信號與系統(tǒng) 第四版 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析§2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應

一、微分方程的經(jīng)典解

二、關于0－和0＋初始值

三、零輸入響應與零狀態(tài)響應§2.2沖激響應和階躍響應§2.3卷積積分§2.4卷積積分的性質(zhì)一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)經(jīng)典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）齊次解:y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解yh(t)的形式:由微分方程的特征根確定齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應；特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強迫響應。例:

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)

求（1）當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解；

（2）當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解;

（3）當f(t)=10cos(t)，t≥0；y(0)=2，y’(0)=0時的全解。

不同特征根所對應的齊次解:單實根lr重實根l齊次方程:y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0特征方程:

l(n)+an-1l(n-1)+…+a1l(1)+a0l=0不同激勵（輸入）所對應的特解:解:特征方程λ2+5λ+6=0λ1=–2，λ2=–3?！?/p>

齊次解為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t(1)f(t)=2e–t，設特解為yp(t)=Pe

–t

代入微分方程Pe

–t+5(–Pe

–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1∴

yp(t)=e–t全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t由初始條件

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2∴

全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0例：

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)（1）當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解齊次解同上:

yh(t)=C1e–2t+C2e–3tf(t)=e–2t，而–2為特征根之一，∴特解yp(t)=P1te–2t

代入得P1e-2t=e–2t全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t

代入初始條件，得

y(0)=C1+C2=1，y’(0)=–2C1–3C2+1=0得C1=2,C2=–1∴y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)（2）當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)（3）當f(t)=10cos(t)，t≥0；y(0)=2，y’(0)=0時的全解。

齊次解同上:

yh(t)=C1e–2t+C2e–3tf1(t)、yp1(t)代入、有:由y(0)=2，y’(0)=0可求得：c1=2、c2=-1暫態(tài)分量ytr

(t)穩(wěn)態(tài)分量ys

(t)齊次或自由yh

(t)特解或強迫yp

(t)參見P43二、關于0－和0＋初始值1、基本概念：當激勵于t=0加到系統(tǒng)上，系統(tǒng)的起始狀態(tài)有可能出現(xiàn)突變2、確定方法：利用物理（電路）分析和數(shù)學解析y”(t)+5y’(t)+6y(t)=3f(t)f(t)=2e-te(t)；y(0-)=2，y’(0-)=-1,y”(t)+5y’(t)+6y(t)=3f(t)+f’(t)f(t)=2e-te(t)；y(0-)=2，y’(0-)=-1=4e-te(t)+2d(t)易知：y’’(t)=2d(t)+r1(t);y’(t)=r2(t);y(t)=r3(t);

ri(t）為不含有d(t)、d’(t)等的函數(shù)因此：y(0+)=y(0-)=

2，y’(0+)=y’(0-)+2=1=6e-te(t)則：y(0+)=2，y’(0+)=-1沒有沖激、沖激偶等只有沖激y”(t)+5y’(t)+6y(t)=3f(t)+f’(t)+2f’’(t)f(t)=2e-te(t)；y(0-)=2，y’(0-)=-1=8e-te(t)-2d(t)+4d’(t)因此：y’(0+)=y’(0-)-22=

-20，y(0+)=y(0-)+4=3y’’(t)=4d’(t)-22d(t)+r1(t);y’(t)=4d(t)+r2(t);

y(t)=r3(t);

代入方程：出現(xiàn)沖激、沖激偶等設：y’’(t)=ad’(t)+bd(t)+r1(t);

y’(t)=ad(t)+r2(t);

y(t)=r3(t);

ri(t）為不含有d(t)、d’(t)等的函數(shù)三、零輸入響應與零狀態(tài)響應y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）

=yx(t)(零輸入)+yf(t)(零狀態(tài)）

=ytr(t)(瞬態(tài)解)+yss(t)(穩(wěn)態(tài)解)穩(wěn)定系統(tǒng)1、概念：當輸入為零、起始狀態(tài)不為零時系統(tǒng)的響應為零輸入響應；當輸入不為零、起始狀態(tài)為零時系統(tǒng)的響應為零狀態(tài)響應。2、解法：零輸入解具有齊次解的形式；零狀態(tài)解則由部分齊次解和特解組成。設：系統(tǒng)有n個單實根li,i=1,2,3…….,n零輸入解yx(t)=

其中，Cxi由零狀態(tài)解yf(t)=

其中，Cfi由3、例：見p50例2.1－7f(t)*h(t)Chi=Cxi+Cfi例：y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6

f(t)y(0-)=2,y’(0-)=1,f(t)=e(t),求yzi(t)、yzs(t)

∵

y(0-)=2、y’(0-)=1∴

yzi(t)=5e-t-3e-2tt≥0∴

yzi(0+)=2、yzi’(0+)=1解:特征方程λ2+3λ+2=0∴λ1=–1，λ2=–2(1)零輸入解為yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t+0Czi1+Czi2=2-Czi1-2Czi2=1Czi1=5Czi2=-3=2d(t)+6e(t)(2)零狀態(tài)解為yzs(t)=Czs1e–t+Czs2e–2t+3t≥0設yzs’’(t)=ad(t)+r1(t);yzs’(t)=r2(t);yzs(t)=r3(t);

∴

yzs’(0+)-yzs’(0-)=2yzs(0+)-yzs(0-)=0yzs’(0+)=2yzs(0+)=0∴

Czs1=-4

Czs=1可得：a=2

∴yzs(t)=－4e–t+e–2t+3t≥0（3）全解y

(t)=yzs(t)+yzi(t)=

e-t

-2e-2t+3t≥0暫態(tài)分量ytr

(t)穩(wěn)態(tài)分量yss

(t)§2.2沖激響應和階躍響應一、基本概念沖激響應：由單位沖激函數(shù)d(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T[{0},d(t)]

階躍響應：由單位階躍函數(shù)e(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，記為g(t)。g(t)=T[{0},e(t)]

二、求解方法1、經(jīng)典解法23、變換域（s域）法*****（第五章）三、例：p54例2.2－2、p56例2.2-3、p572.2-4一次解出疊加原理h’’(t)+5h’(t)+6h(t)=d’’(t)+2

d’(t)+

3d(t)解法一：一次解出由題意h(0-)=h’(0-)=0,f(t)=d(t)特征方程λ2+5λ+6=0λ1=–2，λ2=–3已知y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f’’(t)+2

f’(t)+

3f(t);求h(t)設：h’’(t)=ad’’(t)+b

d’(t)+

cd(t)+r0(t)h’(t)=ad’(t)+b

d(t)+r1(t)h(t)=ad

(t)+r2(t)a=1b+5a=2c+5b+6a=3a=1b=-3c=12h(0+)=h(0-)+b=0-3=-3h’(0+)=h’(0-)+c=0+12=12所以、h(t)=d

(t)+(3e-2t-6e-3t)e(t)ch1=3ch2=-6h’’(t)+5h’(t)+6h(t)=d’’(t)+2

d’(t)+

3d(t)解法二：線性疊加法由題意h(0-)=h’(0-)=0,f(t)=d(t)已知y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f’’(t)+2

f’(t)+

3f(t)求:h(t)設：∑-3f(t)-2∑y(t)∫∫2-1y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=-f’(t)+2

f(t)

由y(0-)=1、y’(0-)=2

y(0-)=1y’(0-)=2、求零輸入響應yx(t)因為、l1=-1、l2=-2

所以、yx(t)=Cx1e-t+Cx2e-2tt≥0有：yx(t)=4e-t-3e-2tt≥0(2)f1

(t)=e(t)

求零狀態(tài)響應yf1(t)yf1(t)=[Cf1e-t+Cf2e-2t+1]e(t)由方程右邊=-d(t)+2e(t)

、有y’’

(t)=-d(t)+r1(t);y’(t)=r2(t)

∴y’f

(0+)=-1;yf(0+)=0

∴

yf1(t)=[-

3e-t+2e-2t+1]e(t)(3)f2

(t)=d(t)

求yf2(t)yf2(t)=[Cf1e-t+Cf2e-2t+0]e(t)∵右邊=-d’(t)+2d(t)

、∴y’’

(t)=-d’(t)+5

d(t)+r1(t);y’(t)=-d(t)+

r2(t)

∴y’f

(0+)=5;yf(0+)=-1

yf1(t)=[3e-t-

4e-2t]e(t)=h(t)=g(t)求導p56二階系統(tǒng)時域特性w02=1/LCy’’(t)+2ay’(t)+w02y(t)=w02f

(t)§2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的沖激分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)p(t)△“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：f(△)p(t

-△)△“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)p(t

+△)△p(t)D1t02D2D-信號的沖激分解2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應yf(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分1.卷積積分的定義已知在區(qū)間（–∞，∞）上的f1(t)和f2(t)，則定義積分注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，

t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。

二、卷積積分的定義與計算2.卷積積分的過程卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。***

注意：t

為參變量。對于不同的t的取值區(qū)間，被積函數(shù)可能不同，積分區(qū)間也可能不同。3.卷積積分的計算方法適用于非時間有限信號適用于時間有限信號式中，積分變量為。由于時，；而時，,所以積分限應是，且，t>0，所以：解：例1:例2:例3:例4

：f(t),h(t)

如圖所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖形卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

時,③1≤t≤2時⑤3≤t時f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數(shù)形式復雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)④2≤t≤3

時0§2.4卷積積分的性質(zhì)一、卷積代數(shù)1、交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2、分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3、結(jié)合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]二、奇異函數(shù)的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*δ(n)(t

–t0)=f(n)(t

–t0)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)對應系統(tǒng)并聯(lián)對應系統(tǒng)串聯(lián)tε(t)*ε(t)=0.5t2ε(t)移位43-1210f(t)2t10h(t)(1)(2)*0-1212yf(t)=f(t)+2f(t-1)f(t)2f(t-1)=yf(t)=?例1：-1210f(t)2*d’(2-t)=?f(t)＊

d’(2-t)=f(t)＊

[-d’(t-2)]=-f’(t-2)-121034f’(t)-12-f’(t-2)=-2e(t-1)+3e(t)-e(t)例2：例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)據(jù)時移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)-1210f(t)2三、卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f(t–t1–t2)***卷積后信號的取值上下限分別為原信號上下限之和f(t)

0.5t1t22h(t)

四、卷積的微積分性質(zhì)1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)****3.在f1(–∞)=0和f2(-∞)=0的前提下

[f1(t)*f