海南省2022屆高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)業(yè)水平診斷一數(shù)學(xué)試題（解析版）

海南省2021—2022學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷一一數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

A1B.i

C.1+iD.1-i

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法法則對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)即可.

l+3i_(l+3i)(3+i)_10i

【詳解】解:

TT-(3-i)(3+i)-To

故選：B.

2.已知集合知=卜卜—，祖x—3)=01N=k|(x—3)(x—1)<0］若MflNH。，則實(shí)數(shù)m的取值

范圍為()

A.(l,+oo)B.(-oo,3)

C.(1,3)D.(-oo,l)u(3,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)加分兩種情況討論，化簡(jiǎn)集合〃，解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合N,再根據(jù)交集的結(jié)果，即可得

到答案：

【詳解】N={x[l<x<3},

當(dāng)加=3時(shí)，M={3},?.?MpINr。，...加=3不成立;

當(dāng)加。3時(shí)，M={m,3},?：M,

故選：C.

2-0,

3.已知函數(shù)/(x)=<1一—>0,若/2"則x=)

4

A.7B.-2C.2D.7或-2

【答案】D

【解析】

3X3

【分析】由函數(shù)解析式，分XW。時(shí)，2-1=--時(shí)'>廠一屋分別求解即可得選項(xiàng).

2'-l,x<0,

3

【詳解】解：因?yàn)椤?<x/(x)=_j,所以

4

3

當(dāng)xWO時(shí)，2V-1=一一，解得x=—2,滿足xWO,故x=—2時(shí)不等式成立;

4

X3

當(dāng)無>0時(shí)，1一一=一一，解得x=7,滿足x>0,故x=7時(shí)不等式成立；

44

故選：D.

4.在等比數(shù)列｛%｝中，%，的是方程/一61+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則％=（）

A.-1B.1C,-3D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由韋達(dá)定理可知小,%=1，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出生.

【詳解】解:等比數(shù)列｛%｝中,由題意知：%+%=6,%，“7=1，

所以&3>0,。7>°，所以。5>0且G=&3，。7=1，即。5=1.

故選：B.

2

5.已知函數(shù)〃x)=2/'⑶x-.f+inx(/'(X)是的導(dǎo)函數(shù))，則/(1)=()

2011716

A.-----B.-----C.-D.—

9999

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出:⑶=2,再令x=l代入解析式，即可得到答案;

【詳解】??./'(x)=2/(3)-,x+工，二/'(3)=2f(3)_g+:=/'(3)=l,

9x33

2216

二./(x)=2x—x9+Inx,f(1)=2——,

故選：D.

1—9'

6.函數(shù)/(%)=的部分圖象大致為()

【答案】A

【解析】

【分析】先利用奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由/(1)<()函數(shù)值的符號(hào)判斷排除可得選項(xiàng).

]_9T9v_i

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且/(―)=3=(卷]]=3*(/+1)=_/(力,

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，故排除C、D,

1-94

又/⑴=3「+1)=_§<0,故排除B選項(xiàng).

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=log2|x-l|,若匕<c<0，l<a<2,則()

A./(/?)>/(c)>/(?)B.f(b)>f(a)>f(c)

C./(?)>/(^)>/(c)D,f(c)>f(a)>f(b)

【答案】A

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】作出函數(shù)/(x)=log2|x-l|，的圖象如圖所示:

則/(x)=log2|x-l|的單調(diào)遞增區(qū)間為：(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為：(一8,1).

,.Tvav2,0<a—1<1,

/(?)=log2|?-1|=log2(6Z-1)<0.

*/h<c<0/.>-c>0,1-Z?>1-c>1

/.log2(1-/?)>log2(l-c)>0.

f(b)=log2|Z?-l|=log2(l-Z?),/(c)=log2|c-l|=log2(l-c),

/(c)>/(?).

故選：A

即將10個(gè)人的咽拭子樣本放入同一個(gè)采集

管中進(jìn)行檢測(cè)，最后不滿10人的，如果人數(shù)小于5,就將他們的樣本混到前一個(gè)采集管中，否則再使用一

個(gè)新的采集管.則各采樣點(diǎn)使用的采集管個(gè)數(shù)y與到該采樣點(diǎn)采樣的人數(shù)x(x>10)之間的函數(shù)關(guān)系式為

)(國(guó)表示不大于x的最大整數(shù))

xx+4

A.y=一B.>=

1010

x+5x+6

C.y=-D.y=

"io10

【答案】c

【解析】

v4-5X

【分析】由X能被10整除或x除以10的余數(shù)為1,2,3,4可得［丁］=［而］,由x除以10的余數(shù)為5,

x+5x

6,7,8,9可得[可]=[m]+1,即可得出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)x能被10整除或x除以10的余數(shù)為1,2,3,4時(shí)，

Y4-5X

[三]=[歷],即不需要再使用新的采集管；

當(dāng)X除以10的余數(shù)為5,6,7,8,9時(shí)，

[y―4-^5]=[X—]+1,即需要再使用一個(gè)新的采集管；

故選：c

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在菱形A8CQ中，E是4B邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是A。邊的中點(diǎn)，則()

AE//CDAF//CD

C.EF-AC^OD.EF.BD=0

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意和菱形的性質(zhì)可得AB//CD、ADcCD=D、ACYBD.EF//BD,依次判斷選項(xiàng)

即可.

【詳解】在菱形ABC。中AB//CD,即AE//CD,所以程//麗，

又ADcCD=。，所以而與函不共線，故A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)镋、尸分別是A8、AO的中點(diǎn)，所以EF//BD,

又AC_L8L>,所以EE_LAC,所以麗.A6=0,麗萬w0，故C正確，D錯(cuò)誤.

10.已知等差數(shù)列|為|的前〃項(xiàng)和為S,，若S”=氣生，則()

A.S”=0B.。6=°

D.S7=S

c.s$=S56

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得4+。“=0,進(jìn)而可得Su=4=0,

利用S“=Sn_,+an計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C、D.

【詳解】由題意知，5“=幺警，得3(4+4，=%愛，

即￡(4+4]1)=3(6+4]),解得4+即=0,所以S|I=0,故A正確；

S”=%；%=4=0,故B正確；

S6=S5+a6=S5+0=S5,故C正確；

s7=56+?7,當(dāng)為HO時(shí)，S7=$6不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

11.將函數(shù)丫=$山*圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的,，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移二個(gè)單

424

位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=/(x)的圖象，貝iJ()

B.y=/(x)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為?

C./(x)在上單調(diào)遞減

jr1

D./(x)在0,-上的值域?yàn)橐蝗f』

【答案】BD

【解析】

【分析】由圖象的平移和伸縮得出函數(shù)/(x)的解析式，對(duì)于A,代入計(jì)算可判斷；對(duì)于B,求得函數(shù)/(x)

71

的最小正周期，可得相鄰兩條對(duì)稱軸間距離；對(duì)于C,由已知得根據(jù)正弦函數(shù)的單

6

JI717/r

調(diào)性可判斷；對(duì)于D,由已知得4X+：G—,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷.

6|_66,

【詳解】解：由已知得/(x)=sin4x+—I=sinl4x+—,所以/(x)=sin[4x+%

r(,(a7t7ry.571,一

對(duì)于A,/—=sin4x—+—=Sin—=-,故A不正確;

J\66y62

對(duì)于B,〃x)=sin的最小正周期T=^=1,所以y=/(x)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間距離

TT

為丁故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)遞增，所以

故C不正確;

冗,九g74.所以sin(4x+不)G--,1

對(duì)于D,當(dāng)XG0,—時(shí),4x+—€—，—故D正確,

4666

故選：BD.

12.已知函數(shù)/(》)=%+%2-Inx,則()

A.“X)在(0,；)上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增

B.“X)有2個(gè)不同的零點(diǎn)

C.若a,^e(0,+oo),貝ij/(a)+/(/?)?

D.若/(a)=/(b)且a[b,則a+/?〉l

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式，利用零點(diǎn)存在性定理，利用作差法比較大小，利用極值點(diǎn)偏移,

即可得到答案；

【詳解】對(duì)A,,//(x)=l+2x——(x>0),

x

./*,/\n1c1八2x24-X—1(2x—1)(x4-1)

??/(x)>0=>1+2x——>0=>--------->0=>------------>0,

XXX

/.x>—,當(dāng)fr(x)<0=>0<x<—,

22

在上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增，故A正確；

對(duì)B,v/(1)=1+^--ln|>0,/U)min>0,故B錯(cuò)誤；

r/,、2

//。+久2177217c。+人\a+b\1a+b

對(duì)C,/(tz)+/(/?)—/(---)=Q+Q2—inQ+/7+〃z-1口力一2------F-----In----

222)2

o,2，a+b\(a+b\(。-b)?.,.(a-\-b\

=a+b~-2-----\nah+\n\----=--------Inah+\n\----

<2J\2J2\2J

=+miz。'故0錯(cuò)誤；

2ah2

對(duì)D,不妨設(shè)b>—,要證v/?,

22

設(shè)y=/(I--f(h)=f(l-a)-f(a)

/.y=—f——f(a)=—1+2(1—6z)-----1+2Q-2=-1—2(1-a)-\——---1—2tz+—

_1一〃」1_4」1一〃Q

=-4+1—>0,

(1—a)?a

‘函數(shù)(0，g)單調(diào)遞增，且y(g)=/(；)—/(g)=o，

r.y<0恒成立，，/(l-a)</S),

,/1-a,be(—,+oo),且/(x)在(L+oo)單調(diào)遞增,

22

-e?\-a<h^>a+b>\,故D正確;

故選：AD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知兩個(gè)單位向量3,B滿足=內(nèi)，則向量￡,B的夾角為

27r

【答案】y##120°

【解析】

【分析】首先根據(jù)平面向量的運(yùn)算律求出￡4,再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；

【詳解】解：由單位向量公，B滿足,￡+囚=萬，得k1+62=]3,所以]6/+8￡%+石2=]3，￡出=_；,

a-b1

H二M?

又a，b)e[0,7t],所以=g.

故答案為：y

14.己知cos±cosx+sin2S抽主=也，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的x=.

121262

【答案】2

【解析】

77r7T

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得sin丁=-sin二，結(jié)合兩角和的余弦公式即可得出結(jié)果.

66

■、Ji/,ATJwI日而?.7C.7T.77C7C.TC,7T12

【訐解】由迦思知，cos—cosx4-sin—sin—=cos—cosx—sin—sin—=—，

12126121262

71.7171.7171.71.71

-cos—=cos(----b—)=cos—cos----sin—sin—

44126126126

所以x可以為

6

故答案為：7

O

15.己知x,y,z為正實(shí)數(shù)，且x+2y-4z=0,則?的最大值為

Z

【答案】2

【解析】

分析】由已知得Z=H型，再根據(jù)基本不等式求得Z2N?,由此可得最大值.

42

【詳解】解：因?yàn)閤+2y—4z=0,所以z=H型，

4

又x,y,z為正實(shí)數(shù)，所以x+2yN2jx-2y,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，

所以z=之避五，即z2z0,所以?42,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào).

422z-

所以考的最大值為2,

Z

故答案為：2.

16.在等差數(shù)列|%|中，4=-5,4與％互為相反數(shù)，S“為|qj的前“項(xiàng)和，Tn=nS?,則7；的最小值

是.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)條件求出4=-6,d=l,對(duì)〃進(jìn)行分類討論求出S“，求出7；的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)

數(shù)研究函數(shù)的最值，即可得到答案；

【詳解】???。6+%=0,4=一5,

2〃]+12d=0,

二〈解得：4=-6,d=1,

a1+d=—5,

/.an=-6+（n-1）=n-7,

?z/?n〃7,4,0^>1<n<7,

.,.當(dāng)時(shí)，

o、〃?（-6+〃-7）n（n—13）

S“=-3+/+???+?！埃?-一——-=-2，

當(dāng)〃28時(shí)，

。廣同+同+…+同=2$+（4+&+…+4）=42+””型,

〃2（〃-13）

二當(dāng)時(shí)，Tn=nSn=

以加7跖/一1312.3x2-26x

考察函數(shù)>=------——，y=--------——

x3-13x2

當(dāng)時(shí)，y>0,y=在口7]單調(diào)遞增,

2

二當(dāng)1W〃W7時(shí)，7；=6為最小值；

當(dāng)〃之8時(shí)，TM=〃S,=42“+”⑶,

""2

士為p貼“CX3-13X23x2-26x

考察函數(shù)y=42x+----——，y=42+-------,

當(dāng)x28時(shí)，y〉0；二函數(shù)在［8,+oo)單調(diào)遞增，

二當(dāng)〃=8時(shí)，4=176為最小值；

綜上所述：，的最小值是6；

故答案為：6

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知以帖245皿。=2$111/1$1113,c-2b.

(1)求4；

(2)若AABC的面積為2夜，求標(biāo)的值.

【答案】(1)A=-

4

⑵20-872

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理與。=2匕求出tanA=l,進(jìn)而得到4=：7T；(2)結(jié)合第一問求出的4=7：T和。=2匕，

44

△ABC的面積，得到h=2,c=4,再用余弦定理求出a?.

【小問1詳解】

因?yàn)椋迹?5245訪。=251114$訪8,由正弦定理得：c-cosA=2Z?sinA,所以tanA=f~,因?yàn)閏=?,所

2b

以tanA=l,因?yàn)锳e(O,兀)，所以4=:;

【小問2詳解】

△ABC的面積為,bcsinA=^bc，因?yàn)閏=2h,AABC的面積為2后，所以紅b?=2五,解得：。=2,

242

故c=2Z?=4,所以/=/?2+c?-2/?ccosA=4+16-2x2x4x^^=20-8^2

2

18.奧運(yùn)會(huì)個(gè)人射箭比賽中，每名選手一局需要射3箭，某選手前三局的環(huán)數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:

環(huán)數(shù)

第1局10107

第2局899

第3局10810

（1）求該選手這9箭射中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；

（2）若以該選手前9箭射中不同環(huán)數(shù)的頻率代替他每一箭射中相應(yīng)環(huán)數(shù)的概率，且每一次射箭互不影

響，求他第4局的總環(huán)數(shù)不低于29的概率.

【答案】⑴平均數(shù)為9,方差為&

160

（2）---.

729

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式計(jì)算即可；

（2）該選手第4局的總環(huán)數(shù)不低于29,包含“1個(gè)9環(huán)，2個(gè)10環(huán)“和“3個(gè)10環(huán)”兩種情況，射中9環(huán)的

24

概率為射中10環(huán)的概率為計(jì)算即可求得概率.

【小問1詳解】

平均數(shù)為5（10+10+7+8+9+9+10+8+10）=9,

方差為，[F+「+（一2>+（一i）2+0*0+[2+（一[）2+-]=12

99

【小問2詳解】

該選手第4局的總環(huán)數(shù)不低于29,包含"1個(gè)9環(huán)，2個(gè)10環(huán)”和“3個(gè)10環(huán)”兩種情況，

24

由表中數(shù)據(jù)可知，該選手每一箭射中9環(huán)的概率為射中10環(huán)的概率為

4\31

所以所求的概率為P=Cx￡x（1）+|

-60一

9-7-

729

19.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S"，且q=4,S「4=84.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)%=2”數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為T“，若3S?+，=44+4M，求正整數(shù)%的值.

【答案】（1）凡=4".

（2）k=3.

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公比q,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可求得答案；

（2）由（1）得S.,2=2〃.，從而求得卻代入方程中求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)數(shù)列｛%｝的公比“，由5廣4=84得4+/+。3=84,又q=4,所以4+4q+4/=84,解得

q=-5（舍去）或夕=4.

所以a“=4x4"T=4",所以4=4"；

【小問2詳解】

解：由⑴得S“=4（4"_l）=g（4"_l）,又。"=4"=22"=2"，所以a=2〃.，所以

"4-13

(2+2〃)〃

〃2

由31+4=46+4中得4（4*一1）+左2+左=4*+1+2伏+1）,整理得X—左一6=0,解得左=一2（舍

去）或攵=3.

所以攵=3.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCO是矩形，AD，平面C。P,PD=CD,DE=PE，且

NPCD=30°.

（1）求證：平面AOE_L平面A8C￡＞；

（2）若C0=3,AD=2,求直線PB與平面A。尸所成角的正弦值.

【答案】（1）證明過程見解析

3回

（2）

62

【解析】

【分析】（1）先證明線線垂直，從而證明線面垂直，再證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向

量求解線面角.

【小問1詳解】

因?yàn)锳D_L平面CDP,￡>Eu平面CDP,所以ADLDE,因?yàn)镻D=CD，且NPCD=30°,所以

NCP￡>=30°,/CDP=120。，因?yàn)镈E=PE,所以NPDE=NCPD=30°,NEDC=120°-30°=90°,

所以r>￡J_C￡）,因?yàn)锳￡>DC￡>=。，所以QE,平面ABC。，因?yàn)??！陁平面ABCQ,所以平面A*_L

平面ABCD

【小問2詳解】

因?yàn)榈酌鍭5C。是矩形，所以AO_LCD,由第一問可知：DE^CD,OE_L平面ABC。，ADu平面ABC。,

所以所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE,DC,D4所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

（3出3、

系，因?yàn)镃D=3,AD=2,所以。（0,0,0）,P-^--,0,B（0,3,2）,A（0,0,2）,DA=（0,0,2）,

設(shè)平面ADP的法向量”=（x,y,z）,則

DA?無=2z=0

解得：令得：所以（）設(shè)直線與平面

訴六￥》一（二0z=0,x=ly=63=1,6,0,PB

r22i

21.已知橢圓C：*+力=1（。＞力＞0）的離心率為5，左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,過點(diǎn)尸（0,3）的動(dòng)

直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，且當(dāng)動(dòng)直線/與y軸重合時(shí)，四邊形A耳85的面積為2百.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若AAB耳與AAB與的面積之比為2:1,求直線/的方程.

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【答案】（1）土+匕=1

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（2）x+y-3=0或9x+y-3=0.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率和直線/與y軸重合時(shí)四邊形A耳8后的面積列出方程，結(jié)合/=〃+。2,得至

a=2,b=6進(jìn)而求出橢圓方程；（2）根據(jù)AA5耳與AABE的面積之比為2:1,轉(zhuǎn)化為線段的比值，

分為兩種情況，進(jìn)而求出直線/的方程.

【小問1詳解】

如圖，四邊形4耳8鳥的面積為耳6-04=2「8=26，又因?yàn)椋?3，/=62+。2,解得：。=2"=6,

V2V2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+乙