所有大二上概率五章講

第二節(jié)中心極限定理

中心極限定理的客觀背景

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.

當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？

由于無窮個隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.的分布函數(shù)的極限.

可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.考慮中心極限定理這就是下面要介紹的

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡單情形.

下面給出的獨立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.定義定理1（獨立同分布下的中心極限定理）

它表明，當(dāng)n充分大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，則

雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+…+Xn

的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分布.定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）

設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有

定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是統(tǒng)計學(xué)中處理大樣本時的重要工具。例1根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.由題給條件知，諸Xi獨立，16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)由題給條件知,諸Xi獨立,16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y

1920)=1-

(0.8)1-=1-0.7881=0.2119稍事休息例2.(供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工作，工作的概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗.依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)有N臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）

由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)這里

np=120,np(1-p)=48由3σ準(zhǔn)則，此項為0。查正態(tài)分布函數(shù)表得由≥0.999，從中解得N≥141.5,即所求N=142.

也就是說,應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故例3

在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.問對序列{Xk},能否應(yīng)用大數(shù)定律？

諸Xk

獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

(1)設(shè)，k=1,2,…

即對任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.(2)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理近似N(0,1)近似N(0,1)欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.(3)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.解：在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,近似N(0,1)即近似N(0,1)E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826近似N(0,1)這一講我們介紹了中心極限定理

在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計算獨立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出