2024屆北京市第四中學(xué)順義分校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京市第四中學(xué)順義分校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知銳角△ABC的面積為，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°2．已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．或3．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．4．如圖所示，在四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）①；②；③與平面所成的角為；④四面體的體積為.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)5．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．6．在中，已知a，b，c分別為，，所對的邊，且a，b，c成等差數(shù)列，，,則（）A． B． C． D．7．已知表示三條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．10．函數(shù)，，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，，則的值為（）A． B．2 C．或 D．或2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若關(guān)于的不等式的解集為，則__________12．如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一個(gè)周期的圖象，則f(1)=__________.13．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)出發(fā)經(jīng)過線段上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑，截開木塊時(shí)，兩部分幾何體的體積比為______.14．給出下列四個(gè)命題：①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對任意的實(shí)數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個(gè)命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號）15．設(shè)，，為三條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是______．(1)若，，，則；(2)若，，，則；(3)若，，，，則；(4)若，，,則．16．在中，三個(gè)角所對的邊分別為．若角成等差數(shù)列，且邊成等比數(shù)列，則的形狀為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列前項(xiàng)和.18．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).(1)若向量與向量垂直，求；(2)若與夾角為銳角，求的取值范圍.19．已知向量=,=,=,為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若△為直角三角形，且∠為直角，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)、、能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件.20．已知四棱錐的底面是菱形，底面，是上的任意一點(diǎn)求證：平面平面設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離在的條件下，若，求與平面所成角的正切值21．在中，已知，其中角所對的邊分別為．求（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：由三角形的面積公式，得，即，解得，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以.考點(diǎn)：三角形的面積公式.2、D【解題分析】

作出示意圖，再結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式，即可求得答案.【題目詳解】，，又直線過點(diǎn)且與線段相交，作圖如下：則由圖可知，直線的斜率的取值范圍是：或．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題借直線與線段的交點(diǎn)問題，考查兩點(diǎn)間的斜率公式，考查理解辨析能力，屬于中檔題.3、A【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出與的等量關(guān)系，即可計(jì)算出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于、、成等比數(shù)列，則有，所以，，化簡得，因此，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和中基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)與公差的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)題意，依次分析命題：對于①，可利用反證法說明真假；對于②，為等腰直角三角形，平面，得平面，根據(jù)勾股定理逆定理可知；對于③，由與平面所成的角為知真假；對于④，利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．【題目詳解】在四邊形中，，，則，可得，由，若，且，可得平面，平面，，這與矛盾，故①不正確；平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，由勾股定理得，，，，故，故②正確；由②知平面，則直線與平面所成的角為，且有，，則為等腰直角三角形，且，則.故③不正確；四面體的體積為，故④不正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與平面所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，考查了空間想象能力，推理論證能力，解題的關(guān)鍵是須對每一個(gè)進(jìn)行逐一判定．5、D【解題分析】

將變成，可得，展開后利用基本不等式求解即可．【題目詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號能否同時(shí)成立）.6、B【解題分析】

利用成等差數(shù)列可得,再利用余弦定理構(gòu)造的結(jié)構(gòu)再代入求得即可.【題目詳解】由成等差數(shù)列可得,由余弦定理有,即,解得,即.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差中項(xiàng)與余弦定理的運(yùn)算,需要根據(jù)題意構(gòu)造與的結(jié)構(gòu)代入求解.屬于中檔題.7、D【解題分析】

利用線面平行、線面垂直的判定定理與性質(zhì)依次對選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【題目詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，則與不平行，故A不正確；對于B，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線有兩種關(guān)系：平行或異面，故B不正確；對于C，若，則與不垂直，故C不正確；對于D，若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行，故D正確；故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系相關(guān)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．8、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)==1﹣i對應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案?！绢}目詳解】故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解題分析】

先根據(jù)單調(diào)性得到的范圍，然后根據(jù)得到的對稱軸和對稱中心，考慮對稱軸和對稱中心是否在同一周期內(nèi)，分析得到的值.【題目詳解】因?yàn)?，則；又因?yàn)?，則由可知得一條對稱軸為，又因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則由可知的一個(gè)對稱中心為；若與是同一周期內(nèi)相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以；若與不是同一周期內(nèi)相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以.【題目點(diǎn)撥】對稱軸和對稱中心的判斷：對稱軸：，則圖象關(guān)于對稱；對稱中心：，則圖象關(guān)于成中心對稱.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

根據(jù)二次不等式和二次方程的關(guān)系，得到是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到的值.【題目詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，根與系數(shù)之間的關(guān)系，屬于簡單題.12、2【解題分析】

由三角函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，即可求解的值，得到答案.【題目詳解】由三角函數(shù)圖象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，則.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式及其應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

將正三棱柱的側(cè)面沿棱展開成平面，連接與的交點(diǎn)即為滿足最小時(shí)的點(diǎn)，可知點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，即可計(jì)算出沿著螞蟻?zhàn)哌^的路徑截開木塊時(shí)兩幾何體的體積之比.【題目詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面，連接與的交點(diǎn)即為滿足最小時(shí)的點(diǎn).由于，，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得，一只螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)出發(fā)經(jīng)過線段上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑，為的中點(diǎn)，因?yàn)槿庵钦庵援?dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑，截開木塊時(shí)，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查棱柱側(cè)面最短路徑問題，涉及棱柱側(cè)面展開圖的應(yīng)用以及幾何體體積的計(jì)算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．14、②③④【解題分析】

①利用反例證明命題錯(cuò)誤；②先判斷為其中一條對稱軸；③通過恒等變換化成；④對兩個(gè)解析式進(jìn)行變形，得到定義域和對應(yīng)關(guān)系均一樣.【題目詳解】對①，當(dāng)，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯(cuò)；對②，當(dāng)時(shí)，，所以為的一條對稱軸，當(dāng)取，取時(shí)，顯然兩個(gè)數(shù)關(guān)于直線對稱，所以，即成立，故②對；對③，，，故③對；對④，因?yàn)椋?，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對.綜上所述，故填：②③④.【題目點(diǎn)撥】本題對三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、周期性等知識進(jìn)行綜合考查，求解過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15、(1)【解題分析】

利用線線平行的傳遞性、線面垂直的判定定理判定．【題目詳解】(1)，，，則，正確(2)若，，，則，錯(cuò)誤(3)若，則不成立，錯(cuò)誤(4)若，，,則，錯(cuò)誤【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直的判定定理判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題.16、等邊三角形【解題分析】

分析：角成等差數(shù)列解得，邊成等比數(shù)列，則，再根據(jù)余弦定理得出的關(guān)系式．詳解：角成等差數(shù)列，則解得，邊成等比數(shù)列，則，余弦定理可知故為等邊三角形．點(diǎn)睛：判斷三角形形狀，是根據(jù)題意推導(dǎo)邊角關(guān)系的恒等式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

由已知條件利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出公差和首項(xiàng)，由此能求出，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，?！绢}目詳解】解得，設(shè)從第項(xiàng)開始大于零，則，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上有【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，是中檔題，注意等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。18、（1）10或2；（2）.【解題分析】

(1)由向量與向量垂直，求得或，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，利用模的計(jì)算公式，即可求解；(2)因?yàn)榕c夾角為銳角，所以，且與不共線，列出不等關(guān)系式，即可求解.【題目詳解】(1)由題意，平面向量，，由向量與向量垂直，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，所；當(dāng)時(shí)，，則，所，(2)因?yàn)榕c夾角為銳角，所以，且與不共線，即且，解得，且，即的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的垂直條件，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，著重考查了推理運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用向量的運(yùn)算法則求出，，再利用向量垂直的充要條件列出方程求出m；（2）由題意得A，B，C三點(diǎn)不共線，則與不共線，列出關(guān)于m的不等式即可．【題目詳解】（1）因?yàn)?，=，=，所以，，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點(diǎn)共線、三點(diǎn)不共線等問題，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）見解析（2）（3）【解題分析】

（1）由平面，得出，由菱形的性質(zhì)得出，利用直線與平面垂直的判定定理得出平面，再利用平面與平面垂直的判定定理可證出結(jié)論；（2）先計(jì)算出三棱錐的體積，并計(jì)算出的面積，利用等體積法計(jì)算出三棱錐的高，即為點(diǎn)到平面的距離；（3）由（1）平面，于此得知為直線與平面所成的角，由，得出平面，于此計(jì)算出，然后在中計(jì)算出即可．【題目詳解】（1）平面，平面，，四邊形是菱形，，平面；又平面，所以平面平面.（2）設(shè)，連結(jié)，則，四邊形是菱形，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為平面，，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為；（