2018年高考一輪復(fù)習(xí)不等式及均值不等式

./2017高考一輪復(fù)習(xí) 不等式和均值不等式一．選擇題〔共14小題1．〔2010?上海〔上海春卷16已知a1,a2∈〔0,1,記M=a1a2,N=a1+a2﹣1,則M與N的大小關(guān)系是〔A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不確定2．〔2016春?樂清市校級(jí)月考設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則"a＞b＞1"是""的〔A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．〔2013?天津設(shè)a,b∈R,則"〔a﹣ba2＜0"是"a＜b"的〔A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．〔2012?XX設(shè)a＞b＞1,C＜0,給出下列三個(gè)結(jié)論：①＞；②ac＜bc；③logb〔a﹣c＞loga〔b﹣c．其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)〔A．① B．①② C．②③ D．①②③5．〔2014?XX已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax＜ay〔0＜a＜1,則下列關(guān)系式恒成立的是〔A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln〔x2+1＞ln〔y2+1 D．＞6．〔2013?XX設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有〔A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]7．〔2013秋?豐城市校級(jí)期末下列函數(shù)中最小值為4的是〔A．y=x+ B．y=C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+,〔0＜x＜π8．〔2013?XX設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,則當(dāng)取得最小值時(shí),x+2y﹣z的最大值為〔A．0 B． C．2 D．9．若實(shí)數(shù)a,b滿足ab﹣4a﹣b+1=0〔a＞1,則〔a+1〔b+2的最小值為〔A．24 B．25 C．27 D．3010．〔2006秋?增城市期末已知0＜x＜1,則x〔3﹣3x取得最大值時(shí)時(shí)x的值為〔A． B． C． D．11．〔2014秋?XX期末設(shè)x,y∈R,a＞1,b＞1,若ax=by=2.2a+b=8,則的最大值為〔A．2 B．3 C．4 D．log2312．〔2012?XX一模函數(shù)y=logax+1〔a＞0且a≠1的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線+﹣4=0〔m＞0,n＞0上,則m+n的最小值為〔A．2+ B．2 C．1 D．413．〔2015?XX設(shè)f〔x=lnx,0＜a＜b,若p=f〔,q=f〔,r=〔f〔a+f〔b,則下列關(guān)系式中正確的是〔A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q14．〔2014?XX校級(jí)模擬某制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長方形薄板,如圖所示,長方形ABCD〔AB＞AD的周長為4米,沿AC折疊使B到B′位置,AB′交DC于P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能,則最節(jié)能時(shí)ADP的面積為〔A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2二．填空題〔共5小題15．〔2013?XX如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是〔寫出所有正確命題的編號(hào)．①當(dāng)0＜CQ＜時(shí),S為四邊形②當(dāng)CQ=時(shí),S為等腰梯形③當(dāng)CQ=時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=④當(dāng)＜CQ＜1時(shí),S為六邊形⑤當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為．16．〔2015秋?XX市校級(jí)期中已知x＞3,則+x的最小值為．17．已知x＞1,則函數(shù)y=的最小值是．18．〔2014?荊州一模已知x＞0,y＞0,且x+2y=xy,則log4〔x+2y的最小值是．19．若a,b,x,y∈R,且a2+b2=3,x2+y2=1,則ax+by的最大值為．三．解答題〔共7小題20．〔2009?XX一模如圖,A1A是圓柱的母線,AB是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn),A1A=AB=2．〔1求證：BC⊥平面A1AC；〔2求三棱錐A1﹣ABC的體積的最大值．21．設(shè)a＞0,b＞0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小．22．設(shè)f〔x是不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),且1≤f〔﹣1≤2.2≤f〔1≤4求f〔2的取值范圍．23．已知α,β滿足,試求α+3β的取值范圍．24．〔2013秋?XX期中〔1已知a,b,c為任意實(shí)數(shù),求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；〔2設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,求證：ab+bc+ca≤．25．〔2015?XX二模已知a,b為正實(shí)數(shù),〔1若a+b=2,求的最小值；〔2求證：a2b2+a2+b2≥ab〔a+b+1．26．〔2016春?和平區(qū)期末已知x＞0,y＞0,且2x+8y﹣xy=0,求：〔1xy的最小值；〔2x+y的最小值．2017高考一輪復(fù)習(xí) 不等式和均值不等式參考答案與試題解析一．選擇題〔共14小題1．〔2010?上?！采虾４壕?6已知a1,a2∈〔0,1,記M=a1a2,N=a1+a2﹣1,則M與N的大小關(guān)系是〔A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不確定[分析]根據(jù)題意,利用作差法進(jìn)行求解．[解答]解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1=〔a1﹣1〔a2﹣1＞0,故M＞N,故選B．[點(diǎn)評(píng)]此題考查大小的比較,利用作差法進(jìn)行求解,是一道基礎(chǔ)題．2．〔2016春?樂清市校級(jí)月考設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則"a＞b＞1"是""的〔A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[分析]畫出f〔x=x+圖象,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合充分那樣條件的定義可判斷．[解答]解：∵f〔a=a+,f〔b=b+,f〔x=x+圖象如下圖．∴根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷：若"a＞b＞1"則""成立,反之若""則"a＞b＞1"不一定成立．根據(jù)充分必要條件的定義可判斷："a＞b＞1"是""的充分不必要條件,故選：A[點(diǎn)評(píng)]本題考查了對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性,必要充分條件的定義可判斷,屬于中檔題．3．〔2013?天津設(shè)a,b∈R,則"〔a﹣ba2＜0"是"a＜b"的〔A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[分析]通過舉反例可得"a＜b"不能推出"〔a﹣ba2＜0",由"〔a﹣ba2＜0"能推出"a＜b",從而得出結(jié)論．[解答]解：由"a＜b"如果a=0,則〔a﹣ba2=0,不能推出"〔a﹣ba2＜0",故必要性不成立．由"〔a﹣ba2＜02"可得a2＞0,所以a＜b,故充分性成立．綜上可得"〔a﹣ba2＜0"是a＜b的充分也不必要條件,故選A．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義,通過給變量取特殊值,舉反例來說明某個(gè)命題不正確,是一種簡單有效的方法,屬于基礎(chǔ)題．4．〔2012?XX設(shè)a＞b＞1,C＜0,給出下列三個(gè)結(jié)論：①＞；②ac＜bc；③logb〔a﹣c＞loga〔b﹣c．其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)〔A．① B．①② C．②③ D．①②③[分析]利用作差比較法可判定①的真假,利用冪函數(shù)y=xc的性質(zhì)可判定②的真假,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知③的真假．[解答]解：①﹣=,∵a＞b＞1,c＜0∴﹣=＞0,故＞正確；②考查冪函數(shù)y=xc,∵c＜0∴y=xc在〔0,+∞上是減函數(shù),而a＞b＞0,則ac＜bc正確；③當(dāng)a＞b＞1時(shí),有l(wèi)ogb〔a﹣c＞logb〔b﹣c＞loga〔b﹣c；正確．故選D．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了不等式比較大小,以及冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題．5．〔2014?XX已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax＜ay〔0＜a＜1,則下列關(guān)系式恒成立的是〔A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln〔x2+1＞ln〔y2+1 D．＞[分析]本題主要考查不等式的大小比較,利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．[解答]解：∵實(shí)數(shù)x,y滿足ax＜ay〔0＜a＜1,∴x＞y,A．當(dāng)x＞y時(shí),x3＞y3,恒成立,B．當(dāng)x=π,y=時(shí),滿足x＞y,但sinx＞siny不成立．C．若ln〔x2+1＞ln〔y2+1,則等價(jià)為x2＞y2成立,當(dāng)x=1,y=﹣1時(shí),滿足x＞y,但x2＞y2不成立．D．若＞,則等價(jià)為x2+1＜y2+1,即x2＜y2,當(dāng)x=1,y=﹣1時(shí),滿足x＞y,但x2＜y2不成立．故選：A．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查函數(shù)值的大小比較,利用不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．6．〔2013?XX設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有〔A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y][分析]本題考查的是取整函數(shù)問題．在解答時(shí)要先充分理解[x]的含義,從而可知針對(duì)于選項(xiàng)注意對(duì)新函數(shù)的加以分析即可,注意反例的應(yīng)用．[解答]解：對(duì)A,設(shè)x=﹣1.8,則[﹣x]=1,﹣[x]=2,所以A選項(xiàng)為假．對(duì)B,設(shè)x=﹣1.4,[2x]=[﹣2.8]=﹣3,2[x]=﹣4,所以B選項(xiàng)為假．對(duì)C,設(shè)x=y=1.8,對(duì)A,[x+y]=[3.6]=3,[x]+[y]=2,所以C選項(xiàng)為假．故D選項(xiàng)為真．故選D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了取整函數(shù)的性質(zhì),是一道競賽的題目,難度不大．7．〔2013秋?豐城市校級(jí)期末下列函數(shù)中最小值為4的是〔A．y=x+ B．y=C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+,〔0＜x＜π[分析]A．當(dāng)x＜0時(shí),利用基本不等式的性質(zhì),y=﹣≤﹣4,可知無最小值；B．變形為,利用基本不等式的性質(zhì)可知：最小值大于4；C．利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出滿足條件；D．利用基本不等式的性質(zhì)可知：最小值大于4．[解答]解：A．當(dāng)x＜0時(shí),=﹣4,當(dāng)且僅當(dāng)x=﹣2時(shí)取等號(hào)．因此此時(shí)A無最小值；B.==4,當(dāng)且僅當(dāng)x2+2=1時(shí)取等號(hào),但是此時(shí)x的值不存在,故不能取等號(hào),即y＞4,因此B的最小值不是4；C.=4,當(dāng)且僅當(dāng),解得ex=2,即x=ln4時(shí)取等號(hào),即y的最小值為4,因此C滿足條件；D．當(dāng)0＜x＜π時(shí),sinx＞0,∴=4,當(dāng)且僅當(dāng),即sinx=2時(shí)取等號(hào),但是sinx不可能取等號(hào),故y＞4,因此不滿足條件．綜上可知：只有C滿足條件．故選C．[點(diǎn)評(píng)]熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,特別注意"="是否取到．8．〔2013?XX設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,則當(dāng)取得最小值時(shí),x+2y﹣z的最大值為〔A．0 B． C．2 D．[分析]將z=x2﹣3xy+4y2代入,利用基本不等式化簡即可求得x+2y﹣z的最大值．[解答]解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z為正實(shí)數(shù),∴=+﹣3≥2﹣3=1〔當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取"=",即x=2y〔y＞0,∴x+2y﹣z=2y+2y﹣〔x2﹣3xy+4y2=4y﹣2y2=﹣2〔y﹣12+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值為2．故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題考查基本不等式,將z=x2﹣3xy+4y2代入,求得取得最小值時(shí)x=2y是關(guān)鍵,考查配方法求最值,屬于中檔題．9．若實(shí)數(shù)a,b滿足ab﹣4a﹣b+1=0〔a＞1,則〔a+1〔b+2的最小值為〔A．24 B．25 C．27 D．30[分析]先根據(jù)ab﹣4a﹣b+1=0求得a和b的關(guān)系式,進(jìn)而代入到〔a+1〔b+2利用均值不等式求得答案．[解答]解：∵ab﹣4a﹣b+1═0∴b==4+,∴〔a+1〔b+2=6a++6=6a++9=6〔a﹣1++15≥27〔當(dāng)且僅當(dāng)a﹣1=即a=2時(shí)等號(hào)成立,即〔a+1〔b+2的最小值為27．故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是配出均值不等式的形式．10．〔2006秋?增城市期末已知0＜x＜1,則x〔3﹣3x取得最大值時(shí)時(shí)x的值為〔A． B． C． D．[分析]法一：設(shè)y=x〔3﹣3x=﹣3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值法二：由0＜x＜1可得1﹣x＞0,從而利用基本不等式可求x〔3﹣3x=3x〔1﹣x的最大值及取得最大值的x[解答]解：法一：設(shè)y=x〔3﹣3x則y=﹣3〔x2﹣x=﹣3∵0＜x＜1當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得最大值故選C法二：∵0＜x＜1∴1﹣x＞0∵x〔3﹣3x=3x〔1﹣x當(dāng)且僅當(dāng)x=1﹣x即x=時(shí)取得最大值故選C[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解,一般的處理方法是對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行配方,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性判斷取得最值的條件．11．〔2014秋?XX期末設(shè)x,y∈R,a＞1,b＞1,若ax=by=2.2a+b=8,則的最大值為〔A．2 B．3 C．4 D．log23[分析]由ax=by=2,求出x,y,進(jìn)而可表示,再利用基本不等式,即可求的最大值．[解答]解：∵ax=by=2,∴x=loga2,y=logb2∴,∴=log2a+log2b=log2ab,∵2a+b=8≥,∴ab≤8〔當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí),取等號(hào),∴≤log28=3,即的最大值為3．故選B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查基本不等式的運(yùn)用,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,正確表示是關(guān)鍵．12．〔2012?XX一模函數(shù)y=logax+1〔a＞0且a≠1的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線+﹣4=0〔m＞0,n＞0上,則m+n的最小值為〔A．2+ B．2 C．1 D．4[分析]利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=logax+1〔a＞0且a≠1的圖象恒過定點(diǎn)A〔1,1,代入直線+﹣4=0〔m＞0,n＞0上,可得．再利用"乘1法"和基本不等式的性質(zhì)即可得出．[解答]解：當(dāng)x=1時(shí),y=loga1+1=1,∴函數(shù)y=logax+1〔a＞0且a≠1的圖象恒過定點(diǎn)A〔1,1,∵點(diǎn)A在直線+﹣4=0〔m＞0,n＞0上,∴．∴m+n===1,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)取等號(hào)．故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、"乘1法"和基本不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題．13．〔2015?XX設(shè)f〔x=lnx,0＜a＜b,若p=f〔,q=f〔,r=〔f〔a+f〔b,則下列關(guān)系式中正確的是〔A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q[分析]由題意可得p=〔lna+lnb,q=ln〔≥ln〔=p,r=〔lna+lnb,可得大小關(guān)系．[解答]解：由題意可得若p=f〔=ln〔=lnab=〔lna+lnb,q=f〔=ln〔≥ln〔=p,r=〔f〔a+f〔b=〔lna+lnb,∴p=r＜q,故選：B[點(diǎn)評(píng)]本題考查不等式與不等關(guān)系,涉及基本不等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題．14．〔2014?XX校級(jí)模擬某制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長方形薄板,如圖所示,長方形ABCD〔AB＞AD的周長為4米,沿AC折疊使B到B′位置,AB′交DC于P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能,則最節(jié)能時(shí)ADP的面積為〔A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2[分析]利用PA2=AD2+DP2,構(gòu)建函數(shù),可得y=2〔1﹣,1＜x＜2,表示出△ADP的面積,利用基本不等式,可求最值．[解答]解：設(shè)AB=x,DP=y,BC=2﹣x,PC=x﹣y．∵x＞2﹣x,∴1＜x＜2,∵△ADP≌△CB′P,∴PA=PC=x﹣y．由PA2=AD2+DP2,得〔x﹣y2=〔2﹣x2+y2?y=2〔1﹣,1＜x＜2,記△ADP的面積為S,則S=〔1﹣〔2﹣x=3﹣〔x+≤3﹣2,當(dāng)且僅當(dāng)x=∈〔1,2時(shí),S取得最大值．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力．試題以常見的圖形為載體,再現(xiàn)對(duì)基本不等式、導(dǎo)數(shù)等的考查．二．填空題〔共5小題15．〔2013?XX如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是①②③⑤〔寫出所有正確命題的編號(hào)．①當(dāng)0＜CQ＜時(shí),S為四邊形②當(dāng)CQ=時(shí),S為等腰梯形③當(dāng)CQ=時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=④當(dāng)＜CQ＜1時(shí),S為六邊形⑤當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為．[分析]由題意作出滿足條件的圖形,由線面位置關(guān)系找出截面可判斷選項(xiàng)的正誤．[解答]解：如圖當(dāng)CQ=時(shí),即Q為CC1中點(diǎn),此時(shí)可得PQ∥AD1,AP=QD1==,故可得截面APQD1為等腰梯形,故②正確；由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí),滿足0＜CQ＜,只需在DD1上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ,即可得截面為四邊形APQM,故①正確；③當(dāng)CQ=時(shí),如圖,延長DD1至N,使D1N=,連接AN交A1D1于S,連接NQ交C1D1于R,連接SR,可證AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2,故可得C1R=,故正確；④由③可知當(dāng)＜CQ＜1時(shí),只需點(diǎn)Q上移即可,此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS,顯然為五邊形,故錯(cuò)誤；⑤當(dāng)CQ=1時(shí),Q與C1重合,取A1D1的中點(diǎn)F,連接AF,可證PC1∥AF,且PC1=AF,可知截面為APC1F為菱形,故其面積為AC1?PF==,故正確．故答案為：①②③⑤．[點(diǎn)評(píng)]本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用,涉及正方體的截面問題,屬中檔題．16．〔2015秋?XX市校級(jí)期中已知x＞3,則+x的最小值為7．[分析]本題可以通過配湊法將原式化成積為定值的形式,再用基本不等式求出原式的最小值,即本題答案．[解答]解：∵x＞3,∴x﹣3＞0．∴+x=≥．當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取最值．故答案為：7．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了基本不等式,注意不等式使用的條件．本題難度適中,屬于中檔題．17．已知x＞1,則函數(shù)y=的最小值是8．[分析]利用換元法化簡函數(shù),根據(jù)基本不等式求出函數(shù)y=的最小值．[解答]解：∵x＞1,∴t=x﹣1＞0,∴y===t++2≥2+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=3,x=4時(shí),取等號(hào),∴函數(shù)y=的最小值是8．故答案為：8．[點(diǎn)評(píng)]本題考查求函數(shù)y=的最小值,考查基本不等式的運(yùn)用,正確變形是關(guān)鍵．18．〔2014?荊州一模已知x＞0,y＞0,且x+2y=xy,則log4〔x+2y的最小值是．[分析]根據(jù)基本不等式求出xy≥8,然后利用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算和對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行計(jì)算即可．[解答]解：∵x＞0,y＞0,且x+2y=xy,∴x+2y=xy,平方得〔xy2≥8xy,解得xy≥8,∴l(xiāng)og4〔x+2y=log4〔xy,故答案為：[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)的基本計(jì)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力．19．若a,b,x,y∈R,且a2+b2=3,x2+y2=1,則ax+by的最大值為．[分析]根據(jù)柯西不等式〔x1x2+y1y22≤〔x12+y12〔x22+y22,得到〔ax+by2≤〔a2+b2〔x2+y2,進(jìn)而求得ax+by的最大值．[解答]解：根據(jù)柯西不等式〔x1x2+y1y22≤〔x12+y12〔x22+y22,?〔ax+by2≤〔a2+b2〔x2+y2=3×1=3,當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào),所以,ax+by∈[﹣,],因此,ax+by的最大值為,故填：．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了柯西不等式在最值問題中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是利用了柯西不等式,屬于基礎(chǔ)題．三．解答題〔共7小題20．〔2009?XX一模如圖,A1A是圓柱的母線,AB是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn),A1A=AB=2．〔1求證：BC⊥平面A1AC；〔2求三棱錐A1﹣ABC的體積的最大值．[分析]〔1欲證BC⊥平面AA1C,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面AA1C內(nèi)兩相交直線垂直,而BC⊥AC,AA1⊥BC,AA1∩AC=A滿足定理?xiàng)l件；〔2設(shè)AC=x,在Rt△ABC中,求出BC,根據(jù)體積公式VA1﹣ABC=S△ABC?AA1表示成關(guān)于x的函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)求出其最大值．[解答]解：〔1證明：∵C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn),且AB是圓柱底面圓的直徑,∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴AA1⊥BC．∵AA1∩AC=A,AA1?平面AA1C,AC?平面AA1C,∴BC⊥平面AA1C．〔2設(shè)AC=x,在Rt△ABC中,BC==〔0＜x＜2,故VA1﹣ABC=S△ABC?AA1=??AC?BC?AA1=x〔0＜x＜2,即VA1﹣ABC=x==．∵0＜x＜2,0＜x2＜4,∴當(dāng)x2=2,即x=時(shí),三棱錐A1﹣ABC的體積最大,其最大值為[點(diǎn)評(píng)]本小題主要考查直線與平面垂直,以及棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,運(yùn)算能力和推理論證能力．21．設(shè)a＞0,b＞0,且a≠b,試比較aabb與abba的大?。甗分析]由題意可得=aa﹣b?bb﹣a=,當(dāng)a＞b＞0時(shí),可得aabb＞abba．當(dāng)b＞a＞0時(shí),同理可得aabb＞abba．綜上可得aabb與abba的大小關(guān)系．[解答]解：∵a＞0,b＞0,且a≠b,而且=aa﹣b?bb﹣a=,當(dāng)a＞b＞0時(shí),由＞1,a﹣b＞0,可得＞1,∴aabb＞abba．當(dāng)b＞a＞0時(shí),由0＜＜1,a﹣b＜0,可得＞1,∴aabb＞abba．綜上可得,aabb＞abba．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查用作商比較法比較兩個(gè)正實(shí)數(shù)的大小關(guān)系,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．22．設(shè)f〔x是不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),且1≤f〔﹣1≤2.2≤f〔1≤4求f〔2的取值范圍．[分析]設(shè)f〔x=ax2﹣bx,由題意推出,確定目標(biāo)函數(shù)f〔2=4a﹣2b經(jīng)過可行域的特殊點(diǎn),然后求出f〔2的范圍即可．[解答]解：設(shè)f〔x=ax2﹣bx,由題意可知,目標(biāo)函數(shù)f〔2=4a﹣2b作出可行域如圖,所以經(jīng)過M〔3,﹣1,N〔,分別為目標(biāo)函數(shù)f〔2=4a﹣2b的取值范圍,f〔2∈[7,14]．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,注意特殊點(diǎn)的選擇,屬于基礎(chǔ)題．23．已知α,β滿足,試求α+3β的取值范圍．[分析]該問題是已知不等關(guān)系求范圍的問題,可以用待定系數(shù)法來解決．[解答]解設(shè)α+3β=λ〔α+β+v〔α+2β=〔λ+vα+〔λ+2vβ．比較α、β的系數(shù),得,從而解出λ=﹣1,v=2．分別由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1,2≤2α+4β≤6,兩式相加,得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范圍是[1,7]．[點(diǎn)