上海市松江區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

松江區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷初三數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時間100分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題；沒有特殊說明，幾何題均視為在同一個平面內(nèi)研究問題．2．答題時，務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明．或計算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的長為（）A．； B．； C．； D．．3．關(guān)于二次函數(shù)的圖像，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．經(jīng)過原點C．對稱軸右側(cè)的部分是下降的 D．頂點坐標是4．下列條件中，不能判定的是（）A．，； B．， C． D．5．如圖，在中，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點G、F分別在邊、上，如果正好經(jīng)過的重心，那么的積等于（

）A．4 B．1 C． D．6．某同學(xué)對“兩個相似的四邊形”進行探究．四邊形和四邊形是相似的圖形，點A與點、點B與點、點C與點、點D與點分別是對應(yīng)頂點，已知．該同學(xué)得到以下兩個結(jié)論：①四邊形和四邊形的面積比等于；②四邊形和四邊形的兩條對角線的和之比等于k．對于結(jié)論①和②，下列說法正確的是（）A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①和②都錯誤 D．①和②都正確二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．若，則．8．、兩地的實際距離米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實際距離的比是．9．某印刷廠一月份印書50萬冊，如果從二月份起，每月印書量的增長率都為x，那么三月份的印書量y（萬冊）與x的函數(shù)解析式是．10．已知點P是線段的黃金分割點，且，如果，那么．11．在直角坐標平面中，將拋物線，先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么平移后的拋物線表達式是．12．如果一個二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的．請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：．13．如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡從A點向上行駛了50米，到達B點，那么此時該小車上升的高度為米．14．如圖，梯形中，，且，若，．請用，來表示．15．如圖，已知直線、、分別交直線m于點A、B、C，交直線n于點D、E、F，且，，，那么．16．如圖，在梯形中，，點E是的中點，、的延長線交于點F，如果，那么．17．在中，，點D、E分別是邊、的中點，與相交于點O，如果是等邊三角形，那么．18．如圖，在矩形中，，，將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，點B落在處，連接、，若，則．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．二次函數(shù)的圖像上部分點的橫坐標x、縱坐標y的對應(yīng)值如下表．x…01234…y…30?3…(1)由表格信息，求出該二次函數(shù)解析式，并寫出該二次函數(shù)圖像的頂點D的坐標；(2)如果該二次函數(shù)圖像與y軸交于點A，點是圖像上一點，求的面積．20．如圖，在中，點D、E、F分別在邊、、上，連接、．已知，，，．(1)求的值；(2)若的面積為16，求四邊形的面積．21．已知：如圖，中，，，，于D．(1)求的長；(2)如果點E是邊的中點，求大?。?2．如圖，A處有一垂直于地面的標桿，熱氣球沿著與的夾角為的方向升空，到達B處，這時在A處的正東方向200米的C處測得B的仰角為（、B、C在同一平面內(nèi)）．求A、B之間的距離．（結(jié)果精確到1米，）23．已知：如圖，在中，點D、E分別在邊、上，，．求證：(1)；(2)24．在平面直角坐標系中，拋物線的圖像經(jīng)過原點、點，此拋物線的對稱軸與x軸交于點C，頂點為B．(1)求拋物線的對稱軸；(2)如果該拋物線與x軸負半軸的交點為D，且的正切值為2，求a的值；(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點A、B分別對應(yīng)新拋物線上的點E、P．聯(lián)結(jié)，如果點P在y軸上，軸，且，求新拋物線的表達式．25．在中，．點D是射線上一點（不與A、C重合），點F在線段上，直線交直線于點E，．(1)如圖，如果點D在的延長線上①求證：；②聯(lián)結(jié)，如果，，求的長．(2)如果，求：的值．

參考答案與解析

1．B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義選擇正確的選項即可．【詳解】A、是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；B、符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，故此選項符合題意；C、是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；D、不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意．故選：B．2．C【詳解】試題分析：解直角三角形得出sinA=，代入求出即可．在Rt△ACB中，BC=m，∠A=α，∴sinA=，∴AB=故選C．考點：銳角三角函數(shù)的定義．3．C【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；由拋物線解析式可得拋物線開口方向及頂點坐標，進而求解．【詳解】，∴拋物線開口向下，頂點坐標為，∴時，隨增大而減小，對稱軸右側(cè)的部分是下降的，把代入得∴拋物線經(jīng)過，故選：C．4．D【分析】本題考查了平面向量的平行，熟記平面向量平行的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面向量的相關(guān)定義逐一判斷即可．【詳解】解：∵，，由不能得到，故選：D．5．B【分析】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，設(shè)的重心是，連接，延長交于，由三角形的重心的性質(zhì)可得，再結(jié)合矩形的性質(zhì)和平行線分線段成比例及余角的性質(zhì)證明，即可推出．【詳解】解：設(shè)的重心是，連接，延長交于，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故選：B．6．D【分析】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟記相似多邊形的對角線的比等于相似比、面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵；根據(jù)相似多邊形的對角線的比等于相似比、面積比等于相似比的平方解答即可．【詳解】∵四邊形和四邊形是相似的圖形，，∴四邊形和四邊形是相似比為，∴四邊形和四邊形的面積比等于，四邊形和四邊形的兩條對角線之比等于，∴四邊形和四邊形的兩條對角線的和之比等于，則①和②都正確，故選：D．7．【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用比例的性質(zhì)進行計算，即可解答．【詳解】解：∵，故答案為：．8．【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實際距離，直接求出即可．【詳解】解：250米厘米，∴比例尺；故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一．9．或【詳解】因為一月份印書50萬冊，每月印書量的增長率都為x，所以二月份印書三月份印書【點睛】一元二次方程的實際應(yīng)用是?？純?nèi)容，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的信息，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程再求解，屬于中檔題．10．【分析】本題考查了黃金分割點的應(yīng)用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割；根據(jù)黃金分割點的定義列方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)長為x，則長為，列方程得：，解得：，（舍去）∴長為，故答案為：．11．【分析】此題考查的是二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律：括號內(nèi)左加右減，括號外上加下減求解即可．【詳解】解：將拋物線，先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么平移后的拋物線表達式是，故答案為：．12．，答案不唯一【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù)．由于二次函數(shù)的頂點在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，由此可以確定函數(shù)解析式不唯一．【詳解】解：∵二次函數(shù)的頂點在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，∴這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，∴符合條件的函數(shù)有，答案不唯一．答案為：，答案不唯一．13．【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．設(shè)小車上升的高度為米，根據(jù)坡度的概念得到米，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】設(shè)小車上升的高度為米，斜坡的坡度為，∴米，由勾股定理得：，解得：(負值舍去)，∴小車上升的高度為米，故答案為：．14．【分析】此題考查了平面向量，根據(jù)平行四邊形法則得到，即可用、表示．【詳解】∵，，，∴，∴，故答案為：．15．2【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．先由，運用平行線分線段成比例的內(nèi)容可得，再將代入求出，即可求解．【詳解】解：∵，解得．故答案為：2．16．【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.過點作的垂線交于點，交于點，過點作，交的延長線于點，可得四邊形為矩形，則，由題意可得，證明，則，即，將化簡為，即可得出答案.【詳解】過點作的垂線交于點，交于點，過點作，交的延長線于點，，∴，∴四邊形為矩形，，∵點是的中點，，，，，，，，，，故答案為：．17．【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．過點作于點，過點作于點，連接，根據(jù)是等邊三角形，得出，，設(shè)，根據(jù)點D、E分別是邊、的中點，得出，，，證明，得出，，根據(jù)，得出，，證明從而得出，再求出，即可求解；【詳解】過點作于點，過點作于點，連接，∵是等邊三角形，，，設(shè)，點D、E分別是邊、的中點，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，故答案為：18．【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌握以上知識點；過A作，設(shè)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再運用勾股定理列方程解答即可；【詳解】將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖所示，過A作，則，設(shè)，，，，，，，在中，，（負值舍去），故答案為：．19．(1)，頂點D的坐標為(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，并配方找到頂點坐標即可；（2）求出直線的解析式，過點D作軸交于點E，得到點E的坐標，根據(jù)計算即可．【詳解】（1）解：把、、代入得：，解得，∴函數(shù)關(guān)系式為：，，∴頂點D的坐標為；（2）解：當(dāng)時，，∴點P的坐標為，設(shè)直線的解析式為，把點和代入得：，解得：，∴解析式為，過點D作軸交于點E，當(dāng)時，，∴點E的坐標為，∴，∴．20．(1)(2)6【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)平行線分線段成比例求解即可；（2）證明，，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求得和的面積，再根據(jù)四邊形的面積為求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，又，，；（2）解：，，，，，與的相似比是：，，的面積為16，，，，由（1）知，∴，，，四邊形的面積為．21．(1)13(2)【分析】本題考查解直角三角形，相似三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，勾股定理，關(guān)鍵是由銳角的正弦求出長，證明是的中位線．（1）由銳角的正弦求出長，由勾股定理求出長，得到長，由勾股定理即可求出長．（2）過作，由相似三角形性質(zhì)，推出，得到是的中位線，因此，求出，即可求出．【詳解】（1）解：∵（2）解：過作于，，點E是邊的中點，∴是的中位線，22．、之間的距離約為141米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵；過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得米，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，由題意得：米，，∴，在中，，∴(米)，在中，(米)，∴、之間的距離約為141米．

23．(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形的內(nèi)角和定理的推論和相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用三角形的內(nèi)角和定理的推論和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)和等量代換的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴，24．(1)直線(2)(3)【分析】該題主要考查了二次函數(shù)綜合，涉及知識點主要有解直角三角形，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判斷，函數(shù)平移等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點；（1）將、代入解析式再求解即可；（2）過A作軸，根據(jù)求解即可；（3）由（1）算出，，再根據(jù)點P在y軸上，軸，作軸于K，得出證明得出，又結(jié)合平移得出，在中，由列方程解出，即可求解；【詳解】（1）過，又過，∴，∴的對稱軸為直線，（2）由（1）知，，∴，過A作軸，，，（3）由（1）得，，∴，對稱軸為直線，故，點P在y軸上，軸，作軸于K，設(shè)交y軸于L，，∴又又，，∴，又由平移知，∴，∴，又在中，，∴，或，，，∴二次函數(shù)解析式為，∴為，∴新拋物線解析式為25．(1)①見詳解；②(2)的值為1【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的