湖南省2022年高考數(shù)學(xué)考前押題試卷（含答案）

掰南南本考救學(xué)考瑞抻殿欽桌

一、單選題(共60分)

1.已矢口tan(a+匹)=3,則cos2a=()

4

A--B-C-D-

5553

2.已知數(shù)列{4}滿足：4=%=1,%+2=4+4+](〃6乂)，現(xiàn)從數(shù)列{%}

的前2020項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則該項(xiàng)不能被3整除的概率是()

A』B-C—D—

A.彳B.3C.34

3.設(shè)復(fù)數(shù)2=嚴(yán)》一匕i,貝|J|z|=()

I

A.V5B.x/3C.2D.1

4.已知全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={0,l,2},集合B={-2,-l,0,l},則

集合&A)DB=()

A.{0,1}B.{-2,2}C.{-2,-1}D.{-2,0,2}

5.已知平面向量G,b的夾角為60。，酹1=2,a\a-2b)=-l,則忖=()

53

A.-B.-C.1D.2

22

6.某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為22,則攵可

取的最小正整數(shù)為()

n=1,SS1

S=2S

n=n(n+l)

//

CM)

A.41B.6C.7D.42

7.瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)任一凸多面體(即多面體內(nèi)任意

兩點(diǎn)的連線都被完全包含在該多面體中，直觀上講是指沒(méi)有凹陷或孔

洞的多面體)的頂點(diǎn)數(shù)V.棱數(shù)E及面數(shù)/滿足等式「￡+尸=2,這

個(gè)等式稱為歐拉多面體公式，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最漂亮、簡(jiǎn)潔的公式

之一，現(xiàn)實(shí)生活中存在很多奇妙的幾何體，現(xiàn)代足球的外觀即取自一

種不完全正多面體，它是由根塊黑色正五邊形面料和32-加塊白色正

六邊形面料構(gòu)成的.則團(tuán)=()

A.20B.18C.14D.12

x2+l,x>0

8.設(shè)函數(shù)“元）=1、3,.?八，。=/（0.7與，人=/（0.8?。?

-%-——x+2x+l,x<0'''，

132

c=/(log075),則。，b,c的大小關(guān)系是()

A.h>c>aB.a>c>hC.c>a>hD.a>b>c

9.已知底面半徑為3的圓錐SO的體積為12萬(wàn).若球。?在圓錐SO內(nèi),

則球。的表面積的最大值為()

.c94-324_

A.9/B.--C.D.12乃

23

10.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-AgCQ中，E為42的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

A.C.E的截面與平面8。。內(nèi)的交線為相，則異面直線機(jī)與CG所成

角的正切值為（）

A.0B.逑C.也D.巫

424

11.已知a、b、c分別是cABC內(nèi)角AC、C的對(duì)邊,sinA+sinB=3sinC,

acosB+bcosA=2,則△43C面積的最大值是（）

A.2B.2V2C.3D.2月

12.若不等式2尤+2alnx—2+膽20對(duì)于任意xe[l,+8）恒成立，貝|J。的

X

取值范圍是（）

3

A.[0,+8）B.[--,+℃）C.（0,+⑼D.[-1,+<?）

二、填空題（共20分）

13.記等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為%若*則舁.

V

06a2

14.已知函數(shù)/（x）=，+ox）lnx的一個(gè)極值點(diǎn)為1,則函數(shù)）=/（x）的

最小值為.

jr

15.如圖，在AABC中，AB=BC^l,ZABD=—,tanNCBD=7,則8D=

D

B

22

16.過(guò)雙曲線r：=-*=1(。＞0)的右焦點(diǎn)尸作斜率為人的直線交雙曲

線的右支于M.N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交工軸于點(diǎn)P,則篇=

三、解答題(共70分)

17.橋牌是一種高雅、文明、競(jìng)技性很強(qiáng)的智力性游戲.近年來(lái)，在

中國(guó)橋牌協(xié)會(huì)“橋牌進(jìn)校園”活動(dòng)的號(hào)召下，全國(guó)各地中小學(xué)紛紛積極

加入到青少年橋牌推廣的大營(yíng)中.為了了解學(xué)生對(duì)橋牌這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的興

趣，某校從高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生

與女生的人數(shù)之比為2：3,男生中有50人對(duì)橋牌有興趣，女生中有

20人對(duì)橋牌不感興趣.

(1)完成2x2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為“該校高一學(xué)生

對(duì)橋牌是否感興趣與性別有關(guān)”？

感興趣不感興趣合計(jì)

男50——

女—20—

合計(jì)——200

(2)從被調(diào)查的對(duì)橋牌有興趣的學(xué)生中利用分層抽樣抽取6名學(xué)生,

再?gòu)?名學(xué)生中抽取2名學(xué)生作為橋牌搭檔參加雙人賽.求抽到一名

男生與一名女生的概率.

n(ad-bcf

附:參考公式長(zhǎng)2其中〃=Q+/7+C+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(h+d)

臨界值表:

2

P(K>KO)0.1500.1000.0500.0250.010

K。2.0722.7063.8415.0246.635

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.=2a,-3〃(〃eN*).等差數(shù)列也｝的前〃

項(xiàng)和為G”,且Go=90,b,+b4=6.

(1)求｛%｝、也｝的通項(xiàng)公式；

%+3〃為奇數(shù)

(2)設(shè)q,=3'，求數(shù)列匕｝的前2"項(xiàng)和耳.

一,〃為偶數(shù)

19.已知直三棱柱ABC-A4G中，NBAC=90。，且AB=AC=A41,點(diǎn)。，

E,尸分別為Aq,CC、,8C中點(diǎn).

(1)求證：DF〃平面ACGA；

(2)若AB=2,求三棱錐E-ADb的體積

20.已知點(diǎn)C(2夜,1)在拋物線f=2py上，過(guò)點(diǎn)M((),4)的直線與拋物線

交于A,8兩點(diǎn)，又過(guò)A,8兩點(diǎn)分作拋物線的切線，兩條切線交于

P點(diǎn).記直線弘、的斜率分別為勺和右.

(1)求1?卷的值;

(2)PE^PA+PB,PB=^PG,求四邊形朋EG面積的最小值.

21.已知/(x)=(x-l)cosx+^x3-1-x2-x+1

(1)求“x)NO的解集;

(2)求證，x2lnx+cosx>^.

x=a+—1t

2

22.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為r-(t

為參數(shù)，awR).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、刀軸的非負(fù)半軸為極軸的極

坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=*

cos2,+2

(1)若點(diǎn)A(I,G)在直線/上，求線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直

角坐標(biāo)方程；

(2)已知“<o,點(diǎn)尸在直線/上，點(diǎn)。在曲線。上，且『0的最小

值為如，求Q的值.

2

23.已知函數(shù)/(x)=|x+l|+|2x-l|,A為不等式〃x)<3的解集.

(1)求集合4

1117

(2)已知/(X)min=根，若“、b、。為正實(shí)數(shù)，且一+不~+丁=三〃?，求

a2b3c3

a2bc、，

證:—+——+->1

993

答案

1.B2.D3.D4.C5.A

6.C7.D8.D.9.A10.D

II.B12.B13.1614.015.—16.1

3

17.

【詳解】

(1)因?yàn)槌槿×?00名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生與女生的人數(shù)之比為2：3,

則男生80人，女生120人，

又因?yàn)槟猩杏?0人對(duì)橋牌有興趣，

所以不感興趣的有30人，

又因?yàn)榕杏?0人對(duì)橋牌不感興趣，

所以感興趣的有100人，

將數(shù)據(jù)填入表格里

感興趣不感興趣合計(jì)

男503080

女10020120

合計(jì)15050200

*日由事故將坦廣200(50x20-100x30)2100,,,,,<

根據(jù)表格數(shù)據(jù)：k-=——------------------—=——?11.111>6.635；

80x120x150x509

故有99%的把握認(rèn)為對(duì)“橋牌是否感興趣與性別有關(guān)”.

(2)因?yàn)榉謱映闃映槿?名學(xué)生，男生與女生的人數(shù)之比為2：3,

所以男生抽2人，女生抽4人，

男生分別記為a,b,女生分別記為C,D,E,F.

可知所有的可能情況為：

(a,b),(a,C),(?,D),(a,E),(a,F),(b,C),("D),(b,E),(b,F),(C,D),

(C,E),(C,F),(D,E),(E,F),共15種,

其中一名男生與一名女生的結(jié)果有：(a,C),(a,。)，(a,E),(a,F),(伍C),他,￡>),

(b,E),(瓦尸)共8種.

Q

故所求的概率為°=宙.

18.【詳解】

(1)由題意知，當(dāng)〃N2時(shí)，由S“=2a“-3〃(〃eN),

得S.T=2QT-3(〃-1)，

兩式相減，得勺=2?！癬1+3,

Cl..4~3小

a"+3=2(a“_1+3),即------=2

an-\+J

當(dāng)〃=1時(shí)，S[=q=26-3,得q=3,

當(dāng)”=2時(shí)，52=q+%=24-6,得4=9,

a,+3

所以=2,

q+3

所以數(shù)列｛4+3｝是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以a.+3=62i,%=62"-3=32-3,

又：也｝為等差數(shù)列，Go=90,4+4=6,

10優(yōu)+451=90

所以<，解得，d=2々二0,

2仿+31=6

，數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為bn=2n-2.

,,3,”為奇數(shù)12",〃為奇數(shù)

⑵由⑴知，%=3=

為偶數(shù)12〃-2,〃為偶數(shù)

??T2n=+。2+。3+。4+…+-1+，

=21+2+23+6+..?+22”“+(4〃-2),

=(2*+2,+...+2?"?)+[2+6+...+(4/z—2)],

22

2-2"~'-2+?-[2+(4?-2)]

19.【詳解】

(1)如圖所示:

連接AB,A,C,在直三棱柱ABC—AB|G中，

側(cè)面48片A是平行四邊形，”

???平行四邊形對(duì)角線互相平分，。是AB1中點(diǎn)，

是中點(diǎn)，

又尸是BC中點(diǎn)，DF//AC，

：DFZ平面AC￡4,4。＜=平面區(qū)。。[4，

/?DF//平面ACCfA^.

(2)△ABC為等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,

；產(chǎn)是BC中點(diǎn)，

直三棱柱ABC一4與￡中，8月，平面ABC,AEu平面ABC,

BB]±AF,?:BCnBB1=B,

4尸_1平面8。。4，

???￡Fu平面BCCf-

；?AFLEF.

又,/BF=+BF2=V6，

EF^y/EC2+CF2BiE=y/BC+CF=3,

BF+EF?=BE,

BF工EF.

又=

???律，平面4AF.

???砂J_平面4。凡

=

,,^E-ADF-EF-S、ADF，

又EF=M，S.ADF=；SiF=gAF.BF=W'

?1/_1R且一_L

**^E-ADF~3732—2?

A

20.(1)&乂=-2(2)SPAEC=96/2

【詳解】

(1)由題意設(shè)/的方程為丁=履+4,

因?yàn)辄c(diǎn)C(2加,1)在拋物線f=2py上，

。=4,

拋物線的方程為V=8〉.

y=kx+4

聯(lián)立《，，得x-8收-32=0.

/=8y

A=(—8Z)2—4X(—32)>0,

設(shè)，則%々=一32.

設(shè)直線以，P8的斜率分別為左，右,

2

對(duì)y=上求導(dǎo)得y=—,

8'4

從PB>2444x416

（2）如圖所示:

2

直線尸8的方程為,一半=亍。一々），②

聯(lián)立①②，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（北土2,3）,

28

由（1）得％+x2=8%,尤1%2=-32,

.??尸（4左,一4）,

于是|A31=y/\+k2k一*21=a+12］（內(nèi)+々）2_41.工2=8V1+FVF+2，

4（+2）

點(diǎn)P到直線A8的距離d=f,

V1+F

I_____3

???S.PAB=~\^B\d=I642+2優(yōu)2+2）=16（公+2戶,

一48%

一不~Z

yJk2+2

當(dāng)k<0時(shí)，S〉A(chǔ)8<°，當(dāng)攵>0時(shí)，S'^PAB>0,

所以％=0時(shí)，的面積取得最小值32血.

又屋=肉+而，PB=^PG,

：.AE//-PG,且AE=」PG

22

所以A8GE是平行四邊形，

所以SPAEG=3sdp觸=96.

21.(1){x|x=0或xNl}(2)見(jiàn)解析.

【詳解】

1,1,

(1)?:于(X)=(X—1)COSX4--X---X—X+1

1

=(x-l)cosx+—x29(x-l)-(x-1)

(1、

(x-1),cosx+—x~~1

令g(x)=COSX+—X2-l

則g'(x)=—sinx+x,g"(x)=1—cos%.

由于g”(x)20恒成立

g'(x)=-sinx+x在R上遞增.

又g'(0)=0,.?.當(dāng)x〉0時(shí)，g'(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0.

故g(x)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增.

???g(x)而n=g⑼=0，即g(x)20在R上恒成立.

故〃x)zo的解集是{x|x=0或X21}.

cosx>l-ix2,

(2)由(1)知當(dāng)了＞0時(shí)

2

所以要證Ylnx+cosx〉,，只需證Jinx+>1,

222

只需證：ZVlnx+l—f20，只需證：21nxH—r—10.

x

令〃(x)=21nx+4-1,

廠

則如),一=2-吁+1)

XXX

令〃'(x)>0,則％>1,令/?'(%)<0,則0<x<l,

故Mx)在(0,1)上遞減，在(1,4W)上遞增.

???=%⑴=0，即h(x)>0在(0,+oo)上恒成立

故命題得證.

2

22.(1)直線/的直角坐標(biāo)方程瓜+y-26=0曲線C的直角坐標(biāo)方程犬+1_=1(2)

a——V2

【詳解】

1

x=a+—t

(1)因?yàn)橹本€/的參數(shù)方程為(2廠(t為參數(shù)),

y=\[3a--t

V2

消去參數(shù)得：y-Gj—G，

x-a

整理得：氐+y-2百a=0,

因?yàn)辄c(diǎn)A(1,G)直線/上，

把點(diǎn)A(l,百)代入直角坐標(biāo)方程，解得。=1.

所以直線的直角坐標(biāo)方程為y-2百=().

因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為=———

cos29+2

所以夕2cos26+2夕？=3,

所以p2cos20-p~sin26+2夕2=3,

因?yàn)閤=pcosG.y-psinO9

代入上式整理得：/+匯=1,

3

所以曲線C直角坐標(biāo)方程為：/+二=1.

3

(2)聯(lián)立，3,W2x2—4ax+4a2—1=0?

6x+y-26a-0

由/＜0得：。＜一注或。＞注,

22

Xa<0,：.<~—

a2

曲線。：/+2=1的參數(shù)方程為＜x=cos0

r(。為參數(shù)),

3y=J3sin。

設(shè)Q(cos6,5/3sin0),

所以:|V3cos6+