(diǎn)C（-1，0），D（0，），與直線AB交于點(diǎn)E。（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接BC，求△BCE的面積；（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求m的值使得QA+QE的值最小。解析：(1)用“待定系數(shù)法”解題，設(shè)直線表達(dá)式為：y=kx+b,代入C點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），D點(diǎn)（0，），可得：，∴直線表達(dá)式為：(2)要求△BCE的面積，先明確面積方法：補(bǔ)割法：△BCE的面積=△ABC的面積-△ACE的面積，再利用公式法求出每個小三角形的面積?！鰽BC是以AB為底，OB為高，△ACE是以AC為底，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，由于C點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的，即OC=1，所以先求出點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)。A、B點(diǎn)是直線AB與x、y軸的交點(diǎn)，當(dāng)y=0時x=4，當(dāng)x=0時y=2，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,2），∴OA=4,OB=2,∴底邊AC=5；又∵點(diǎn)E是直線AB與直線CD的交點(diǎn)，解聯(lián)立方程，∴,∴E（2，1），∴∴(3)求線段和的最小值，屬“將軍飲馬問題”，需通過作對稱，使QA與QE在同一條直線上。所以先明確作哪個點(diǎn)的對稱點(diǎn)，對稱軸是哪條直線。由Q的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），可知直線BQ的解析式為y=2，且BQ//軸，∴以動點(diǎn)Q所在的直線BQ為對稱軸，作定點(diǎn)E的對稱點(diǎn)E`，連接AE`，交直線BQ于點(diǎn)Q，AE`即為QA+QE的最小值。∵E的坐標(biāo)為（2，1），∴它關(guān)于直線y=2的對稱點(diǎn)E`的坐標(biāo)為（2，3），①點(diǎn)Q是直線AE`與BD的交點(diǎn)，且知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，∴只需求出直線AE`的解析式，代入便可得出Q點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)直線AE`的解析式為：y=kx+b,代入A點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），E`點(diǎn)（2，3），可得：，∴，∴∵∴∴∴，∴m=；②要求QA+QE的值最小值，即求線段AE`的長度，∵E`（2，3），A（4,0），用兩點(diǎn)間的距離公式可得：例10．如圖1，已知函數(shù)y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接BM，如圖2，若∠BMP=∠BAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】（1）解：對于.由x=0得：y=3，∴B（0，3）.由y=0得：，解得x=﹣6，∴A（﹣6，0），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,∴C（6，0）,設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，解得