《隨機變量及分布》課件

隨機變量及分布隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的期望和方差目錄01隨機變量隨機變量在隨機試驗中，每個試驗結(jié)果與一個數(shù)值相對應(yīng)，這個數(shù)值被稱為隨機變量。離散隨機變量如果隨機變量的可能取值是可數(shù)的，則稱為離散隨機變量。連續(xù)隨機變量如果隨機變量的可能取值是連續(xù)的，則稱為連續(xù)隨機變量。隨機變量的定義隨機變量的分類離散型隨機變量根據(jù)其取值特點可以分為二項式、泊松型、超幾何型等。連續(xù)型隨機變量根據(jù)其分布函數(shù)特點可以分為均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等。確定性隨機變量的取值具有不確定性，但它的概率分布是確定的?？蓽y性對于給定的概率值，可以確定隨機變量取值的范圍。可重復(fù)性在相同的條件下，重復(fù)進行隨機試驗，隨機變量的取值具有一定的重復(fù)性。隨機變量的性質(zhì)02離散型隨機變量離散型隨機變量在一定范圍內(nèi)取有限個值的隨機變量，其取值是離散的。定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為$Omega$，對于每一個樣本點$omegainOmega$，都對應(yīng)一個實數(shù)$X(omega)$，則稱$X$為隨機變量。如果隨機變量$X$只能取有限個或可數(shù)無窮個值，則稱$X$為離散型隨機變量。例子投擲一枚骰子，其出現(xiàn)的點數(shù)就是離散型隨機變量。離散型隨機變量的定義概率分布描述離散型隨機變量取各個可能值的概率。定義設(shè)離散型隨機變量$X$的所有可能取值為$x_1,x_2,ldots,x_n$，則稱$P(X=x_i)$為離散型隨機變量$X$的概率函數(shù)，簡稱概率分布。例子投擲一枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)1、2、3、4、5、6的概率都為$frac{1}{6}$。離散型隨機變量的概率分布03幾何隨機變量在獨立重復(fù)試驗中首次成功所需要的試驗次數(shù)，服從幾何分布。01二項式隨機變量在n次獨立重復(fù)試驗中成功的次數(shù)，服從二項分布。02泊松隨機變量單位時間內(nèi)（或單位面積上）隨機事件的次數(shù)，服從泊松分布。常見的離散型隨機變量03連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量是取值在某個區(qū)間內(nèi)或某個集合內(nèi)的隨機變量，其取值具有連續(xù)性。連續(xù)型隨機變量的取值范圍是無限的或者至少覆蓋一個很大的區(qū)間。連續(xù)型隨機變量的概率分布函數(shù)是連續(xù)的，并且其取值范圍是[0,1]。010203連續(xù)型隨機變量的定義連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是描述連續(xù)型隨機變量概率分布的函數(shù)，其值表示在某一特定點或某一特定區(qū)間內(nèi)取值的概率。概率密度函數(shù)的積分等于1，表示隨機變量取值在某個區(qū)間內(nèi)的概率等于該區(qū)間的長度。概率密度函數(shù)可以描述隨機變量的統(tǒng)計特性，如期望值、方差等。正態(tài)分布是一種常見的連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，常用于描述許多自然現(xiàn)象的概率分布。正態(tài)分布指數(shù)分布是一種連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，常用于描述壽命測試、等待時間等。指數(shù)分布均勻分布是一種特殊的連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)為常數(shù)，常用于描述某些物理量在一定范圍內(nèi)的分布。均勻分布常見的連續(xù)型隨機變量04隨機變量的分布函數(shù)123分布函數(shù)是描述隨機變量取值概率的函數(shù)，其值域為[0,1]。對于任意實數(shù)x，分布函數(shù)F(x)表示隨機變量X小于或等于x的概率。分布函數(shù)具有非負(fù)性、規(guī)范性（F(+∞)=1，F(xiàn)(-∞)=0）和單調(diào)不減性。分布函數(shù)的定義分布函數(shù)是單調(diào)非減的，即隨著x的增加，F(xiàn)(x)的值也增加。分布函數(shù)具有連續(xù)性，即對于任意x，lim(Δx→0)[F(x+Δx)-F(x)]/Δx存在且等于F'(x)。對于任意實數(shù)x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。分布函數(shù)的性質(zhì)01通過分布函數(shù)可以方便地計算隨機變量取某個值的概率。用于計算概率02通過分布函數(shù)可以求得概率密度函數(shù)或概率質(zhì)量函數(shù)。用于概率密度函數(shù)和概率質(zhì)量函數(shù)的推導(dǎo)03如期望和方差等可以通過分布函數(shù)進行計算。用于隨機變量的數(shù)字特征計算分布函數(shù)的應(yīng)用05隨機變量的期望和方差性質(zhì)期望具有線性性質(zhì)，即對于兩個隨機變量X和Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。計算方法根據(jù)隨機變量的概率分布，通過加權(quán)求和的方式計算期望值。定義期望是隨機變量所有可能取值的概率加權(quán)和，表示隨機變量取值的平均水平。期望的定義和性質(zhì)定義方差是隨機變量取值與其期望值之差的平方的平均值，表示隨機變量取值分散程度。性質(zhì)方差具有非負(fù)性，即對于任何隨機變量X，有Var(X)≥0。計算方法根據(jù)隨機變量的概率分布，通過加權(quán)求和的方式計算方差。方差的定義和性質(zhì)030201期望的應(yīng)用在統(tǒng)計學(xué)中，期望常用于描述一組數(shù)據(jù)的中心趨勢，通過計算數(shù)據(jù)的期望值，可以了解數(shù)據(jù)的平均水平。方差的