廣東省深圳市羅湖外國語學校2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

廣東省深圳市羅湖外國語學校2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設等比數列的公比，前項和為，則（）A． B． C． D．2．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是－1，則實數（）A．1 B．－1 C．2 D．－23．已知平面四邊形滿足，，，則的長為（）A．2 B． C． D．4．若關于x的不等式x-1-x-2≥A．0,1 B．-1,0 C．-∞,-1∪0,5．己知ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若A=45°,B=30°,a=2，則bA．3-1 B．1 C．2 D．6．半徑為，中心角為的弧長為（）A． B． C． D．7．設正實數x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0 B．C．2 D．8．在中，，為邊上的一點，且，若為的角平分線，則的取值范圍為（）A． B．C． D．9．甲.乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度.跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定10．如圖，圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點（與A、B均不重合），則圖中直角三角形的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則________.12．已知為直線，為平面，下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號是______．13．若，點的坐標為，則點的坐標為.14．當時，的最大值為__________.15．如圖，正方體中，的中點為，的中點為，為棱上一點，則異面直線與所成角的大小為__________．16．在數列中，，，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.(1)求函數的最小正周期及單調遞增區(qū)間：(2)求函數在區(qū)間上的最大值及取最大值時的集合.18．求經過點且分別滿足下列條件的直線的一般式方程.（1）傾斜角為45°；（2）在軸上的截距為5；（3）在第二象限與坐標軸圍成的三角形面積為4.19．已知關于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標準方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.20．為了了解四川省各景點在大眾中的熟知度，隨機對歲的人群抽樣了人，回答問題“四川省有哪幾個著名的旅游景點？”統(tǒng)計結果如表．組號分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出的值；（2）從第，，組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，求第，，組每組各抽取多少人？（3）通過直方圖求出年齡的眾數，平均數．21．某班在一次個人投籃比賽中，記錄了在規(guī)定時間內投進個球的人數分布情況：進球數（個）012345投進個球的人數（人）1272其中和對應的數據不小心丟失了，已知進球3個或3個以上，人均投進4個球；進球5個或5個以下，人均投進2.5個球．（1）投進3個球和4個球的分別有多少人？（2）從進球數為3，4，5的所有人中任取2人，求這2人進球數之和為8的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用等比數列的前n項和公式表示出,利用等比數列的通項公式表示出，計算即可得出答案?！绢}目詳解】因為，所以故選C【題目點撥】本題考查等比數列的通項公式與前n項和公式，屬于基礎題。2、A【解題分析】

由投影的定義計算．【題目詳解】由題意，解得．故選：A．【題目點撥】本題考查向量數量積的幾何意義，掌握向量投影的定義是解題關鍵．3、B【解題分析】

先建系，再結合兩點的距離公式、向量的數量積及模的運算，求解即可得解.【題目詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則,設，由，則，所以，又，所以，，即，故選：B.【題目點撥】本題考查了兩點的距離公式，重點考查了向量的數量積運算及模的運算，屬中檔題.4、D【解題分析】x-1-x-2=x-1-∵關于x的不等式x-1-∴a2+a-1>1，即解得a>1或∴實數a的取值范圍為-∞,-2∪5、B【解題分析】

由正弦定理可得．【題目詳解】∵asinA=故選B．【題目點撥】本題考查正弦定理，解題時直接應用正弦定理可解題，本題屬于基礎題．6、D【解題分析】

根據弧長公式，即可求得結果.【題目詳解】，.故選D.【題目點撥】本題考查了弧長公式，屬于基礎題型.7、C【解題分析】

由題得z=x2+4y2-3xy≥4xy-3xy=xy(x,y,z>0),即z≥xy,≥1.當且僅當x=2y時等號成立,則x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.當y=1時,x+2y-z有最大值2.故選C.8、A【解題分析】

先根據正弦定理用角A,C表示，再根據三角形內角關系化基本三角函數形狀，最后根據正弦函數性質得結果.【題目詳解】因為，為的角平分線，所以，在中，，因為，所以，在中，，因為，所以，所以，則,因為，所以,所以，則，即的取值范圍為.選A.【題目點撥】本題考查函數正弦定理、輔助角公式以及正弦函數性質，考查基本分析求解能力，屬中檔題.9、B【解題分析】

設兩人步行，跑步的速度分別為，（）．圖書館到教室的路程為，再分別表示甲乙的時間，作商比較即可.【題目詳解】設兩人步行、跑步的速度分別為，（）．圖書館到教室的路程為．則甲所用的時間為：．乙所用的時間，滿足+，解得．則＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故選：B．【題目點撥】本題考查了路程與速度、時間的關系、基本不等式的性質，屬于基礎題．10、D【解題分析】

利用直徑所對的圓周角為直角和線面垂直的判定定理和性質定理即可判斷出答案．【題目詳解】AB是圓O的直徑，則AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，則有BC⊥PC，則△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，則△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，則△ACB是直角三角形.綜上可知：此三棱錐P?ABC的四個面都是直角三角形.故選D.【題目點撥】本題考查直線與平面垂直的性質，考查垂直關系的推理與證明，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】拋物線的焦點F為，當斜率不存在時，易知，故；當斜率存在時，設，故，即，故，.綜上所述：.故答案為：.【題目點撥】本題考查了拋物線中線段長度問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.12、③④【解題分析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關系，則①和②錯誤；根據線面垂直性質定理和空間中的平行垂直關系可知③和④正確.【題目詳解】若，此時或，①錯誤；若，此時或異面，②錯誤；由線面垂直的性質定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結果：③④【題目點撥】本題考查空間中的平行與垂直關系相關命題的判斷，考查學生對于平行與垂直的判定和性質的掌握情況.13、【解題分析】試題分析：設，則有，所以，解得，所以.考點：平面向量的坐標運算.14、-3.【解題分析】

將函數的表達式改寫為：利用均值不等式得到答案.【題目詳解】當時，故答案為-3【題目點撥】本題考查了均值不等式，利用一正二定三相等將函數變形是解題的關鍵.15、【解題分析】

根據題意得到直線MP運動起來構成平面，可得到面，進而得到結果.【題目詳解】取的中點O連接，，根據題意可得到直線MP是一條動直線，當點P變動時直線就構成了平面，因為MO均為線段的中點，故得到，四邊形為平行四邊形，面，故得到，又面，進而得到.故夾角為.故答案為.【題目點撥】這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時候.16、【解題分析】

由遞推公式可以求出，可以歸納出數列的周期，從而可得到答案.【題目詳解】由，，.,可推測數列是以3為周期的周期數列.所以。故答案為：【題目點撥】本題考查數量的遞推公式同時考查數列的周期性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,單調遞增區(qū)間為；（2）最大值為,取最大值時，的集合為.【解題分析】

（1）對進行化簡轉換為正弦函數，可得其最小正周期和遞增區(qū)間；（2）根據（1）的結果，可得正弦函數的最大值和此時的的集合.【題目詳解】解：（1）∴.增區(qū)間為：即單調遞增區(qū)間為（2）當時，的最大值為，此時，∴取最大值時，的集合為.【題目點撥】本題考查二倍角公式和輔助角公式以及正弦函數的性質，屬于基礎題.18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）利用斜率和傾斜角的關系，可以求出斜率，可以用點斜式寫出直線方程，最后化為一般方程；（2）設出直線的斜截式方程，把點代入方程中求出斜率，進而可求出方程，化為一般式方程即可；（3）設出直線的截距式方程，利用面積公式和已知條件，可以求出所設參數，即可求出直線方程，化為一般式即可.【題目詳解】（1）因為直線的傾斜角為45°，所以斜率，代入點斜式，即.（2）因為直線在軸上的截距是5，所以設直線方程為：，代入點得，故直線方程為.（3）設所求直線方程為則，即，解之得，，所以直線方程為，即.【題目點撥】本題考查了利用點斜式、截距式、斜截式求直線方程，正確選擇方程的形式是解題的關鍵.19、（1）（2）①②證明見解析【解題分析】

（1）根據圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程．（2）①根據切線性質及切線長定理，表示出的長，根據圓的性質可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設出M點坐標，根據兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標．【題目詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標準方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，根據平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當點坐標為時，.此時.②設點的坐標為，因為，所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點，，設所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因為是和的公共弦，所以，兩式相減得，故方程為：，當時，，所以直線恒過定點.【題目點撥】本題考查了圓的一般方程與標準方程的應用，圓中三角形面積問題的應用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題．20、（1）;（2）第組抽取人，第組抽取人，第組抽取人;（3）40,．【解題分析】

（1）由頻率分布表得第四組人數為25人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為0.25，從而求出．由此求出各組人數，進而能求出，，，的值．（2）由第2，3，4組回答正確的人分別有18、27、9人，從中用分層抽樣的方法抽取6人，由此能求出第2，3，4組每組各抽取多少人．（3）由頻率分布直方圖能求出年齡的眾數，平均數．【題目詳解】（1）由頻率分布表得第四組人數為：人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為，．第一組抽取的人數為：人，第二組抽取的人數為：人，第三組抽取的人數為：人，第五組抽取的人數為：人，．（2）第，，組回答正確的人分別有、、人，從中用分層抽樣的方法抽取人，第組抽取：人，第組抽取：人，第組抽取：人．（3）由頻率分布直方圖得：年齡的眾數為：，年齡的平均數為：【題目點撥】本題考查頻率、頻數、眾數、平均數的求法，考查分層抽樣的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運用．21、（1）投進3個球和4個球的分別有2人和2人；（2）.【解題分析】

（1）設投進3個球和4個球的分別有，人，則,解方程組即得解.（2