七年級(jí)數(shù)學(xué)（第六章 實(shí)數(shù)）6.1 平方根、立方根（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

6.1平方根、立方根第六章實(shí)數(shù)第1課時(shí)

平方根逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平方根及性質(zhì)算術(shù)平方根算術(shù)平方根的估算知識(shí)點(diǎn)平方根及性質(zhì)知1－講感悟新知1定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根.這就是說，如果x2=a，那么x

叫做a的平方根.表示方法：非負(fù)數(shù)a

的平方根記為±

，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.知1－講感悟新知

知1－講感悟新知2.平方根的性質(zhì)：(1)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒有平方根.感悟新知知1－練求下列各數(shù)的平方根：(1)121；(2)2；(3)－(－4)3；(4)－9

.例1解題秘方：先根據(jù)平方運(yùn)算找出平方等于這個(gè)數(shù)的數(shù)，然后根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義確定.感悟新知知1－練解：(1)因?yàn)?±11)2=121，所以121的平方根是±11.(2)，因?yàn)樗?的平方根是±.感悟新知知1－練(3)－(－4)3=64，因?yàn)?±8)2=64，所以－(－4)3

的平方根是±8.(4)因?yàn)椋?<0，所以－9沒有平方根..

感悟新知知1－練感悟新知知1－練(1)一個(gè)正數(shù)的平方根是2a-1和a-5，則這個(gè)正數(shù)是多少？例2解：根據(jù)題意，得(2a－1)

+(a－5)

=0，解得a=2.所以這個(gè)正數(shù)為(2a－1)2=(2×2－1)

2=9.解題秘方：根據(jù)平方根的性質(zhì)，找出兩個(gè)平方根之間的關(guān)系列方程求值.感悟新知知1－練感悟新知知1－練(2)

已知2a－1與－a+2是m

的平方根，求m

的值.解：根據(jù)題意，分以下兩種情況：當(dāng)2a－1=－a+2時(shí)，a=1，所以m=(2a－1)

2=(2×1－1)

2=1；當(dāng)(2a－1)

+(

－a+2)

=0時(shí)，a=-1，所以m=(2a－1)

2=［2×(

－1)

－1］2=(－3)

2=9.故m

的值為1或9.解法提醒●正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，列方程先求出a，再根據(jù)平方根的定義求這個(gè)正數(shù)的值；●已知a，b是m

的平方根，則有a=b

或a+b=0.感悟新知知1－練感悟新知知1－練求下列各式中x

的值：(1)x2=361；

(2)81x2

－49=0；

(3)(3x

－1

)

2=

(

－5

)

2.例3

易錯(cuò)提示勿遺漏負(fù)的平方根：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，開平方時(shí)不要漏掉負(fù)的平方根.感悟新知知1－練感悟新知知1－練

感悟新知知1－練

思路點(diǎn)撥利用整體思想求解：將3x-1看成一個(gè)整體，利用整體思想求解.求出3x-1的值后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x

的一元一次方程，解方程即可.感悟新知知1－練方法總結(jié)：利用平方根的定義解方程的一般步驟1.移項(xiàng)，使含未知數(shù)的項(xiàng)在等號(hào)的一邊，常數(shù)項(xiàng)在等號(hào)的另一邊；2.系數(shù)化為1，將方程化為“x2=a(a

≥0)”的形式；3.根據(jù)平方根的定義求出未知數(shù)x

的值.感悟新知知1－練知識(shí)點(diǎn)算術(shù)平方根知2－講感悟新知21.定義正數(shù)a的正的平方根

叫做a的算術(shù)平方根.規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.表示方法：a

的算術(shù)平方根記為

，讀作“根號(hào)a”，a

叫做被開方數(shù).知2－講感悟新知特別解讀：(1)算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性①被開方數(shù)a

是非負(fù)數(shù)，即a≥0；②算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即

≥0.(2)算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有0和1.特別提醒●求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)正數(shù)的平方剛好是互逆的兩個(gè)運(yùn)算；●任何一個(gè)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以求算術(shù)平方根時(shí)，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根也一定是非負(fù)數(shù).知2－講感悟新知2.性質(zhì)：(1)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；(2)0的算術(shù)平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根；(4)被開方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.知2－講感悟新知3.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系：名稱關(guān)系算術(shù)平方根平方根區(qū)別定義不同一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a

的平方根，也叫做二次方根個(gè)數(shù)不同一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)表示方法不同知2－講感悟新知區(qū)別取值范

圍不同正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)正數(shù)的平方根是一正一負(fù)聯(lián)系具有包

含關(guān)系平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的

那個(gè)(0除外)存在條

件相同平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有，0的平方根

與算術(shù)平方根都是0知2－講感悟新知

知2－講感悟新知4.開平方求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方.感悟新知知2－練求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.(1)64；(2)2；(3)0.36；(4)52；(5)(－5)2；(6)0；(7)

；(8)7；(9)－16.例4解題秘方：先根據(jù)平方運(yùn)算找出平方等于這個(gè)數(shù)(0除外)的正數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出算術(shù)平方根.感悟新知知2－練知識(shí)儲(chǔ)備1.求帶分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根，先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求算術(shù)平方根；2.求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根必須明確兩點(diǎn)：(1)這個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)；(2)求出的算術(shù)平方根（結(jié)果）必須是非負(fù)數(shù).感悟新知知2－練解：(1)因?yàn)?2=64，所以64的算術(shù)平方根是8，即=8；(2)因?yàn)?/p>

，所以

的算術(shù)平方根是

，即(3)因?yàn)?.62=0.36，所以0.36的算術(shù)平方根是0.6，即=0.6；感悟新知知2－練(4)因?yàn)?2=52，所以52的算術(shù)平方根是5，即=5；(5)因?yàn)?2=(－5)2，所以(－5)2

的算術(shù)平方根是5，即=5；(6)0的算術(shù)平方根是0；(7)因?yàn)?9，9的算術(shù)平方根是3，所以的算術(shù)平方根是3；不要誤認(rèn)為是求81的算術(shù)平方根.感悟新知知2－練(8)7的算術(shù)平方根是

；(9)－16沒有算術(shù)平方根.特別提醒有的數(shù)開方開得盡，有的數(shù)開方開不盡，對(duì)于開方開不盡的數(shù)，算術(shù)平方根不能化簡(jiǎn).感悟新知知2－練已知a

的算術(shù)平方根是3，b

的算術(shù)平方根是4，求a+b

的算術(shù)平方根.解題秘方：根據(jù)算術(shù)平方根與被開方數(shù)的關(guān)系求出a，b

的值，然后求a+b

的算術(shù)平方根.例5感悟新知知2－練解：因?yàn)閍的算術(shù)平方根是3，所以a=32=9.因?yàn)閎

的算術(shù)平方根是4，所以b=42=16.所以a+b=9+16=25.因?yàn)?2=25，所以25的算術(shù)平方根是5，即a+b

的算術(shù)平方根是5.感悟新知知2－練方法點(diǎn)撥本題運(yùn)用了定義法.首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出a，b的值，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則求出a+b

的值，最后根據(jù)算術(shù)平方根的定義得出結(jié)果.感悟新知知2－練

例6解題秘方：首先觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，弄清式子所表示的意義，即要明確是求算術(shù)平方根還是求平方根，然后根據(jù)算術(shù)平方根或平方根的定義求解.感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

被開方數(shù)412-402是一個(gè)整體，先要計(jì)算出412-402的結(jié)果，再計(jì)算它的算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)算術(shù)平方根的估算知3－講感悟新知31.求一個(gè)正數(shù)(非平方數(shù))的算術(shù)平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點(diǎn)一點(diǎn)加強(qiáng)限制，使其所處范圍越來越小，從而達(dá)到理想的精確程度.知3－講感悟新知2.大多數(shù)計(jì)算器都有鍵，用它可以求出一個(gè)正有理數(shù)的算術(shù)平方根(或其近似值).按鍵順序：先按鍵，再輸入被開方數(shù)，最后按鍵.計(jì)算器上就會(huì)顯示這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根(或其近似值).知3－講感悟新知特別解讀1.求一個(gè)正數(shù)(非平方數(shù))的算術(shù)平方根的近似值，通常有三種方法：一是用計(jì)算器；二是查平方根表；三是估算.2.計(jì)算器上顯示的數(shù)值許多都是近似值.感悟新知知3－練已知a，b

為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且a<<b，則a+b=_______.解題秘方：本題運(yùn)用夾逼法來求整數(shù)a與b

的值.找出與7接近的兩個(gè)平方數(shù)(整數(shù))，確定7的算術(shù)平方根的范圍.5例7知3－練感悟新知解：因?yàn)閍，b

為連續(xù)整數(shù)，a<<b，而22<7<32，所以2<<3.所以a=2，b=3.所以a+b=5.感悟新知知3－練

例8解題秘方：(1)可用平方法比較大??；

(2)可用作差法比較大?。?/p>

(3)可用比較被開方數(shù)大小的方法比較大小.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

感悟新知知3－練

例9

知3－練感悟新知答案：(1)0.2676；267.6(2)0.08462；84.62(3)716解題秘方：利用計(jì)算器求出各個(gè)算術(shù)平方根，對(duì)照被開方數(shù)和算術(shù)平方根尋找小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律.解析：利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左(或向右)移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地向左(或向右)移動(dòng)一位.知3－練感悟新知規(guī)律點(diǎn)撥對(duì)于此類規(guī)律探究題，要從兩個(gè)方向進(jìn)行比較：第一，把被開方數(shù)進(jìn)行比較；第二，把它們的結(jié)果進(jìn)行比較.平方根平方根正數(shù)有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根0的平方根是0算術(shù)平方根性質(zhì)負(fù)數(shù)沒有平方根6.1平方根、立方根第六章實(shí)數(shù)第2課時(shí)立方根逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2立方根立方根的性質(zhì)用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根知識(shí)點(diǎn)立方根知1－講感悟新知11.定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a

的立方根，也叫做三次方根.這就是說，如果x3=a，那么x

叫做a

的立方根.表示方法：一個(gè)數(shù)a的立方根，用符號(hào)“”表示，讀作“三次根號(hào)a”，其中a

是被開方數(shù)，3是根指數(shù).知1－講感悟新知

2.開立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.特別解讀：立方根與開立方的關(guān)系：立方根是一個(gè)數(shù)，是開立方的結(jié)果；而開立方是求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算.知1－講感悟新知特別提醒立方根與平方根的區(qū)別1.被開方數(shù)：前者可為任何數(shù)，后者為非負(fù)數(shù)；2.根指數(shù)：前者不能省略，后者可省略不寫；3.個(gè)數(shù)：立方根只有一個(gè)，平方根有兩個(gè)(特殊情況：0的平方根只有一個(gè)，是0).感悟新知知1－練求下列各數(shù)的立方根：(1)－125；(2)2；(3)－1.例1解題秘方：根據(jù)立方根的定義用立方法求解.感悟新知知1－練解：(1)因?yàn)?－5)3=－125，所以－125的立方根是－5，即=－5.解法提醒如果被開方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)，一般先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后再求其立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根時(shí)要注意結(jié)果的正負(fù).感悟新知知1－練(3)因?yàn)?－1)3=－1，所以－1的立方根是－1，即=－1.感悟新知知1－練已知x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2

的算術(shù)平方根.解題秘方：一個(gè)數(shù)等于它平方根的平方，等于它立方根的立方.例2感悟新知知1－練解：因?yàn)閤－2的平方根是±2，所以x－2=4.所以x=6.因?yàn)?x+y+7的立方根是3，所以2x+y+7=27.把x=6代入解得y=8，所以x2+y2=62+82=100.所以x2+y2

的算術(shù)平方根為10.感悟新知知1－練方法點(diǎn)撥本題根據(jù)平方根中被開方數(shù)等于平方根的平方，立方根中被開方數(shù)等于立方根的立方這一關(guān)系，運(yùn)用方程思想列方程求出x，y的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出x2+y2

的算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)立方根的性質(zhì)知2－講感悟新知2性質(zhì)：(1)正數(shù)的立方根是正數(shù)；(2)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；(3)0的立方根是0；(4)=－；(5)()3=a.知2－講感悟新知特別提醒1.立方根是它本身的數(shù)只有0和±1.2.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù)，即.利用“”可以把求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根轉(zhuǎn)化為求一個(gè)正數(shù)的立方根的相反數(shù).3.知2－講感悟新知2.平方根與立方根的比較：知2－講感悟新知名稱關(guān)系平方根立方根區(qū)別定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a

的平方根一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a

的立方根性質(zhì)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)正數(shù)有一個(gè)立方根，仍為正數(shù)負(fù)數(shù)沒有平方根負(fù)數(shù)有一個(gè)立方根，仍為負(fù)數(shù)表示方法±(a≥0)(a

為任意數(shù))聯(lián)系①開平方與開立方都與相應(yīng)的乘方運(yùn)算互為逆運(yùn)算②0的平方根和立方根都是0感悟新知知2－練求下列各式的值：解題秘方：根據(jù)立方根和平方根的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.例3

知2－練感悟新知解法提醒做開平方或開立方運(yùn)算時(shí)，一般都是利用它們的定義，運(yùn)用平方法或立方法去掉根號(hào)；當(dāng)被開方數(shù)不是單獨(dú)一個(gè)數(shù)時(shí)，則需先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行開方運(yùn)算.感悟新知知2－練

感悟新知知2－練已知和互為相反數(shù)，且x≠0，y≠0，求的值.例4解題秘方：根據(jù)立方根互為相反數(shù)，則被開方數(shù)互為相反數(shù)，建立x與y之間的關(guān)系式求解.知2－講感悟新知解：因?yàn)楹突橄喾磾?shù)，所以3y－1和1－2x

互為相反數(shù)，即(3y－1)+(1－2x)=0.所以3y=2x.又因?yàn)閤

≠0，y≠0，所以.感悟新知知2－練知識(shí)儲(chǔ)備正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0，因此只有互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根才能互為相反數(shù)，即互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)

.知識(shí)點(diǎn)用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根知3－講感悟新知3用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根和求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平