小波在圖像壓縮方面的應用

小波分析在圖像壓縮的應用電子與通信工程159030021張倩2024/1/161、引言小波分析誕生于20世紀80年代,被認為是調和分析即現代Fourier分析發(fā)展的一個嶄新階段。眾多高新技術以數學為基礎,而小波分析被譽為“數學顯微鏡”,這就決定了它在高科技研究領域重要的地位。目前,它在模式識別、圖像處理、語音處理、故障診斷等方面的應用都得到了廣泛深入的研究。小波分析具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據信號的具體形態(tài)動態(tài)調整，在一般情況下，在低頻部分可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。本文介紹了小波變換的基本理論，然后研究了小波分析在圖像處理中圖像壓縮的應用。2024/1/162、小波分析的基本理論2.1連續(xù)小波變換x(t):平方可積函數，記作

x(t)∈L2(R)

。ψ(t):基本小波或母小波函數。x(t)的連續(xù)小波變換（a、τ、t

連續(xù)變量）：正變換：a:尺度因子（a>0）τ:位移，可正可負:基本小波的位移與尺度伸縮

:內積，*表示共軛2024/1/16

逆變換：2024/1/16是的傅里葉變換。2.2離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。尺度按冪級數離散化:位移按冪級數離散化:（τ0的取值應該滿足采樣定理）離散小波變換2024/1/162024/1/16小波分析在圖像處理中有非常重要的應用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強等。這里我將介紹小波分析在圖像壓縮方面的應用。（1）基于小波變換的圖像局部壓縮下面我們利用小波變化的時頻局部化特性，舉一個局部壓縮的例子，可以通過這個例子看出小波變換在應用這類問題上的優(yōu)越性。3、小波分析在圖像處理中的應用2024/1/16loadwbarb％使用sym4小波對信號進行一層小波分解[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(X,'sym4');codca1=wcodemat(ca1,192);codch1=wcodemat(ch1,192);codcv1=wcodemat(cv1,192);codcd1=wcodemat(cd1,192);％將四個系數圖像組合為一個圖像codx=[codca1,codch1,codcv1,codcd1]％復制原圖像的小波系數rca1=ca1;rch1=ch1;rcv1=cv1;rcd1=cd1;％將三個細節(jié)系數的中部置零rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65);rcv1(33:97,33:97)=zeros(65,65);rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65);codrca1=wcodemat(rca1,192);codrch1=wcodemat(rch1,192);codrcv1=wcodemat(rcv1,192);codrcd1=wcodemat(rcd1,192);2024/1/16％將處理后的系數圖像組合為一個圖像codrx=[codrca1,codrch1,codrcv1,codrcd1]％重建處理后的系數rx=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,'sym4');subplot(221);image(wcodemat(X,192)),colormap(map);title('原始圖像');subplot(222);image(codx),colormap(map);title('一層分解后各層系數圖像');subplot(223);image(wcodemat(rx,192)),colormap(map);title('壓縮圖像');subplot(224);image(codrx),colormap(map);title('處理后各層系數圖像');％求壓縮信號的能量成分per=norm(rx)/norm(X)per=1.0000％求壓縮信號與原信號的標準差err=norm(rx-X)err=586.4979圖1利用小波變換的局部壓縮圖像2024/1/16從圖1可以看出，小波域的系數表示的是原圖像各頻率段的細節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關的信息表述方式，我們可以通過對局部細節(jié)系數處理來達到局部壓縮的效果。在本例中，我們把圖像中部的細節(jié)系數都置零，從壓縮圖像中可以很明顯地看出只有中間部分變得模糊（比如在原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨），而其他部分的細節(jié)信息仍然可以分辨的很清楚。2024/1/16（2）利用二維小波分析進行圖像壓縮二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點。下面給出一個圖像信號（即一個二維信號，文件名為wbarb.mat），利用二維小波分析對圖像進行壓縮。一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應的頻率是不相同的。高分辨率（即高頻）子圖像上大部分點的數值都接近于0，越是高頻這種現象越明顯。對一個圖像來說，表現一個圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。2024/1/16loadwbarb;subplot(221);image(X);colormap(map)title('原始圖像');axissquaredisp('壓縮前圖像X的大?。?);whos('X')%對圖像用bior3.7小波進行2層小波分解[c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解結構中第一層低頻系數和高頻系數ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1=detcoef2('h',c,s,1);cv1=detcoef2('v',c,s,1);cd1=detcoef2('d',c,s,1);%分別對各頻率成分進行重構a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1=[a1,h1;v1,d1];%顯示分解后各頻率成分的信息subplot(222);image(c1);axissquaretitle('分解后低頻和高頻信息');2024/1/16%下面進行圖像壓縮處理，保留小波分解第一層低頻信息，進行圖像的壓縮，第一層的低頻信息即為ca1，顯示第一層的低頻信息%首先對第一層信息進行量化編碼ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca1=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axissquaretitle('第一次壓縮');disp('第一次壓縮圖像的大小為：');whos('ca1')%保留小波分解第二層低頻信息，進行圖像的壓縮，此時壓縮比更大%第二層的低頻信息即為ca2，顯示第二層的低頻信息ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先對第二層信息進行量化編碼ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axissquaretitle('第二次壓縮');disp('第二次壓縮圖像的大小為：');whos('ca2')2024/1/16輸出結果如下所示：壓縮前圖像X的大?。旱谝淮螇嚎s圖像的大小為：第二次壓縮圖像的大小為：2024/1/16圖2利用二維小波分析進行圖像壓縮可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時壓縮效果較好，壓縮比較小（約為1/3）：第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分（即小波分解第二層的低頻部分），其壓縮比較大（約為1/12），壓縮效果在視覺上也基本過的去。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低