2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期末復(fù)習(xí)3-壓軸提高（解析版）

2023—2024學(xué)年九年級(jí)(上)期末復(fù)習(xí)3【考點(diǎn)1幾何綜合問題】【例1】(2022市南，14)如圖，在長80米、寬60米的矩形草地上修建兩條互相垂直的小路，即MO//NP,【答案】146行四邊形面積公式即可小路的面積；注意要減去中間小正方形的面積.,即,同理可得,小路的面積為：故答案為：146.【變式1-1】(2022嶗山，14)如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,折疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G,連AEFG是菱形.其中正確的結(jié)論有【答案】①③④⑤為AE=AG,且AG=FG,AE=FE,則有AE=AG=FE=FG,則可判斷⑤正確.設(shè)AE=x,則EF=x,BE=√2x,:·且AD=DF,BE=20G,且AG=FG,AE=FE,∴四邊形AEFG是菱形，故⑤正確；故答案為：①③④⑤.【變式1-2】(2022膠州，14)如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DF的延長線與證得B為CH的中點(diǎn)，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求得BG長.【詳解】解：∵正方形ABCD,故答案為：10.【考點(diǎn)2幾何動(dòng)點(diǎn)】【例2】(2022市北，25)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=8cm,BC=6cm.直線PE從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s速度向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，并始終與BC平行，與AC交于點(diǎn)E.同時(shí)，點(diǎn)F從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<5).(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFCE是矩形?(2)設(shè)△PEF的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接BE,是否存在某一時(shí)刻t,使PF經(jīng)過BE的中點(diǎn)?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)不存在，理由見解析【分析】(1)根據(jù)PE//BC,得到△APE∽△ABC,利用相似比求出PE,AE,當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PFCE是矩形，列式計(jì)算即可；(3)當(dāng)PE=BF,PF經(jīng)過BE的中點(diǎn)，列式求解即可.【小問1詳解】解：∵∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,∵直線PE從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，,,,當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是矩形，時(shí)，四邊形PECF是矩形；【小問2詳解】【小問3詳解】不存在，理由如下：當(dāng)PE=BF時(shí)，四邊形PEFB為平行四邊形，此時(shí)PF經(jīng)過BE的中點(diǎn).解得t=0,不合題意，∴不存在某一時(shí)刻，使PF經(jīng)過BE的中點(diǎn).【變式2-1】(2022嶗山，25)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8,AD=10,AB和CD之間的距離是8,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒2個(gè)單位的速出發(fā)沿BC的方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE⊥AB,交線段AD于點(diǎn)E,若P,Q兩點(diǎn)(1)當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求t的值；(2)連接PQ,CE,設(shè)四邊形PECQ的面積為S,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時(shí)刻t,使得CE//QP?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F,過點(diǎn)Q作QG⊥AB交AB的延長線于G,S=S=ABCD-S△APE-S△PBQ∴∴(2)如圖2中，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F,過點(diǎn)Q作QG⊥AB交AB的延長--∴S=SABCD-S△APE-S△PBQ如圖3中，連接EC,PQ.化簡得52-41t+60=0,<t<8).(2)設(shè)四邊形PBQD的面積為S(cm2),寫出S與t的關(guān)系式；(2)過點(diǎn)Q作QH⊥AC于H,由∠A=60°,AP=tcm,PD⊥AC,得到∠APD=30°,得,由,【小問1詳解】【小問2詳解】過點(diǎn)Q作QH⊥AC于H,,,,,【小問3詳解】(舍去),【小問4詳解】∵aAPD≌CQH(AAS),∴△PDE≌QEH(AAS),【變式2-3】(2022三十九中，25)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=3cm,lcm/s;PQ/AC交BD于F,交AD于Q,連接PE,QB,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(O≤t≤3).求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；理由.,四邊形,,四邊形,交于點(diǎn)J,過E作EI⊥BQ于1,作EH⊥QJ于H,證明四邊形ACJQ為平【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】如圖，延長BC,QH交于點(diǎn)J,過E作EI⊥BQ于1,作EH⊥QJ于H,∴四邊形ACJQ為平行四邊形，∠J=∠ACB根據(jù)函數(shù)圖象可得：a≈2.71,【考點(diǎn)3材料探究題】【例3】(2022市南，23)數(shù)學(xué)上的對(duì)稱通常是指軸對(duì)稱、中心對(duì)稱，以及對(duì)稱的思想方法.某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行折紙活動(dòng)，來感受圖形中的對(duì)稱思想.如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折后展開，得到折痕HG;如圖2,將紙片再次折疊，使點(diǎn)A落在折痕HG上，記作點(diǎn)F;如圖3,連接AF,得到△ABF.CC(1)請(qǐng)判斷：△ABF是三角形；【問題提出】興趣小組成員想要進(jìn)一步找到正方形中最大的等邊三角形.【問題探究】如圖4,小穎認(rèn)為正方形中最大等邊三角形的頂點(diǎn)一定落在正方形的邊上，她將圖4的△PRQ沿AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合(如圖5),再將△PRB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使PR與對(duì)角線BD垂直，延長BR,BP分別交CD,AD于點(diǎn)E和F(如圖6),連接EF,便可得到如圖7的最大等邊△BEF.設(shè)正方形ABCD的邊長為2.(2)小麗利用對(duì)稱(2)小麗利用對(duì)稱,(3)若不知道15°角的三角函數(shù)值，請(qǐng)你換一種方法求BF的長.(4)如圖8,已知正六邊形中最大的等邊三角形邊長為4,則該正六邊形的邊長為(5)A?紙的長為29.7cm,寬為21cm,現(xiàn)要在A?紙中剪一個(gè)最大等邊三角形.請(qǐng)你在圖9中畫出示意圖(不需尺規(guī)作圖),并求該最大等邊三角形的邊長.【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可知：進(jìn)而得到∠AFB=60°,再利用等邊三角形的(2)根據(jù)余弦的定義得到進(jìn)而解得BF的值；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可解答；(4)畫出圖形，由銳角三角函數(shù)列出算式即可得到正六邊形的邊長；(5)畫出圖形，由銳角三角函數(shù)列出算式即可得到最大等邊三角形的邊長；【小問1詳解】又AB=BF,故答案為：等邊；【小問2詳解】解：如圖：,,即,【小問3詳解】解：如圖：∵△BEF關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴DE=DF,△DEF是等腰直角三角形，設(shè)DE=DF=x,則EF=√2x=BF=BE,AF=AD-DF在Rt?ABF中，AF2+AB2=BF2,解得x=2√3-2或x=-2√3-2(小于0,舍去),小問4詳解】【小問5詳解】Rt?RST中，,,通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用.【理解】(1)如圖1,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分別為C、D,E是AB的中點(diǎn)，連接CE.已知AD=a,BD=b(0①分別求線段CE、CD的長(用含a、b的代數(shù)式表示);②比較大?。篊ECD(填“<”、“=”或“>”),并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系.【應(yīng)用】的圖象上，橫坐標(biāo)分別為m、(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M、N的圖象上，橫坐標(biāo)分別為m、②通過歸納猜想，可得I的最小值是 .請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立.②根據(jù)垂線段最短，可得結(jié)論.(2)①根據(jù)m,n的值代入計(jì)算即可.②如圖2中，過點(diǎn)M作MA⊥x軸于A,ME⊥y軸于E,過點(diǎn)N作NB⊥x軸于B,NF⊥y軸于F,連接MN,取MN的中點(diǎn)J,過點(diǎn)J作JG⊥y軸于G,JC⊥x軸于C,則何意義，求解即可.【解答】解：(1)①如圖1中，,根據(jù)反比例函數(shù)k的幾②∵CD⊥AB,∴根據(jù)垂線段最短可知，CD<CE,故答案為：>.(2)①當(dāng)m=1,n=2②猜想：1的最小值為1.故答案為：1.理由：如圖2中，過點(diǎn)M作MA⊥x軸于A,ME⊥y軸于E,過點(diǎn)N圖2∵當(dāng)m≠n時(shí)，點(diǎn)J在反比例函數(shù)圖象的上方，∴矩形JCOG的面積>1,當(dāng)m=n時(shí)，點(diǎn)J落在反比例函數(shù)的圖象上，矩形JCOG的面積=1,∴矩形JCOG的面積≥1,∴1的最小值為1.【變式3-2】(2022膠州，19)《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征，在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”.定義：對(duì)于自然數(shù)n,在計(jì)算n+(n+1)+(n+2)時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”.例如：32是“純數(shù)”,因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位；23不是“純數(shù)”,因?yàn)橛?jì)算23+24+25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位.(1)判斷2022否是“純數(shù)”?請(qǐng)說明理由；(2)請(qǐng)直接寫出2023到2050之間的“純數(shù)”;不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)為【答案】(1)2022是純數(shù)，理由見解析(2)2030,2031,2032;13個(gè).(2)根據(jù)“純數(shù)”的概念，從2023到2050之間找出“純數(shù)”;根據(jù)“純數(shù)”的概念得到不大于100的數(shù)個(gè)位不超過2,十位不超過3時(shí)，才符合“純數(shù)”的定義解答.【小問1詳解】解：2022是“純數(shù)”,理由如下：∵在計(jì)算2022+2023+2024時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，【小問2詳解】在2023到2050之間的數(shù)，只有個(gè)位不超過2,十位不超過3時(shí)，才符合“純數(shù)”的定義所以所求“純數(shù)”為2030,2031,2032;不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)有13個(gè)，理由如下：因?yàn)閭€(gè)位不超過2,十位不超過3時(shí)，才符合“純數(shù)”的定義，所以不大于100的“純數(shù)”有：0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32,100.共13個(gè).【變式3-3】(2022三十九中，21)閱讀理解：即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果則(x)=n.如：<0)=<0.48)=0,<0.64)=<1.493)=1,<2)=2,<3.5>=<4.12>=0,…試解決下列問題：(1)(π)=(π為圓周率);(2)如果(2x-1)=3,則