信息學(xué) 數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示

信息學(xué)奧林匹克競賽教材數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中表示主編：汪長喜大慶一中

1.3數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的表示

數(shù)據(jù)是計(jì)算機(jī)處理的對象。這里的“數(shù)據(jù)”含義非常廣泛，包括數(shù)值、文字、圖形、圖像、視頻等各種數(shù)據(jù)形式。計(jì)算機(jī)內(nèi)部一律采用二進(jìn)制表示數(shù)據(jù)。

為什么要用二進(jìn)制？

二進(jìn)制并不符合人們的習(xí)慣，但計(jì)算機(jī)內(nèi)部仍采用二進(jìn)制，主要原因有四點(diǎn)：

1．電路簡單

計(jì)算機(jī)是由邏輯電路組成，邏輯電路通常只有兩個(gè)狀態(tài)。例如，開關(guān)的接通與斷開，電壓電平的高與低，這兩種狀態(tài)正好用來表示二進(jìn)制數(shù)的兩個(gè)數(shù)碼0和１。

2．工作可靠

兩個(gè)狀態(tài)代表的兩個(gè)數(shù)碼在數(shù)字傳輸和處理中不容易出錯(cuò)，因而電路更加可靠。

3．簡化運(yùn)算

4．邏輯性強(qiáng)

計(jì)算機(jī)的工作是建立在邏輯運(yùn)算基礎(chǔ)上的，邏輯代數(shù)是邏輯運(yùn)算的理論依據(jù)。有兩個(gè)數(shù)碼，正好代表邏輯代數(shù)中的“真”與“假”。

數(shù)據(jù)單位

二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼0和１，任何形式數(shù)據(jù)都要靠0和1來表示。為了能有效地表示和存儲不同形式的數(shù)據(jù)，人們使用了下列不同的數(shù)據(jù)單位：

1．位（bit）

位，音譯為“比特”，是計(jì)算機(jī)存儲數(shù)據(jù)、表示數(shù)據(jù)的最小單位。一個(gè)bit只能表示一個(gè)開關(guān)量，例如１代表“開關(guān)閉合”，0代表“開關(guān)斷開”。

2．字節(jié)(byte)

字節(jié)來自英文Byte，簡記為B，音譯為“拜特”。規(guī)定１個(gè)字節(jié)等于8個(gè)位，即１Byte=8bit。字節(jié)是個(gè)重要的數(shù)據(jù)單位，表現(xiàn)在：

計(jì)算機(jī)存儲器是以字節(jié)為單位組織的，每個(gè)字節(jié)都有一個(gè)地址碼,通過地址碼可以找到這個(gè)字節(jié)，進(jìn)而能存取其中的數(shù)據(jù)；

字節(jié)是計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的基本單位，即以宇節(jié)為單位解釋信息。

計(jì)算機(jī)存儲器容量大小是以宇節(jié)數(shù)來度量的，經(jīng)常使用的單位有B、KB、MB、GB。

3．字(Word)

計(jì)算機(jī)一次存取、加工和傳送的宇節(jié)數(shù)稱為宇。由于字長是計(jì)算機(jī)一次所能處理的實(shí)際位數(shù)的多少，決定了計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的速度，因而是衡量計(jì)算機(jī)性能的一個(gè)重要標(biāo)志。字長越長，性能越強(qiáng)。

不同形式數(shù)據(jù)的表示方法:

1．?dāng)?shù)值數(shù)據(jù)的表示

數(shù)值數(shù)據(jù)有大小和正負(fù)之分。無論多大的數(shù)，正數(shù)還是負(fù)數(shù)，在計(jì)算機(jī)中只能用0和1來表示。顯然，一個(gè)bit所能表示范圍是有限的，最大只能表示1，要想表示更大的數(shù)，就得把多個(gè)bit作為一個(gè)整體按照進(jìn)位規(guī)則來描述一個(gè)數(shù)。例如，用兩個(gè)字節(jié)表示一個(gè)整數(shù)、四個(gè)字節(jié)表示一個(gè)實(shí)數(shù)等。數(shù)的正負(fù)號，通常在二進(jìn)制數(shù)的最前面規(guī)定一個(gè)符號位，若是1就代表是正數(shù)，若是0就代表負(fù)數(shù)。

2．字符數(shù)據(jù)的表示

人們使用計(jì)算機(jī)的基本手段是通過鍵盤與計(jì)算機(jī)交互，從鍵盤上敲入的各種命令和數(shù)據(jù)都是以字符形式體現(xiàn)的。然而，計(jì)算機(jī)只能存儲二進(jìn)制數(shù)，這就需要對字符數(shù)據(jù)進(jìn)行編碼，并由機(jī)器自動(dòng)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制形式存入計(jì)算機(jī)。下面介紹幾種在計(jì)算機(jī)應(yīng)用中經(jīng)常使用的編碼。

(l)、ASCII碼

ASCII碼用七位二進(jìn)制數(shù)表示一個(gè)字符，由于2^7=128，所以共有128種不同組合，可以表示128個(gè)不同的字符。其中包括：數(shù)字0～9，26個(gè)大小寫英文字母，以及各種運(yùn)算符號、標(biāo)點(diǎn)符號及控制字符等，例如：大寫A的ASCII碼是65，小寫a則是97，0是48，空格是32。

(2)、國家標(biāo)準(zhǔn)漢字編碼

國家標(biāo)準(zhǔn)漢字編碼簡稱國標(biāo)碼，規(guī)定一個(gè)漢字用兩個(gè)宇節(jié)表示。

(3)、漢字輸入碼

漢字輸入方法很多，如區(qū)位，拼音，五筆字型等。不同輸入法有自己的編碼方案，方案統(tǒng)稱為輸入碼。輸入碼進(jìn)人機(jī)器后必須轉(zhuǎn)換為機(jī)內(nèi)碼進(jìn)行存貯和處理。

(4)、漢字字形碼

漢字字形碼是一種用點(diǎn)陣表示漢字字形的編碼，是漢字的輸出形式。它把漢字按字形排列成點(diǎn)陣，常用的點(diǎn)陣有16×16、24×24、32×32或更高。一個(gè)16×16點(diǎn)陣的漢字字形要占用32個(gè)宇節(jié)，24×24點(diǎn)陣要占用72個(gè)字節(jié)……。可見漢字點(diǎn)陣的信息量是非常大的。所有不同的漢字字體、字號的字形構(gòu)成漢字庫，一般存儲在硬盤上，當(dāng)要顯示輸出時(shí)才調(diào)入內(nèi)存，檢索到要輸出的字形送到顯示器輸出。計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示:1、各種進(jìn)位計(jì)數(shù)制

a.十進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)就是我們在日常生活中所用的數(shù),它共有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)碼,它的計(jì)數(shù)方法是"逢十進(jìn)一"。對于十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算大家應(yīng)該都知道,這里就不多說了。

b.二進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)是最簡單的進(jìn)位計(jì)數(shù)制,它只有0,1二個(gè)數(shù)碼，計(jì)數(shù)方法是"逢二進(jìn)一"。二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算十分簡單，加法是"逢二進(jìn)一"，減法是"借一當(dāng)二"。例如"11+10=101;101-10=11"至于乘法和除法和我們?nèi)粘Ｏ嗨?只不過不是"逢十進(jìn)一"而是"逢二進(jìn)一"罷了。

c.八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)

很顯然八進(jìn)制數(shù)是0到7這八個(gè)數(shù)碼組成，且是"逢八進(jìn)一",而十六進(jìn)制數(shù)是由0到9和A，B,C,D,E和F(英語大寫字母分別代表10到15)這十六個(gè)數(shù)碼組成的,它的進(jìn)位方式是"逢十六進(jìn)一"。以下是乘/除法的例子。

在下面我將給出二,八,十和十六進(jìn)制數(shù)碼的對照關(guān)系表。如下表所示:

2、數(shù)制的轉(zhuǎn)換

a.將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

例

試將十進(jìn)制數(shù)125.6875轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

(1).整數(shù)的轉(zhuǎn)換：除2取余，最后將余數(shù)倒著排列即得結(jié)果。

先將125除以2在右邊記下余數(shù)，然后以此類推，直到最后的差為0,最后我們將余數(shù)倒著排列即得結(jié)果。

(2).小數(shù)的轉(zhuǎn)換：乘2取整

小數(shù)的轉(zhuǎn)換正好與整數(shù)的轉(zhuǎn)換相反，先將0.6875乘以2得結(jié)果1.3750，則在右邊記下整數(shù)位1,再將去整數(shù)位后的0.375乘以2記下結(jié)果，依此類推，直到最后小數(shù)部分為0或結(jié)果以達(dá)到精度要求。所以125.6875=1111101.1011B

b.將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八/十六進(jìn)制數(shù)

方法如上,只不過乘/除數(shù)為8或16。

c.二,八/十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

轉(zhuǎn)換方法是利用數(shù)制的一般表達(dá)式寫成相應(yīng)的冪運(yùn)算形式，然后求和得到。

例：572.34(8)=5*8^2+7*8+2+3*8^-1+4*8^-2=378.4375

d.二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換

因?yàn)?^3=8，所以二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)只需將二進(jìn)制數(shù)從小數(shù)點(diǎn)開始每3位轉(zhuǎn)成一位八進(jìn)制數(shù)(整數(shù)由左向右,小數(shù)相反)。例如：

101111010.011100(2)=572.34(8)

八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)只需將每一位八進(jìn)制數(shù)用三位二進(jìn)制數(shù)表示，小數(shù)點(diǎn)位置不變。例如：

175.54(8)=001111101.101100B=1111101.1011B

至于十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換只需將每隔3位改為每隔4位即可.

計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示(反碼、補(bǔ)碼)

計(jì)算機(jī)中要處理的數(shù)分無符號數(shù)和有符號數(shù)兩種，有符號數(shù)在計(jì)算機(jī)中用“0”

表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù)。

原碼：用“0”表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù)，用這種方法表示的數(shù)稱為原碼。用這種數(shù)進(jìn)行兩個(gè)異號數(shù)相加或兩個(gè)同號數(shù)相減時(shí)很不方便。為了將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，需要引入反碼和補(bǔ)碼的概念。

對于正數(shù)：反碼＝原碼，

對于負(fù)數(shù)：除符號位外，其他各位分別0,1取反。

例：原碼01000101，其補(bǔ)碼為01000101

原碼11000101，其補(bǔ)碼為10111010。

補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼＝原碼，對于負(fù)數(shù)：補(bǔ)碼＝反碼＋1。

例：01000101

的補(bǔ)碼為01000101，11000101的補(bǔ)碼為10111011。

總之：正數(shù)的原碼＝反碼＝補(bǔ)碼，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼＝反碼＋1

二、原碼,補(bǔ)碼和反碼

在計(jì)算機(jī)中參加運(yùn)算的數(shù)有正負(fù)之分,通常在計(jì)算機(jī)中我們用X=X0X1X2``````XN-1來表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，并規(guī)定當(dāng)X0=0時(shí)X為正數(shù)，X0=1時(shí)X為負(fù)數(shù).在計(jì)算機(jī)中這種表示法有原碼,補(bǔ)碼和反碼三種

1.原碼

原碼的定義如右圖(1)式所示。例子:根據(jù)[X](原)所能表示的整數(shù)范圍公式，我們可以計(jì)算出當(dāng)n=8時(shí)，原碼表示范圍是[-127,127]原碼的表示法簡單易懂,但是它最大的缺點(diǎn)是運(yùn)算復(fù)雜。所以人們引進(jìn)了補(bǔ)碼。

2.補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的定義如圖(2)式所示。例子:根據(jù)[X](補(bǔ))所能表示的整數(shù)范圍公式我們可以計(jì)算出當(dāng)n=8時(shí)補(bǔ)碼表示范圍是[-128,127];根據(jù)補(bǔ)碼的定義公式我們可以計(jì)算出任何一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼,如X=-2FH根據(jù)公式[X](補(bǔ))=100H-2FH=D1H。用補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算是很簡單的,公式為[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ);[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)。加法公式是非常簡單的,但減法中我們只知道[Y]補(bǔ)而不知道[-Y]補(bǔ),利用一個(gè)口訣就可解決這個(gè)問題,口訣是“將[Y]補(bǔ)連同符號位一起按位求反后末為加一可得[-Y]補(bǔ)”。我們現(xiàn)在雖然有了公式和口訣,但是還有符號位的問題沒有解決,而另一個(gè)口訣可以解決這個(gè)問題?？谠E是“符號位參加運(yùn)算,符號位相加,若有進(jìn)位,則進(jìn)位舍去”。如:63H-72H=63H+8EH=0F1H(用十六進(jìn)制時(shí)最高位為字母時(shí)前加0)。

注意:運(yùn)算有時(shí)會產(chǎn)生溢出,如57+81>127。當(dāng)我們用N=8的補(bǔ)碼運(yùn)算就會溢出，因?yàn)楫?dāng)字長N=8時(shí)補(bǔ)碼的表示范圍是[-128，127]。

3.反碼

反碼的定義如右圖(3)式所示。例子:根據(jù)[X](反)所能表示的整數(shù)范圍公式，我們可以計(jì)算出當(dāng)n=8時(shí)反碼表示范圍是[-127,127]。

三.數(shù)的定點(diǎn)和浮點(diǎn)表示法

在計(jì)算機(jī)中,針對小數(shù)點(diǎn)的處理有兩種方法:定點(diǎn)表示法浮點(diǎn)表示法。

1.定點(diǎn)表示法

定點(diǎn)表示法就是小數(shù)點(diǎn)固定在某個(gè)位置上。在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中,為了簡單通常將小數(shù)點(diǎn)定在最高位(即純小數(shù))或?qū)⑿?shù)點(diǎn)定在最低位(即整數(shù))。

2.浮點(diǎn)表示法浮點(diǎn)表示法就是小數(shù)點(diǎn)的位置并不固。浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中通常的表示形式為浮點(diǎn)數(shù)=2的正/負(fù)階碼次方*尾數(shù)其中階碼是個(gè)正整數(shù),尾數(shù)是個(gè)小數(shù),我們規(guī)定尾數(shù)的區(qū)間為[0.5,1),如果尾數(shù)不在此區(qū)間,那我們可通過調(diào)節(jié)階碼來滿足區(qū)間,此方法稱為規(guī)格化。四、BCD碼和字符編碼

在日常生活中人們用的是十進(jìn)制數(shù),而機(jī)器又只能處理二進(jìn)制數(shù)，因此我們引進(jìn)了BCD碼。BCD碼是用四位的二進(jìn)制數(shù)來表示一位十進(jìn)制數(shù)(可參照下表)。例子:我現(xiàn)在將8351表示成BCD碼為10