三角函數(shù)的簡單應(yīng)用 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

1.8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用新授課想一想：說出你所知道的具有周期現(xiàn)象的生活例子.周期現(xiàn)象是自然界中最常見的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型．面對(duì)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B是一項(xiàng)重要的基本技能．1.了解三角函數(shù)是研究周期變化的重要模型.2.對(duì)一些簡單的周期變化能夠選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型，用來刻畫和解決實(shí)際問題.例1

當(dāng)我們所處的北半球?yàn)槎镜臅r(shí)候，新西蘭的惠靈頓市恰好是盛夏，因此北半球的人們冬天愿意去那里旅游，右邊是一份惠靈頓機(jī)場提供的月平均氣溫統(tǒng)計(jì)表.（1）根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)表提供的數(shù)據(jù)，為惠靈頓的月平均氣溫建立一個(gè)函數(shù)模型；（2）當(dāng)平均氣溫不低于13.7℃時(shí)，惠靈頓市最適宜旅游，試根據(jù)你所確定的函數(shù)模型，確定惠靈頓市的最佳旅游時(shí)間.解：（1）根據(jù)表格可畫圖，如圖所示，由于各地月平均氣溫的變化是以12個(gè)月為周期的函數(shù)，依散點(diǎn)圖所繪制的圖象，可以考慮用t＝Acos(ωx＋φ)＋B來描述.由最高氣溫為17.9℃，最低氣溫為9.5℃，tmax＝A＋B，tmin＝－A＋B，∵x＝2時(shí)，t取最大值，即ωx＋φ＝0，∴為惠靈頓的月平均氣溫函數(shù)模型.（2）當(dāng)平均氣溫不低于13.7℃時(shí)，惠靈頓市最適宜旅游，試根據(jù)你所確定的函數(shù)模型，確定惠靈頓市的最佳旅游時(shí)間.（2）如圖所示，作直線t=13.7與函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)：（5，13.7），（11，13.7），這說明在每年的十一月初至第二年的四月末平均氣溫不低于13.7℃，是惠靈頓市的最佳旅游時(shí)間.例2

水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，工作示意圖如圖，設(shè)水車(即圓周)的直徑為3m，其中心(即圓心)O到水面的距離b＝1.2m，逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間是

min，水車邊緣上一點(diǎn)P距水面的高度為h(單位：m).（1）求h與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；（2）當(dāng)雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí)，說所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會(huì)發(fā)生哪些變化？若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響？OPbR由已知可得：R＝1.5m，b＝1.2m，水車轉(zhuǎn)一圈所需時(shí)間為

，轉(zhuǎn)速為rad/s，解：設(shè)點(diǎn)P在水面上時(shí)高度h為0，當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到水面下時(shí)，點(diǎn)P距水面的高度為負(fù)值.（1）作PM垂直于水面，ON垂直于PM，設(shè)Q為為水車與水面的交點(diǎn)，∠QON＝φ，OPbRQMN設(shè)從點(diǎn)Q時(shí)開始計(jì)時(shí)(t＝0)，旋轉(zhuǎn)t

s水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角的大小為α，即∠QOP＝α＝ωt＝rad.從圖中不難看出：h＝PM＝PN＋NM＝Rsin(α－φ)＋b.OPbRQMN∵sinφ＝

，∴φ≈53.1°＝0.295π，因此h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為

找出使

取

的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(11.8，1.2)，(31.8，2.7)，(51.8，1.2)，(71.8，－0.3)，(91.8，1.2)，描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)在區(qū)間[0，91.8]上的圖象.（2）當(dāng)雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí)，說所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會(huì)發(fā)生哪些變化？若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響？OPbR（2）雨季河水上漲或旱季河河流水量減少，將造成水車中心O與水面距離的改變，導(dǎo)致函數(shù)解析式中的參數(shù)b發(fā)生變化，水面上漲時(shí)參數(shù)b減??；水面回落時(shí)參數(shù)b增大.如果水車轉(zhuǎn)速加快，將遲周期T減小，轉(zhuǎn)速減慢這時(shí)周期T增大.總結(jié)歸納解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

（1）審題：讀懂題目中的“文字”“圖象”：“符號(hào)”等語言，理解所反映的實(shí)際問題的背景，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.（2）建模：整理數(shù)據(jù)，引入變量，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，即建立三角函數(shù)模型.（3）解模：利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解答得到的三角函數(shù)模型，求得結(jié)果.（4）回歸實(shí)際問題：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)的科學(xué)性，又要符合實(shí)際背景，因此，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn).1.如圖所示,某海灣相對(duì)于平均海平面的水面高度h(單位:米)在某天24時(shí)內(nèi)的變化情況