靜態(tài)場及其邊值問題的解

本章內(nèi)容

3.1

靜電場分析

3.2

導電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3

恒定磁場分析

3.4

靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5

鏡像法

3.6

分離變量法

靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場

時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立

3.1靜電場分析

學習內(nèi)容

3.1.1

靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2

電位函數(shù)

3.1.3

導體系統(tǒng)的電容與部分電容

3.1.4

靜電場的能量

3.1.5

靜電力2.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即

，則介質(zhì)2介質(zhì)1

在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為0，則導體表面的邊界條件為

或

場矢量的折射關(guān)系

導體表面的邊界條件由即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)2.電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：

故得點電荷的電位：線電荷的電位：3.電位差兩端點乘，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得關(guān)于電位差的說明

P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。電位差也稱為電壓，可用U表示。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點間的電位差電場力做的功

靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值

選擇電位參考點的原則

應(yīng)使電位表達式有意義。應(yīng)使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠作電位參考點。同一個問題只能有一個參考點。4.電位參考點

為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即幾種常見電荷分布的電位參考點點電荷：設(shè)點電荷q在原點，參考點Q，場點(電位考察點)P，選擇路徑P→M→Q(路徑可以任意選擇)進行積分，有OQrPMPrQ積分貢獻為零

線電荷：設(shè)線電荷

l在原點，參考點Q，場點(電位考察點)P，沿如前路徑進行積分，有如果選擇參考點在rQ=∞，得

P=∞，顯然不合理。如果選擇rQ=1，得，顯然這種形式最簡單。

面電荷(例3.1.2)：無限大面電荷產(chǎn)生的電場在空間均勻分布。設(shè)均勻電場E0，場中任意兩點P1和P2的電位差為RP2P1dlE0r1r2O

在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標量泊松方程拉普拉斯方程

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解

在球坐標系中用二項式展開，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q將和代入上式，解得E線方程為

由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線電場線電偶極子的場圖

電場線微分方程：

等位線方程：

解

選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點P

的位置矢量為r，則若選擇點O為電位參考點，即，則

在球坐標系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱坐標系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場的電位分布。xyzL-L解

采用圓柱坐標系，令線電荷與z

軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與

無關(guān)。在帶電線上位于處的線元，它到點的距離，則

例3.1.3

求長度為2L、電荷線密度為的均勻帶電線的電位。

在上式中若令，則可得到無限長直線電荷的電位。當時，上式可寫為當時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇ρ=a

的點為電位參考點，則有6.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為

1和

2。當兩點間距離Δl→0時導體表面上電位的邊界條件：由

和媒質(zhì)2媒質(zhì)1

若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即常數(shù)，

例3.1.4

兩塊無限大接地導體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。

解

在兩塊無限大接地導體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板利用邊界條件，有

處，最后得

處，

處，所以由此解得例：半徑為a的帶電導體球，已知球體電位為U，求空間電位分布及電場強度分布。解法一：導體球是等勢體。時：時：解法二：電荷均勻分布在導體球上，呈點對稱。

設(shè)導體球帶電總量為Q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強度為：小結(jié)：求空間電場分布的方法1、場源積分法積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。2、應(yīng)用高斯定理求解只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。3、間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電場。

在實際應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用。通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜電路。在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。

3.1.3導體系統(tǒng)的電容與部分電容

電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。

孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位

的比值，即1.電容

孤立導體的電容

兩個帶等量異號電荷（

q）的導體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導體的帶電量和電位無關(guān)。

(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和－q；

(2)計算兩導體間的電場強度E；

計算電容的步驟：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導體間的電位差；

解：設(shè)內(nèi)導體的電荷為q

，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場同心導體間的電壓球形電容器的電容當時，

例3.1.4

同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容

例3.1.5

如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解

設(shè)兩導線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P的電場強度為兩導線間的電位差故單位長度的電容為

例3.1.6

同軸線內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為b，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為

的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線＊

2.部份電容

在多導體系統(tǒng)中，任何兩個導體間的電壓都要受到其余導體上的電荷的影響。因此，研究多導體系統(tǒng)時，必須把電容的概念加以推廣，引入部分電容的概念。

在由N個導體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導體的電位為式中：——自電位系數(shù)——互電位系數(shù)（1）

電位系數(shù)

αij在數(shù)值上等于第i個導體上的總電量為一個單位、而其余導體上的總電量都為零時，第j個導體上的電位，即

αij只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即αij=αji。

αij>

0；

電位系數(shù)的特點：若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為

式中：——自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)

——互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)

（2）

電容系數(shù)

βij在數(shù)值上等于第j個導體上的電位為一個單位、而其余導體接地時，第i個導體上的電量，即

βij只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即βij=βji。

βii>

0、；

電容系數(shù)的特點：將各導體的電量表示為

式中：（3）

部分電容——導體i與導體j之間的部分電容——導體i與地之間的部分電容

Cii在數(shù)值上等于全部導體的電位都為一個單位時，第i個導體上的電量；

Cij只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即Cij=Cji。

Cij>

0；

Cij在數(shù)值上等于第j個導體的電位為一個單位、其余導體都接地時，第i個導體上的電量；部分電容的特點：

在多導體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這兩個電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為，則比值稱為這兩個導體間的等效電容。（4）等效電容如圖所示，有三個部分電容導線1和2間的等效電容為導線1和大地間的等效電容為導線2和大地間的等效電容為12大地大地上空的平行雙導線

如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。

靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。

靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。

任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4靜電場的能量

1.靜電場的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為q、電位為

。充電過程中某一時刻的電荷量為αq、電位為α

。(0≤α≤1)當α增加為(α+dα)時，外電源做功為:α

(qdα)。對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場能量We

，即

對于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，則有——

第i個導體所帶的電荷——

第i個導體的電位式中：2.電場能量密度

從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有由于體積V外的電荷密度ρ＝0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當閉合面S無限擴大時，則有故

推證：ρρ＝0S

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算

根據(jù)高斯定理求得電場強度故

方法二：利用計算

先求出電位分布

故

已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。

虛位移法：假設(shè)第i個帶電導體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。

具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電導體的電荷不變。3.1.5靜電力1.各帶電導體的電位不變

此時，各帶電導體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則

dWS＝0，因此2.各帶電導體的電荷不變式中的“－”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。

不變q不變3.2導電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件

3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

3.2.3漏電導

由J＝

E可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。

恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在于導體內(nèi)部。（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強度線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則

均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷2.恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場矢量的邊界條件即即導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系電位的邊界條件

恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因而導體表面不是等位面；

說明：媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1

如

2>>

1、且

2≠90°，則

1＝0，即電場線近似垂直于與良導體表面。此時，良導體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即

1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導體中的電流和電場與分界面平行。3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）

本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場關(guān)于恒定電場的進一步說明與靜電場性質(zhì)相同，但產(chǎn)生的源不同，分別為運動電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時間變化恒定電場同時存在于導電體外和導電體內(nèi)，其表面同時有法向和切向分量，電場不垂直于表面，此時導電體不是等位體電場矢量在分界面上的折射關(guān)系E2n

221

1E1如

2>>1，

2≠90°，

1＝0，電力線近似垂直良導體表面，近似等位體如介質(zhì)1為理想介質(zhì)，

1＝0，J1=0，導電體一側(cè)中只有切向電流和切向電場恒定電場問題可利用對應(yīng)量變換，先變成靜電場問題求解，最后再換回來由J的邊界條件可得3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場的矢量磁位和標量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場的能量3.3.5

磁場力

3.3恒定磁場分析微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量

的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。

磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標量磁位

磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達式

磁矢位的邊界條件（可以證明滿足）

對于面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為

利用磁矢位計算磁通量：細線電流：面電流：由此可得出2.恒定磁場的標量磁位

一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標量位函數(shù)來描述磁場。標量磁位的引入標量磁位或磁標位

磁標位的微分方程將

代入——等效磁荷體密度

與靜電位相比較，有標量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中

標量磁位的表達式和或和式中：——

等效磁荷面密度靜電位

磁標位

磁標位與靜電位的比較靜電位

0

P磁標位

m

0

m1.磁通與磁鏈

3.3.3電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量

多匝線圈形成的導線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI

細回路

粗導線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導線包圍的、磁力線不穿過導體的外磁通量

o；另一部分是磁力線穿過導體、只有粗導線的一部分包圍的內(nèi)磁通量

i。

iCI

o粗回路

設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為

，則磁鏈

與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點：

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈

12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。

3.互感同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負值。

互感的特點：3.3.4恒定磁場的能量1.

磁場能量

在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。

電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定磁場具有能量。

磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當電流從零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。

假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。

假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。

設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為

I、交鏈的磁鏈為

。在時刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α

。(0≤α≤1)

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm，即對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當α增加為(α+dα)時，回路中的感應(yīng)電動勢:

對于N個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，對于兩個電流回路C1和回路C2

，有回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能2.磁場能量密度

從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當閉合面S無限擴大時，則有故

推證：S

例3.3.9

同軸電纜的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導體的內(nèi)自感內(nèi)外導體間的外自感外導體的內(nèi)自感3.3.5

磁場力

假定第i個回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移dgi

。此時，磁場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有式中dW