小波在圖像壓縮方面的應(yīng)用

小波分析在圖像壓縮的應(yīng)用電子與通信工程159030021張倩2024/1/161、引言小波分析誕生于20世紀(jì)80年代,被認(rèn)為是調(diào)和分析即現(xiàn)代Fourier分析發(fā)展的一個(gè)嶄新階段。眾多高新技術(shù)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ),而小波分析被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”,這就決定了它在高科技研究領(lǐng)域重要的地位。目前,它在模式識別、圖像處理、語音處理、故障診斷等方面的應(yīng)用都得到了廣泛深入的研究。小波分析具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分可以采用較低的時(shí)間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時(shí)間定位。本文介紹了小波變換的基本理論，然后研究了小波分析在圖像處理中圖像壓縮的應(yīng)用。2024/1/162、小波分析的基本理論2.1連續(xù)小波變換x(t):平方可積函數(shù)，記作

x(t)∈L2(R)

。ψ(t):基本小波或母小波函數(shù)。x(t)的連續(xù)小波變換（a、τ、t

連續(xù)變量）：正變換：a:尺度因子（a>0）τ:位移，可正可負(fù):基本小波的位移與尺度伸縮

:內(nèi)積，*表示共軛2024/1/16

逆變換：2024/1/16是的傅里葉變換。2.2離散小波變換在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。尺度按冪級數(shù)離散化:位移按冪級數(shù)離散化:（τ0的取值應(yīng)該滿足采樣定理）離散小波變換2024/1/162024/1/16小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強(qiáng)等。這里我將介紹小波分析在圖像壓縮方面的應(yīng)用。（1）基于小波變換的圖像局部壓縮下面我們利用小波變化的時(shí)頻局部化特性，舉一個(gè)局部壓縮的例子，可以通過這個(gè)例子看出小波變換在應(yīng)用這類問題上的優(yōu)越性。3、小波分析在圖像處理中的應(yīng)用2024/1/16loadwbarb％使用sym4小波對信號進(jìn)行一層小波分解[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(X,'sym4');codca1=wcodemat(ca1,192);codch1=wcodemat(ch1,192);codcv1=wcodemat(cv1,192);codcd1=wcodemat(cd1,192);％將四個(gè)系數(shù)圖像組合為一個(gè)圖像codx=[codca1,codch1,codcv1,codcd1]％復(fù)制原圖像的小波系數(shù)rca1=ca1;rch1=ch1;rcv1=cv1;rcd1=cd1;％將三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)的中部置零rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65);rcv1(33:97,33:97)=zeros(65,65);rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65);codrca1=wcodemat(rca1,192);codrch1=wcodemat(rch1,192);codrcv1=wcodemat(rcv1,192);codrcd1=wcodemat(rcd1,192);2024/1/16％將處理后的系數(shù)圖像組合為一個(gè)圖像codrx=[codrca1,codrch1,codrcv1,codrcd1]％重建處理后的系數(shù)rx=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,'sym4');subplot(221);image(wcodemat(X,192)),colormap(map);title('原始圖像');subplot(222);image(codx),colormap(map);title('一層分解后各層系數(shù)圖像');subplot(223);image(wcodemat(rx,192)),colormap(map);title('壓縮圖像');subplot(224);image(codrx),colormap(map);title('處理后各層系數(shù)圖像');％求壓縮信號的能量成分per=norm(rx)/norm(X)per=1.0000％求壓縮信號與原信號的標(biāo)準(zhǔn)差err=norm(rx-X)err=586.4979圖1利用小波變換的局部壓縮圖像2024/1/16從圖1可以看出，小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細(xì)節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，我們可以通過對局部細(xì)節(jié)系數(shù)處理來達(dá)到局部壓縮的效果。在本例中，我們把圖像中部的細(xì)節(jié)系數(shù)都置零，從壓縮圖像中可以很明顯地看出只有中間部分變得模糊（比如在原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨），而其他部分的細(xì)節(jié)信息仍然可以分辨的很清楚。2024/1/16（2）利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。下面給出一個(gè)圖像信號（即一個(gè)二維信號，文件名為wbarb.mat），利用二維小波分析對圖像進(jìn)行壓縮。一個(gè)圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的。高分辨率（即高頻）子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近于0，越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對一個(gè)圖像來說，表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個(gè)最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。2024/1/16loadwbarb;subplot(221);image(X);colormap(map)title('原始圖像');axissquaredisp('壓縮前圖像X的大?。?);whos('X')%對圖像用bior3.7小波進(jìn)行2層小波分解[c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù)ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1=detcoef2('h',c,s,1);cv1=detcoef2('v',c,s,1);cd1=detcoef2('d',c,s,1);%分別對各頻率成分進(jìn)行重構(gòu)a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1=[a1,h1;v1,d1];%顯示分解后各頻率成分的信息subplot(222);image(c1);axissquaretitle('分解后低頻和高頻信息');2024/1/16%下面進(jìn)行圖像壓縮處理，保留小波分解第一層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，第一層的低頻信息即為ca1，顯示第一層的低頻信息%首先對第一層信息進(jìn)行量化編碼ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca1=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axissquaretitle('第一次壓縮');disp('第一次壓縮圖像的大小為：');whos('ca1')%保留小波分解第二層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，此時(shí)壓縮比更大%第二層的低頻信息即為ca2，顯示第二層的低頻信息ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先對第二層信息進(jìn)行量化編碼ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axissquaretitle('第二次壓縮');disp('第二次壓縮圖像的大小為：');whos('ca2')2024/1/16輸出結(jié)果如下所示：壓縮前圖像X的大?。旱谝淮螇嚎s圖像的大小為：第二次壓縮圖像的大小為：2024/1/16圖2利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時(shí)壓縮效果較好，壓縮比較?。s為1/3）：第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分（即小波分解第二層的低頻部分），其壓縮比較大（約為1/12），壓縮效果在視覺上也基本過的去。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低